Ementa. Descrição. Objetivos. Carga horária: 60 horas Créditos: 04. Limites, Continuidade e Derivadas.

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1 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias Curso de Licenciatura em Matemática UFPBVIRTUAL fred@mat.ufpb.br Curso de Matemática UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle Site da UFPBVIRTUAL Site do curso Telefone UFPBVIRTUAL (8) Carga horária: 6 horas Créditos: 4 Ementa Limites, Continuidade e Derivadas. Descrição Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, eponenciais, logarítmicas e racionais. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle. Objetivos Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para: Compreender, aplicar o conceito de ites e dominar suas principais propriedades; Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades; Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais propriedades; Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas derivadas; Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 7

2 Unidades Temáticas Integradas Unidade I Limites Noção Intuitiva Definição Propriedades dos Limites Limites Laterais Cálculo de Limites Limites no Infinito Limites Infinitos Propriedades dos Limites Infinitos Limites Fundamentais Unidade II Continuidade Continuidade em um ponto Teste de Continuidade Propriedades de Funções Contínuas Composta de Funções Contínuas Teorema do Valor Intermediário: Unidade III Derivada A Derivada de uma Função num Ponto A Reta Tangente Continuidade de Funções Deriváveis Derivadas Laterais Regras de Derivação Derivada das Funções Elementares do Cálculo Regras de L Hospital Derivação de Função Composta Derivada da Função Inversa A Derivada de uma Função na Forma Implícita 8

3 Unidade I Limites. Situando a Temática O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além disso, para compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de Funções que são regras bem definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de chegada, denominado Contra-Domínio. Mais precisamente, f : A B é função A,! y f( ) B. Os conjuntos A e B representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função f. O elemento f ( ) denomina-se a imagem do elemento pela função f. Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das funções: polinomiais, eponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do conteúdo de ites. O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a ites de funções. Tais resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem demonstrações, através de alguns eemplos ou eercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse em estudá-los poderá encontrá-los nas referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão das demonstrações é tornar o teto conciso. Este teto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de eercícios e atividades relacionadas com o teto. Os eercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de eercícios.. Problematizando a Temática Limite na vida prática Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de ite:. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$,7, então o valor pago por dólares estabiliza em torno de R$ 7,. Logo, podemos falar que o ite (valor pago por dólares) é igual a R$ 7,, quando o valor pago por dólar tende a R$,7. Podemos representar tal situação por:, 7 7. Imagine uma placa metálica quadrada que se epande uniformemente por estar sendo aquecida. Se representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por A( ). Evidentemente, quando se aproima de, a área da placa A se aproima de 9. Epressamos essa situação simbolicamente por 9. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para baio em torno de cm, então a velocidade se manterá próimo aos 6 Km/h. Logo, podemos dizer que o ite 9

4 (velocidade instantânea do automóvel) é igual a 6 Km/h, quando o acelerador tender a cm para baio. Matematicamente escrevemos tal situação por v ( ) 6, onde v ( ) é a velocidade instantânea do automóvel e é a medida em centímetros do deslocamento do pedal do acelerador. 4. Outra aplicação interessante do ite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de um corpo em queda livre sob a ação da gravidade. O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:. Conhecendo a Temática. Limites.. Noção Intuitiva Noção Intuitiva Definição Propriedades dos Limites Limites Laterais Cálculo de Limites Limites no Infinito Limites Infinitos Propriedades dos Limites Infinitos Limites Fundamentais Estudaremos o comportamento de uma função f nas proimidades de um ponto. Para fiar idéias, consideremos a função f : R \ {} R definida por: ( )( + ) f ( ) + Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproima rapidamente do valor L, quando os valores de se aproimam de, tanto por valores de < (à esquerda de ) como por valores > (à direita de ). Do ponto de vista numérico, a tabela abaio mostra o comportamento da função f, para valores à esquerda e à direita de. TABELA Pela esquerda de Pela direita de,5,9,99,999, 5,,,, f (), 5,8, 9, 99,999 f ( ),5,,,, Neste caso, dizemos L é o ite da função f quando se aproima de, o que denotaremos por:

5 f( ).. Definição Informal de Limite Seja f ( ) definida em um intervalo aberto em torno de eceto talvez em. Se f ( ) fica arbitrariamente próimo de L, para todos os valores de suficientemente próimos de, dizemos que f tem ite L quando tende a e escrevemos f ( ) L Essa definição é informal porque as epressões arbitrariamente próimo e suficientemente próimos são imprecisas; seu significado depende do conteto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próimo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáias distantes, próimo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos ites de várias funções específicas. Eemplo : O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em Com efeito, consideremos as seguintes funções: a) f ( ),, b) g(), c) h ( ) + Note que f( ) g( ) h( ) Figura ). sem que eista f (), com g () e h () (Veja Figura : Funções do Eemplo. Eemplo : Os Limites Podem Não Eistir De fato: discutamos o comportamento quando das seguintes funções:, < (a) A função de salto unitário definida por U( ),, (b) A função g ( ),

6 , (c) A função f( ) sen, > Soluções: (a) A função de salto unitário U( ) não tem ite quando porque seus valores saltam em. Para valores negativos de arbitrariamente próimos de zero, U( ). Para valores positivos de, arbitrariamente próimos de zero, U( ). Não há um único valor de L do qual U( ) se aproime quando (Figura (a)). (b) A função cresce demais para ter um ite: g( ) não tem um valor ite quando porque g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando e não se mantém próimo de nenhum valor real (Figura (b)). (c) A função oscila demais para ter um ite: f ( ) não tem ite quando porque os valores da função oscilam entre e em cada intervalo aberto que contém. Os valores não se mantêm próimos de nenhum número quando (Figura (c))... Definição Formal de Limite Figura : Funções do Eemplo. Definição: Seja f ( ) uma definida em um intervalo aberto em torno de, eceto possivelmente em. Dizemos que f ( ) tem ite L quando e escrevemos f ( ) L, se, para cada número ε >, eistir um número correspondente δ > tal que para todos os valores de, < < δ f( ) L < ε. Graficamente temos: Eemplo: Testando a Definição Mostre que ( + ) Solução: sejam, f ( ) + e L na definição de ite. Para qualquer ε >, precisamos encontrar um δ > adequado ( δ δε ( ), isto é, o número real δ depende do número real ε fornecido), tal que se e está a uma distância menor do que δ de, ou seja, se < < δ, então f ( ) está a uma distância menor do que ε de L, isto é, f( ) < ε. Encontraremos δ ao resolvermos a inequação:

7 + + < ε.daí, basta escolher δ ε e verifica-se que ( + )...4 Propriedades dos Limites Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Teorema.: Unicidade do Limite: O ite de uma função, quando eiste, é único, isto é, Se f ( ) L e f ( ) M, então L M Teorema.: Se L, M, e k são números reais e f ( ) L e g( ) M então:. Regra da Soma: O ite da soma de duas funções é a soma de seus ites, isto é, ( f ( ) + g( ) ) L + M. Regra da Diferença: O ite da diferença de duas funções é a diferença de seus ites, isto é, ( f ( ) g( ) ) L M. Regra do Produto: O ite do produto de duas funções é o produto de seus ites, isto é, ( f ( ) g( ) ) L M 4. Regra da Multiplicação por Constante: O ite de uma constante multiplicada pela função é a constante multiplicada pelo ite da função, isto é, ( ( )) k f k L Em particular, k k 5. Regra do Quociente: O ite do quociente de duas funções é o quociente de seus ites, desde que o ite do denominador seja diferente de zero, isto é, ( ). f L, M g ( ) M 6. Regra da Potenciação: O ite de uma potência racional de uma função é a potência do ite da função, desde que a última seja um número real, isto é, rs rs rs Se r e s são números inteiros e s, então ( f ( ) ) L desde que L seja um número real. Eemplo: Usando as Regras do Limite, calcule

8 Solução: ( + + ) ( ) Observação: O Teorema. só é válido se ambas as funções f e g possuírem ites. Verifique esta afirmação. Observação: A Regra da Soma que vale para duas funções, também vale para um número finito de funções. Além disso, se somente uma das parcelas não possui ite, então o ite da soma de todas as parcelas não eistirá. Verifique esta afirmação. Teorema. (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades f ( ) g( ) h( ) para todo em um intervalo aberto contendo, eceto talvez em e se f ( ) L h( ), então g( ) L Definição: Dizemos que uma função f é itada quando eiste uma constante C > tal que f ( ) C, para todo D, onde D representa o Domínio da função f. Corolário.: Se f é uma função itada e g é uma função tal que f ( ) g( ), mesmo que não eista f ( ). g ( ), então Eemplo: Mostre que sen Solução: Como sen, e, conclui-se, pelo Corolário., que sen..5 Limites Laterais, b, onde < b. Dizemos que um número L é o ite à direita da função f quando tende para, e escrevemos Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ) 4

9 f ( ) L + se, para todo ε >, eiste um δ > tal que f( ) L < ε sempre que < < + δ. Notação: + com > Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto (, ) c, onde L é o ite à esquerda da função f quando tende para, e escrevemos f ( ) L se, para todo ε >, eiste um δ > tal que f( ) L < ε sempre que δ < <. c<. Dizemos que um número Observação: Os Teoremas.,. e. continuam válidos quando substituímos + por ou. Notação: com < Eemplo: Seja f( ),, Como, > +, < conclui-se que f( ) e f ( ) + Teorema.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo, eceto possivelmente no ponto, então f ( ) L se, e somente se, f ( ) L e f ( ) L. + Eemplo: Utilizando o Teorema.4 f f Como ( ) e ( ), conclui-se, do eemplo anterior, que não eiste ( ) Cálculo de Limites f Antes de apresentar eemplos de cálculos de ites, vamos falar um pouco sobre epressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as epressões:,, -,,,, São indeterminadas. O que significa isto? 5

10 Eemplo: Verificando a indeterminação. (a) Sejam f ( ) e g( ). Temos que f( ) g( ) e f( ) ( ) g (b) Sejam f ( ) e g( ). Temos que f( ) g( ) e, neste caso, f( ) g ( ) Analisaremos, agora, alguns eemplos de cálculo de ites onde os artifícios algébricos são necessários: são casos de funções racionais em que o ite do denominador é zero num determinado ponto e o ite do numerador também é zero neste mesmo ponto. Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo. Eemplo: Calcule + 4 Solução: + ( + )( + ) 4 ( + )( ) Eemplo: Calcule + Solução: Para este eemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue então, ( + ) ( + + ) ( + + ) + 6

11 ( + ) ( ) + ( + + ) ( + + ) ( + + )..7 Limites no Infinito O símbolo não representa nenhum número real. Usamos para descrever o comportamento de uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os ites finitos. Por eemplo, a função f( ) é definida para qualquer valor de (Figura ). Quando vai se tornando cada vez maior, se torna próimo de zero. Podemos sintetizar esse fato dizendo quando ±. f( ) tem ite Figura : Gráfico de y Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( a, + ). f( ) L ε >, M > ; > M f( ) L < ε. + Escrevemos, Analogamente, Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto (,b). Escrevemos, f( ) L ε >, N < ; < N f( ) L < ε. Definição. A reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y f( ) Se f ( ) b + ou f ( ) b Teorema.5. Se n é um número inteiro positivo, então (a) n + (b) n (c) K K,onde K é uma constante ± Observação: Os Teoremas.,. e. continuam válidos quando substituímos por + ou. 7

12 Eemplo: Usando as propriedades de ites, calcule Solução: Limites Infinitos Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo, eceto, possivelmente, em. Dizemos que f( ) + M >, δ > ; < < δ f( ) > M Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo, eceto, possivelmente, em. Dizemos que f( ) N >, δ > ; < < δ f( ) < N Definição. A reta é uma assíntota vertical do gráfico da função y f( ) se f( ) ± ou + f( ) ±. 8 Eemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função f( ) 4 Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando ± e quando ±, onde o denominador é zero. Observe que f é uma função par de, isto é, f ( ) f ( ), para todo ±. Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eio y. f O comportamento quando ±. Como ( ), tem-se ± que a reta y é uma assíntota horizontal. f O comportamento quando ±. Uma vez que ( ) e + f ( ) +, a reta é uma assíntota vertical. Analogamente, por simetria,, também é uma assíntota vertical. 8 Figura 4: Gráfico de y 4 8

13 Observação: f ( ) g( ) h ( ) h ( ) simbolicamente ± ± f ( ) + g( ) ± ± ± ± + f ( ) g( ) + + é indeterminação + k f ( ) g( ) 4 k f ( ) g( ) f ( ) ( ) 6 + f ( ) g( ) 7 + k > f ( ) ( ) 8 + k < f ( ) g( ) 9 ± f ( ) ( ) A tabela abaio nos dá um resumo dos fatos principais válidos para + os ites infinitos, onde podemos ter,,, + ou.? ( ) ( ) ± + ( ) k + ± + ± ( ) ± k g + ( ) ( ) ( + ) ( ) g + ( ) k ( ) k g? ( ± ) + +, k > +, k < é indeterminação k ± f ( ) g( ) k ± ± ± f ( ) g( )? ± ± é indeterminação k > + f ( ) g( ) + k +, k > + + f ( ) g( ) k > f ( ) g( ) k, k > 5 + f ( ) g( ) + 6 f ( ) g( )? é indeterminação Eemplo: Determinar + 5 ( 4 + ) Solução: Neste caso, temos uma indeterminação. Para determinar o ite usamos o seguinte artifício de cálculo. Escrevemos, + 5 ( 4 + ) ( + ) +..9 Limites Fundamentais Teorema.6. (a) sen (b) ( ) + e, onde e é o número irracional neperiano cujo valor é, , 9

14 (c) a ln a ( a >, a ) Eemplo: Calcule sen sen Solução: sen sen sen sen sen sen sen sen. Neste eemplo, sen senu, onde u e u quando. u u Analogamente, sen e 4. Avaliando o que foi construído Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de ites de funções, foi apresentado ao conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos eemplos, usando as propriedades, alguns ites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender dentro de tema. No Moodle... Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial I na plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que você me acompanhe. Aguardo você no MOODLE! 5. Referências. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5 a Edição, Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6 a Edição Thomas, George B., CÁLCULO, Vol., Editora Pearson Education do Brasil, a Edição,. 4

15 Unidade II Continuidade. Situando a Temática Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da função em todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos que estamos trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles. Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um eemplo de função contínua. Mas uma função pode ser contínua e seu gráfico se compor de dois pedaços distintos. Verifique esta afirmação. Estudaremos, nesta unidade, a idéia de continuidade. O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida. Continuidade em um ponto Teste de Continuidade Propriedades de Funções Contínuas Composta de Funções Contínuas Teorema do Valor Intermediário. Problematizando a Temática As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se aproima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos descobriram, em 9, que a luz vem em partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas (Figura 6). Como conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se tornou importante tanto prática quanto teoricamente. Figura 6. Conhecendo a Temática.. Continuidade em um Ponto Definição. Seja I R um intervalo. Uma função f : I R é contínua em um ponto a I quando f ( ) f( a) a 4

16 Considerações sobre a Definição (a) Quando f não é contínua em um ponto a, dizemos que f é descontínua em a e que a é um ponto de descontinuidade de f ; (b) f contínua à esquerda no ponto a quando f ( ) f ( a) ; a (c) f contínua à direita no ponto a quando f ( ) f ( a). a + Eemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto, < A função Salto Unitário definida por U( ) é contínua à direita em, mas não é contínua à, esquerda nem contínua aí (Veja Figura (a)). Ela apresenta descontinuidade de salto em. Continuidade Definição. Seja I R um intervalo. Uma função f : I R é contínua quando f é contínua em todo ponto a I Eemplo: Identificando Funções Contínuas A função f( ) ( Figura ) é contínua em todo.. Propriedades de Funções Contínuas. Teorema.: Se f e g são funções contínuas em a, então as seguintes combinações são contínuas em a.. Soma: f + g. Diferença: f g. Produto: f g 4. Constantes Múltiplas: k f, para qualquer número k 5. Quociente: f g, desde que ga ( ).4. Composta de Funções Contínuas. Teorema.4. Se f é contínua em a e g em b f ( a), então a composta g f é contínua em a, isto é, g( f( )) g( f( )) g( f( a)) a a Eemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função h ( ) + + é contínua em 4

17 + Solução: Sejam f( ) + e g( ). Daí, h ( ) ( g f )( ) g ( f ( )). Sendo + f () + g( f()) g(), tem-se que + + g( f( )) h( ) g( f()) + + e.5. Teorema do Valor Intermediário Teorema.5..Seja f :[, ] fechado [, ] em [ ab, ]. a b R uma função contínua em um intervalo ab tal que f ( a) y f( b), então y f() c para algum c Eemplo: Aplicando o Teorema.5 Eiste algum número real que somado a seja eatamente igual ao seu cubo? Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor Intermediário. Com efeito, seja este tal número que deve satisfazer a equação + ou, equivalentemente,. Portanto, estamos procurando um zero da função contínua f ( ) (Veja Figura 7 abaio). Esta função muda de sinal no intervalo [, ], pois f() < < f() 5, logo deve eistir um ponto c entre e tal que f() c Figura 7 Ampliando o seu Conhecimento Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta horizontal y d cruzando o eio y entre os números f ( a ) e f ( b ) cruzará a curva y f( ) ab,, desde que f seja contínua em [ ab, ]. pelo menos uma vez no intervalo [ ] 4. Avaliando o que foi construído No Moodle... Dialogando e Construindo Conhecimento Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas ao assunto desta unidade. Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudo das funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataforma e procurar resolver os eercícios nela proposta. 4

18 Dialogando e Construindo Conhecimento Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco. 5. Referências. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5 a Edição, 987. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6 a Edição Thomas, George B., CÁLCULO. Vol., Editora Pearson Education do Brasil, a Edição,. 44

19 Unidade III Derivadas. Situando a Temática No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de d e dy para designar os infinitésimos em e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como Cálculo Diferencial. A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. Por eemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento s st (), onde t representa o tempo, para eplicar o funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqüências de erros cometidos durante as medições. A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do mundo das derivadas. Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos: A Derivada de uma Função num Ponto A Reta Tangente Continuidade de Funções Deriváveis Derivadas Laterais Regras de Derivação Derivada das Funções Elementares do Cálculo Regras de L Hospital Derivação de Função Composta Derivada da Função Inversa A Derivada de uma Função na Forma Implícita. Problematizando a Temática Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva y f( ) no ponto P (, y ), onde y f( ) Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e outros problemas que envolvem derivadas.. Conhecendo a Temática. A Derivada de uma Função Definição. A derivada de uma função y f( ) em relação à variável é a função f cujo valor em é desde que este ite eista. f ( + h) f( ) f ( ), h h 45

20 Considerações sobre a Definição: (a) O domínio de f é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o ite eiste. Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor; (b) Se f eiste para um determinado valor de, dizemos que f é derivável em ; Calculando f () a partir da Definição de Derivada Passo. Escreva epressões para f () e f ( + h) Passo. Desenvolva e simplifique o quociente f ( + h) f ( ) h Passo. Usando o quociente simplificado, encontre f () calculando o ite f ( + h) f ( ) f ( ) h h Eemplo: Aplicando a Definição Encontre a derivada de y Solução: Passo : f ( ) para >. e f ( + h) + h Passo : f ( + h) f ( ) h ( + h ) ( + h + ) h ( + h + ) + h h + h h + h + ( ) ( + h + ) Passo : f ( ) h ( + h + ) (Veja Figura 8 (a) e 8(b) ) Figura 8 46

21 Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função y f (). Além de f (), as notações mais comuns são: (i) y ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton dy (ii) ( lê-se dyd ). Esta notação foi dada por Leibniz d.. A Reta Tangente Definição. Dada uma curva de equação y f( ), seja P (, y ) um ponto sobre ela, ou seja, y f( ). A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular m é dado pela epressão T m T f ( + h) f ( ) h, h quando este ite eiste. Assim, m f ( ). T Eemplo: Determine a equação da reta tangente à curva y em 4 Solução: Do Eemplo., vimos que f ( ) Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4 é dado por mt f (4). 4 4 A reta tangente passa pelo ponto P (4,) e tem como equação y ( 4) y Figura 9. Continuidade de Funções Deriváveis Teorema.. Se f é derivável em, então f é contínua. 47

22 Prova: Como f ( ) eiste, devemos mostrar que f ( ) f ( ) f ( + h) f ( ). h Com efeito, se h, então Assim, f ( h f ( + h) f ( f ( ) + + h) f ( ) + h h + h) h f ( f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) h + h) f ( h ou, equivalentemente, que ) h h Corolário.. Se f não é contínua em, então f não é derivável em Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir Eemplo: A função f ( ), é contínua em mas não é derivável aí, pois f h f f h h f ( ) > e f ( ( ) () ( ) ) h h h h h que h h não eiste e, portanto, f não é derivável neste ponto..4 Derivadas Laterais Definição: Se a função y f( ) está definida em,então a derivada à direita de f em, denotada por f + ( ), é definida por f ( + h) f ( ) f + ( ) h + h ( ) ( ) f f, + caso este ite eista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em, denotada por f ( ), é definida por f ( + h) f ( ) f ( ) h h ( ) ( ) f f, desde que este ite eista. 48

23 Considerações sobre a Definição: (a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda nesse ponto eistem e são iguais; (b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda eistem e são diferentes em um ponto, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função y f (). Neste caso, f não é derivável em ; (c) Se uma das derivadas laterais não eiste em um ponto, então f não será derivável em. Eemplo: A função f ( ) não é derivável em, embora seja contínua aí Solução: À direita da origem ( > ) d d d d ( ) ( ) e À esquerda da origem ( < ), f( + h) f() h f + () + h h + h h d d d d ( ) ( ) e f( + h) f() h f () h h h h Como f () f (), tem-se que f não é derivável. + Figura.5 Regras de Derivação Teorema.5. Se f e g são funções deriváveis em, então as seguintes combinações são deriváveis em. Soma: f g. Diferença: f g + + ; + e ( f g) ( ) f ( ) g ( ) ; e ( f g) ( ) f ( ) g ( ). Produto: ( f g) e ( f g)( ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) ; 49

24 4. Quociente f g e f g( ) f ( ) f ( ) g ( ) ( ) g [ g ( )], desde que g ( ) ; 5. Constantes Múltiplas: k f e ( k f )( ) k f ( ), para todo número real k. No Moodle... Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes eercícios: (i) Prove o Teorema.5 (Regras de Derivação) (ii) Mostre que d d ( ) n (iii) Mostre que ( C) n n, onde n é um número real (Derivada da Potência) d, onde C é uma constante. d Eemplo: Aplicando as regras de derivação Determine as derivadas das seguintes funções: (a) f ( ) ( + )( + ) (b) g ( ) 5 + (c) 4 h ( ) + + (d) y Solução: (a) (b) (c) f ( ) ( + ) ( + ) + ( + )( + ) [( ) + ( ) ] ( + ) + ( + ) [( ) + () ] (+ ) + ( + ) + ( + ) ( + ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) 5 5 ( ) ( + ) ( ) ( + ) 4 5 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 4 5 ( + ) ( ) ( ) ( + ) 4 h ( ) ( ) + ( ) + ( )

25 (d) y ( ) ( ) + ( ) + [( ) ] Derivada das Funções Elementares do Cálculo ( ) Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: eponencial, logarítmica e trigonométricas. Eemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: (a) (b) y + sen y tg+ e Função Derivada f ( ) f ( ) e e ln / sen cos 4 cos sen 5 tg sec 6 cot g cos sec 7 sec sec tg 8 cossec cossec cot g (c) y ln (d) y sec + cos Solução: (a) y ( + sen) + cos (b) y ( tg+ e ) ( tg) + ( e ) sec + e (c) y ( ln ) ( ) ln + (ln ) ln + + ln (d) y (sec ) + ( cos ) sec tg+ cos + ( sen) sec tg+ cos sen.7. Regras de L Hospital Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo dado pelas Regras de L Hospital dadas a seguir. ou. Esse método é Teorema.7.(Regras de L hospital): Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, eceto, possivelmente, em um ponto a I. Suponhamos que g ( ), a em I. 5

26 (i) Se (ii) Se f ( ) f( ) f ( ) f ( ) g( ) e L, então L a a a g ( ) a g( ) a g ( ) f ( ) f( ) f ( ) f ( ) g( ) e L, então L a a a g ( ) a g( ) a g ( ) Considerações sobre o Teorema.7: f () f ( ) (i) Se f ( ) g ( ) e L, então L a a a g () g a ( ) e assim sucessivamente... f () (ii) Se f ( ) g ( ) e L, então a a a g () f ( ) L e assim sucessivamente... g a ( ) Eemplo: Determine os seguintes ites: (a) (b) + sen e + e e (c) + 4 Solução: Aplicando as Regras de L hospital, temos (a) sen + cos sen (b) e + e e e e + e e e e e (c) Observação: As Regras de L hospital são válidas para ites laterais e ites no infinito..8. Derivação de Função Composta Consideremos duas funções f e g onde u g( ). Para todo tal que g( ) está no domínio de f, podemos escrever y f( u) f( g( )), isto é, podemos considerar a função composta ( f g)( ) f( g( )). 5

27 7 Por eemplo, uma função tal como y ( + 5+ ) pode ser vista como a composta das funções 7 y u f ( u) e u + 5+ g( ). Figura Teorema.8. A Regra da Cadeia Se f ( u ) é derivável no ponto u g( ) e g( ) é derivável em, então a função composta ( f g)( ) f( g( )) è derivável em e ( f g)( ) f ( g( )) g ( ) f ( u) u Na notação de Leibniz, se y f( u) e u g( ), então dy dy du, d du d dy onde é calculado em ( ) du u g. 7 Eemplo: Dada a função y ( + 5+ ), determinar dy d. Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever Assim, pela Regra da Cadeia, 7 y u f u ( ), onde u + + g 5 ( ) dy dy du d du d u ( 5) 6 7( + 5+ ) (+ 5). + ( ) + cos, determinar dy Eemplo: Dada a função y e sen d Solução: Sejam u, v e w cos. Assim, podemos escrever Assim, pela Regra da Cadeia, u y e + senv+ w u ( ( ) cos ) ( ) u u y e + sen + e + senv + w ( e ) + ( senv) + ( w ) e u + (cos v) v + ( w) w e + + sen (cos( )) (cos ) ( ) e + cos( ) sen cos.9. Derivada da Função Inversa Teorema.9. Derivada da Função Inversa Seja y f () uma função definida em um intervalo aberto (a,b). Suponhamos que f () Admita uma função inversa g (y) contínua. Se f' () eiste e é diferente de zero para qualquer ponto (a,b), então g f - é derivável e vale g'( y) f '( ) f '( g( y)) ou g'( f( )) f '( ) 5

28 Prova: Sendo g f, tem-se que g ( f ( )), para todo ( a, b) e usando a Regra da Cadeia, conclui-se g ( f ( )) f ( ) g ( f ( )) f ( ) Eemplo.9: Seja y f( ), >. Determine g (), onde Solução : g( y) y+ ( y+ ) / (Verifique!). Daí, Em particular, Solução : Pelo Teorema.8, Em particular, / g ( y) ( y+ ) y+. g () + 4 g ( y) g ( f( )) f ( ) g f. Assim,.. Derivada da Função Implícita y g (). f () 4... Função na Forma Implícita Dizemos que a função y f( ) é definida implicitamente pela equação F(, y ) se ao substituirmos y por f ( ) nesta equação obtemos uma identidade, isto é, F(, f( )). Eemplo: A equação + y define implicitamente a função y ( ). De fato, substituindo y ( ) na equação + y, obtemos a identidade + ( ).... A Derivada de uma Função na Forma Implícita Suponhamos que a equação F(, y ) define implicitamente uma função derivável y f( ). Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y sem eplicitar y. Eemplo: Sabendo que y f( ) é definida implicitamente pela equação y + y + y, determinar y. Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à e supondo que y f( ) é derivável, obtém-se: ( y + y ) ( + y) + + ( y ) ( y ) ( ) ( y) 54

29 + + + y y y 6y y y Isolando y na última igualdade, temos y y + y 6y Em particular, o ponto P (,) está na curva y f( ) e aí, y (,) E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por Se Cocime y ( ) y Você sabia que só no século XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas passam, a partir de observações ou eperiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a criação de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das itações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o Problema da Tangente. Ampliando o seu Conhecimento Ampliando Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva assumia valores etremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos P (, f ( )) com valor assumido no outro ponto Q ( + h, f ( + h)) próimo de P, a diferença entre f ( + h) e f ( ) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de h, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar etremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de ite não estava ainda claramente definido. No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de d e dy, para designar os infinitésimos em e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como Cálculo Infinitesimal 55

30 4. Avaliando o que foi construído No Moodle... Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial e Integral I, você poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema Derivadas. Dedique-se à resolução das tarefas relacionadas a este assunto. Encontrar-nos-emos no MOODLE. Até lá! Dialogando e Construindo Conhecimento Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataforma MOODLE, faça as tarefas nela propostas Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte conosco. 5.Referências. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5 a Edição, Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6 a Edição Thomas, George B., CÁLCULO, Vol., Editora Pearson Education do Brasil, a Edição,. 56