Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2002/03 Função quadrática II 10.º Ano

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1 Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 00/03 Função quadrática II 0º Ano Nome: Nº: Turma: Lança-se uma flecha para o céu, num instante que se toma para origem dos tempos Durante o movimento, a altitude dt ( ) da flecha no instante t é dada por dt () 5t + 0t+ Esta altitude é medida a partir do solo As unidades utilizadas são segundos para o tempo e metros para a altitude a) Depois de esboçar o gráfico, responde: a) A flecha atingirá uma altura de 4,8 metros? A flecha atingirá uma altura de 7 metros? a) Qual a altura máima que a flecha atingirá? Em que instante? b) Comprova os valores indicados em a), depois de escrever dt ( ) na forma dt () at ( h) + k Do alto de um farol lança-se verticalmente, de baio para cima, um projéctil cuja altura h em relação à base do farol é dada por h ht () 5 t + a) Mostra que h ( t) ( t ) 9 (h em metros; t em segundos) O t 5 m b) Depois de determinar o vértice, zeros e eio de simetria, esboça (com papel e lápis) o gráfico de t h(), t para t 0 0 m c) Com aproimação à décima de segundo, determina analiticamente ao fim de quanto tempo o projéctil atinge as águas do mar (observa a figura) Verifica o valor encontrado com a calculadora gráfica d) Sem recorrer ao gráfico, determina durante quanto tempo esteve o projéctil a uma altura superior ou igual a 8 metros em relação à base do farol 3 Dispõe-se de metros de rede, que se pretende utilizar na totalidade, para vedar um terreno rectangular à beira de um rio (só três lados a vedar), construído a partir do ponto P (Observa a figura) P Rio a) Mostra que a epressão a ( ) ( em metros e a em metros quadrados) representa a medida da área do terreno vedado em função do comprimento do lado marcado na figura 3 m b) Depois de determinar o vértice, zeros e eio de simetria, esboça (papel e lápis) o gráfico da função a (considerando o domínio IR) c) Determina as dimensões do terreno de modo que a área seja máima Esboça um esquema que traduza esta situação A d) Pretende-se obter um terreno vedado com 6 m de forma a que a árvore (A) não fique dentro do mesmo Utilizando o gráfico, determina as dimensões do terreno a vedar e confirma algebricamente os resultados obtidos e) Recapitula a resolução do eercício enquanto eploras os recursos apresentados na actividade metros de rede na página:

2 4 Num jogo de badmington o jogador A, situado a m da rede, joga o «volante» a m do chão Este desloca-se num plano vertical e descreve uma trajectória que, no referencial ortonormado cujos eios resultam da intersecção do plano onde se desloca o «volante» com o plano do chão (horizontal) e com o plano da rede (vertical) - ver figura -, tem por equação: y y ( + )( 6) + (a unidade considerada nos dois eios é o metro) A O B a) Quando o «volante» passa sobre a rede, a quantos metros está do chão? Quando o «volante» atinge a altura máima, a quantos metros da rede fica a vertical dessa posição? b) Determina, com aproimação ao centímetro, a distância a que o «volante» está da rede quando se encontra sobre o campo do jogador B a metros do chão 5 Projecta-se um canteiro de flores com a forma de um triângulo rectângulo cujo lado maior encosta a um muro Sobre os outros dois lados será construído um gradeamento cujo comprimento total tem de ser 40 metros a) Mostra que a área do canteiro, em m, é dada por a( ) 0, designando o comprimento, em metros, de um dos catetos b) No conteto do problema, qual é o domínio da função a? Porquê? c) Depois de determinares os pontos de intersecção com o eio O, vértice e eio de simetria, esboça o gráfico da função (considerando o domínio IR) d) Quanto deve medir cada cateto para que a área do canteiro seja máima? Justifica Nota: Eplora o sketch GSP em: 6 A Alice quer fazer uma tapeçaria rectangular com bordado na base e aos lados Pretende comprar o tecido de modo a aproveitar na totalidade os 6 metros de bordado (ver figura) a) Representando a altura por, em metros, mostra que a área da tapeçaria, em m, é dada por a( ) 6 b) Depois de determinares os pontos de intersecção com o eio O, o vértice e o eio de simetria, esboça o gráfico (papel e lápis) da função (considerando o domínio IR) Quais as dimensões da tapeçaria para que a sua área seja máima? Justifica 7 Tem-se cartolina rectangular cujas dimensões, em dm e em função de, estão assinaladas na figura ao lado Pretende-se construir (por dobragem) uma caia sem tampa, cortando nos quatro cantos da cartolina um quadrado de lado dm - a) Mostra que o volume da caia, em dm 3, é dado por v ( ) + 3 b) Depois de determinar os pontos de 0 - intersecção com o eio O, o vértice e o eio de simetria do gráfico de v, indica qual o máimo volume que se pode obter para a caia e as correspondentes dimensões da cartolina Nota: Eplora o sketch GSP em:

3 SOLUÇÕES a) Sim, a flecha atingirá uma altura de 4,8 metros (em dois momentos distintos) Não, a flecha não atingirá uma altura de 7 metros a) Cerca de dois segundos após o lançamento, a flecha atingirá a altura máima: aproimadamente metros b) Sendo d ( t) 5t + 0t + 5( t 4t + 4) + 5( t ) +, conclui-se que (, ) são as coordenadas do vértice da parábola, pelo que a flecha atinge a altura máima de metros, dois segundos após o lançamento a) h ( t) 5 t ( t 4t) + 5 ( t ) ( t ) + 9 h b) ht () 0 ( t ) ( t ) 9 t 3 t 3 t t O vértice é V (, 9 ) O eio de simetria é a recta de equação t Os zeros são: - e t c) As águas do mar encontram-se 0 m abaio da base do farol Assim, ht () 0 t t t 4m 6 4 ( ) 5 4 t ± 76 Ora, , 4 ( c d) -0 O projéctil atinge as águas do mar aproimadamente 6,4 s após o lançamento h, obtém-se por solução [ ] d) Resolvendo a condição ( t) 8 t t,3 Logo, durante segundos o projéctil esteve a uma altura superior ou igual a 8 metros em relação à base do farol Ora, h ( t) 8 t t 3 0 4m 6 Como t 3 0 t t t 3 e o gráfico de t y( t) t 3 é uma parábola com concavidade voltada para baio ( < 0 a ), então ( t) 8 t [, 3] h 3

4 3 a) Designando por y a outra dimensão do terreno, temos: Perímetro + y e Área y Logo, como + y y, vem a( ) ( ) b) Como a( ) ( 3) + 8 o vértice da parábola é V (3, 8) Os zeros são 0 e 6, pois a ( ) 0 (6 ) O eio de simetria é a recta vertical de equação 3 c) A área é máima (8 m ) quando a largura do terreno for de 3 metros ( 3 ); consequentemente o terreno terá um comprimento de 6 metros A vedação será, portanto, tangente à árvore A d) a( ) 6 ( 3) ( 3) Para a área pedida há dois valores possíveis para : ou 4 Como a árvore não pode ficar dentro do terreno a vedar, então a largura do terreno será metros e o comprimento 8 metros alínea c) 4 a) Como y( 0) ( 0+ )( 0 6) + 7, o «volante» quando passa sobre a rede encontra-se a 7 m do chão Ora; y ( + )( 6) + ( 4 ) + ( ) + ( 4+ 4) ( 6) + ( ) + 9 Logo, o vértice da parábola é V (, 9 ) A trajectória do «volante» é parabólica, logo atingirá a altura máima de 9 m, sobre o campo do jogador B numa posição cuja vertical distará metros da rede b) Ora, y ( ) + 9 ( ) 7 ( ) Como + 4 5, 74 ( c d), nesse instante o «volante» distará da rede aproimadamente 5,74 metros 5 a) Designado os comprimentos dos catetos do triângulo por e y, temos + y 40 y 40 y (40 ) 40 Logo, a área do canteiro é dada por a( ) 0, cqm 4

5 b) No conteto do problema, o domínio de a é ] 0, 40[ D (em metros), pois qualquer dos catetos terá de ter comprimento não nulo, mas inferior a 40 metros c) Determinando os zeros de a, temos: a ( ) (0 ) Logo, A (0, 0) e B (40, 0) são os pontos de intersecção do gráfico de a (em IR) (uma parábola) com o eio O O eio de simetria é a mediatriz de [AB], a recta de equação 0 O vértice da parábola é V ( 0, a(0)) (0, 00) a d) No gráfico, o arco de parábola compreendido entre A e B (eclusive) relaciona a área do canteiro com a dimensão de um dos catetos do canteiro Observa-se que a área máima (00 metros quadrados) ocorre quando um dos catetos medir 0 metros; consequentemente, o outro cateto mede também 0 metros Isto é, o canteiro deve ter a forma de um triângulo rectângulo isósceles para que a sua área seja máima 6 a) Designado a altura e o comprimento da tapeçaria por e y, temos + y 6 y 6 Logo, a área da tapeçaria é dada por a( ) y (6 ) 6, cqm b) Ora, a ( ) 0 (6 ) Logo, A (0, 0) e B (3, 0) são os pontos de intersecção do gráfico de a (em IR) (uma parábola) com o eio O O eio de simetria é a mediatriz de [AB], a recta de equação,5 O vértice da parábola é V (,5; a(,5)) (,5; 4,5) No gráfico, o arco de parábola compreendido entre A e B (eclusive) relaciona a área da tapeçaria com a sua altura Observa-se que a área máima (4,5 metros quadrados) ocorre quando a altura da tapeçaria é,5 metros Portanto, a tapeçaria a construir deve ter uma altura de,5 m e um comprimento de 3 m 7 a) Tendo em consideração que o volume de um paralelepípedo rectângulo se obtém pelo produto dos comprimentos das suas três dimensões, vem: v( ) ( )(0 ) ( 4)(8 ) , cqm b) Em IR, o gráfico de v é uma parábola, pois a função é quadrática Como ± 44 8 v( ) 0 ± então A (4, 0) e B (8, 0) são os pontos de intersecção do gráfico com o eio O Logo, o eio de simetria é a mediatriz de [AB], a recta vertical de equação 6 O vértice da parábola é V (6, v(6)) (6, ) (6, 4) Por inspecção do gráfico, conclui-se que o volume máimo que se pode obter para a caia é 4 dm 3 (para 6 ) As correspondentes dimensões da cartolina são 4 dm por 4 dm (Note que o problema apenas está definido para os valores de tais que: > 0 > ] 4,8[ ) O Professor 5