Base de um sistema de numeração

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1 Base de um sistema de numeração Um conjunto finito de coisas (moedas iguais ou selos iguais ou adesivos iguais ou...) pode ser quantificado ou contado de infinitos modos. No nosso caso, contamos de 10 em 10, ou sejá : Se temos um conjunto com 112 moedas, procuramos agrupá-las de 10 em 10, sendo que cada grupo de 10 moedas recebe o nome de Dezena e cada grupo de 10 Dezenas recebe o nome de Centena e aí vem a Unidade de Milhar, Dezena de Milhar,... Então, em 112moedas, há 11 grupos de 10 moedas, portanto, 11 dezenas, ou seja uma centena, mas sobra 1 dezena e mais duas moedas (duas unidades). 112 moedas ( ) dezenas + 2 unidades 1 centena 1 dezena 2 unidades, portanto, 112. Suponhamos que no mesmo exemplo anterior, contássemos de 5 em 5. Então teríamos 112 moedas 22 X moedas Se cada grupo de 5 moedas se chamasse Quinquina e cada grupo de 5 qunquinas fosse 1 Square, 112 moedas (no nosso sistema de m numeração ), seriam, no sistema de base 5: 22 quinquinas + 2 moedas = 4 Squares + 2 quinquinas + 2 unidades e o numeral correspondente seria 422 (5). Lê-se quatro, dois, dois, base 5

2 Exercício Resolvido : Lá em Boa Névoa, canto escondido de Minas Gerais, tinha o Seu Wilson, apelidado de Wilson Semanal, porque tinha a mania de só contar usando a semana como base, ou seja, como a semana tem 7 dias, o Seu Semanal só contava de 7 em 7 e justificava - Deus levou 7 dias para construir o mundo,então o 7 é um número de Deus. E tinha, uma facilidade estupenda o Semanal para ouvir na base decimal e, imediatamente, converter para a sua base favorita. O Seu Natalino era quem cuidava das contas do Seu Semanal, era um suplício para ele aquela missão: só podia usar como consulta as anotações de Semanal, que estavam todas na base 7; além da primitiva calculadora, ele usava um ábaco para lidar com a estranha base 7. Numa manhã chuvosa, o Semanal recebeu uma conta de luz com o valor de R$ 1&5,00, ou quase isto.o fato é que o segundo algarismo do numeral estava quase todo apagado, não dava para descobrir. Então, o Semanal, de esperto que gostava de ser, entregou a anotação para o Natalino, obviamente na base 7, como R$ 236, 00. Calcule quanto o Semanal teve que desembolsar além de sua previsão, para pagar a conta, depois que o & foi esclarecido como sendo igual a 3. Resolução : O numeral 236, na base 7, significa 2 grupos de grupos de elementos ( ou 6 x 7 0 ). Trazendo para a base 10, daria 2 X X X 1 = = 125. Então, na base 10, o valor da conta seria R$, 125, 00. Se o & vale 3, então, a conta seria de R$ 135,00 e o Semanal teve que desembolsar mais R$ 10, 00. Qualquer que seja a base do sistema de numeração, o numeral correspondente será uma soma de potências da base escolhida, com expoentes naturais. Por exemplo, 223 na base 9, significa 2 X X X 9 0 = 183, na base na base 2, significa 1 X X X 2 0 = 6, na base 10.

3 OBSERVAÇÃO : Em situações concretas do cotidiano é comum se trabalhar com bases diferentes da decimal. Exemplo 1 : Vamos contar ovos Ainda hoje contamos ovos usando a Dúzia, ou seja, 12 ovos. Como, na maioria das vezes, não vivemos a experiência de contar mais de 11 dúzias, não temos oportunidade de conhecer a terceira ordem desse sistema de numeração, a Grosa, equivalente a 12 dúzias. Se tivéssemos que contar 164 ovos nesse sistema de numeração, teríamos 1 grosa + 1 dúzia + 8 ovos e o numeral correspondente seria, nessa base 12, 118 (12). Exemplo 2 : O tempo não para Quando marcamos o tempo, usamos a base 60 para quantificá-lo, ou seja, contamos de 60 em 60 os segundos. Então, cada grupo de 60 segundos é 1 minuto e cada grupo de 60 minutos é 1 hora. Então, se formos expressar numericamente um tempo de segundos teremos 2h 17 min 15 s, que é o mesmo que 2 X (60) X (60) X (60) 0. Exercícios propostos : 1) Calcule a soma 101 (2) + 43 (5) na base decimal. 2) Dois feirantes contaram, cada um por si, as frutas de uma cesta. Um deles, usando a base 10, registrou 138 frutas e o outro, usando a base 8, registrou 21X (8) frutas. Supondo que as duas contagens estejam corretas, quanto vale X? 3) O número 10X0, na base 6, é divisível por 3. Nessas condições, qual é o menor valor possível para X?

4 4)Se o numero 25, na base 10, é representado em uma determinada base b por 221 (b), qual é o valor de b? 5) O número de elementos de um conjunto A foi registrado por duas pessoas de modos diferentes. Uma das pessoas escreveu 315 (7) e a outra escreveu 23b (8). Nessas condições, calcule o valor de b. 6) Dados os numerais n = 134 (X) e m = 54 (X), sabe-se que, n m = 24. Calcule o valor de X. 7) (PUC MG) Se a = e b = 12 3, então quanto vale a + b na base 10? 8) (PUC MG) Se A = , B = e C = , qual é o valor de A + B C na base 6? 9) (PUC MG) Se 301 na base a é igual a 193 na base 10, calcule o valor de a. 10) (PUC MG) Dados os números A = e B = 11011, na base dois. Calcule, na base dois a soma A + B. 11) (PUC MG) - Dado o número 201 na base 3, calcule esse número na base 2. 12) (UFMG) Um certo número, na base 10 é 103 e na base b é 205. Calcule b. 13) Dado cada conjunto a seguir, qual será o numeral correspondente à sua quantidade de elementos se a contagem for feita 1 o ) de 5 em 5? 2 o ) de 6 em 6? 1 o ) de 4 em 4? 1 o ) de 7 em 7? a) b) ****** 14) Decomponha cada numeral a seguir em potências de base 10 : a) b) 879 c) d) e) f) 117,412 15) Se cada numeral a seguir é escrito na base indicada entre parênteses, escreva-o como soma de potências:

5 a) 2110(3) b) 41413(5) c) (2) d) 2514(10) e) (7)