Índice. Cálculo combinatório e probabilidades. Funções exponenciais e funções logarítmicas. Funções reais de variável real.

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1 Índice 1 Cálculo combinatório e probabilidades Funções exponenciais e funções logarítmicas 1. Propriedades das operações sobre conjuntos. Cardinais. Fatorial. Arranjos 8. Arranjos. Combinações 1 5. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 1. Espaços de probabilidade Propriedades da função de probabilidade 8. Probabilidade condicionada 9. Teorema da probabilidade total 8 Teste n.º 1 Teste n.º Funções reais de variável real 1. Juros compostos e número de Neper 100. Função exponencial de base a 10. Função exponencial de base e 10. Função logarítmica Equações e inequações com logaritmos. Limites notáveis 110. Derivadas de funções exponenciais e de funções logarítmicas Estudo de funções exponenciais e de funções logarítmicas Resolução de problemas envolvendo funções exponenciais e funções logarítmicas Modelos exponenciais 1 Teste n.º 1 18 Teste n.º 1 1. Sucessões, funções e limites (revisão) 0. Teoremas de comparação e enquadramento de sucessões e funções. Teoremas de Bolzano-Cauchy 5 Números complexos e de Weierstrass. Derivadas (revisão) 8 5. Derivadas de segunda ordem, concavidades e pontos de inflexão 5. Derivada de segunda ordem e extremos locais 5 7. Derivada de segunda ordem e cinemática Estudo do gráfico de funções 0 9. Derivadas: problemas e aplicações Teste n.º 1 Teste n.º Corpo dos números complexos 18. Plano complexo 10. Divisão de números complexos 1. Forma trigonométrica dos números complexos 1 5. Raízes n-ésimas de números complexos 15. Domínios planos e condições em variável complexa 15 Teste n.º 1 15 Teste n.º 10 Primitivas e cálculo integral Trigonometria e funções trigonométricas 1. Trigonometria (revisão) 7. Fórmulas trigonométricas e limites 78. Derivadas das funções trigonométricas 80. Aplicações das derivadas trigonométricas 8 5. Gráficos de funções trigonométricas. 1. Primitivas 1. Resolução de problemas aplicando primitivas 18. Integrais definidos. Resolução de problemas 170 Teste n.º 1 17 Teste n.º 17 Osciladores harmónicos 8 Teste n.º 1 90 Teste n.º 9 Resumo teórico 18 Soluções 0

2 Ficha n.º Cardinais. Fatorial Consulte o resumo teórico Págs. 18 e 18 Conjuntos equipotentes Cardinal da união de conjuntos disjuntos, do produto cartesiano de conjuntos finitos e do conjunto das partes de um conjunto Fatorial de um número inteiro não negativo 1 Considere os conjuntos A, B e C definidos por: A = { x N : x é quadrado perfeito e menor que 0 } B = { x R : x + 1 A} C = { x N : x é primo e divisível por } 1.1. Represente em extensão os conjuntos A, B e C. 1.. Indique, justificando, dois conjuntos equipotentes. 1.. Determine os cardinais de A, B e C. 1.. Represente em extensão o conjunto: a) A B b) A B c) B C d) B C 1.5. Mostre que: a) # (A B) = #A + #B b) # (B C) #B + #C Dos 00 alunos de uma escola, sabe-se que 0 gostam de música pop rock, 0 gostam de música eletrónica e 55 não gostam de qualquer um desses dois estilos musicais. Quantos alunos gostam de ambos os estilos musicais? Os alunos das turmas do 1. ano de uma escola foram desafiados pelos professores e pela associação de estudantes a escolherem os destinos de duas visitas de estudo e da viagem de finalistas. Os destinos possíveis são apresentados na tabela que se segue. Visitas de estudo Braga Coimbra Évora Viseu Viagem de finalistas Palma de Maiorca Marbella Funchal De quantas maneiras diferentes pode um aluno escolher duas visitas de estudo e uma viagem de finalistas?

3 Tema 1 Cálculo combinatório e probabilidades Um saco contém oito bolas numeradas de 1 a 8. Utilizando quatro bolas do saco, quantos números com quatro algarismos se podem escrever:.1. que sejam ímpares?.. que sejam múltiplos de 5?.. que sejam superiores a 999? 5 A password de uma determinada conta de é formada por uma sequência de quatro caracteres alfanuméricos, ou seja, uma combinação de letras e algarismos. Uma password possível é, por exemplo: bw7p Sabendo que, obrigatoriamente, o primeiro e o último caracteres têm de ser letras, quantas passwords diferentes podem ser criadas para a conta de ? Nota: Considere que a password não pode conter letras maiúsculas. Considere o conjunto A definido por: A = {x ℕ : x tem quatro algarismos diferentes e é menor do que 8000}.1. Determine # A... Seja B o conjunto formado por todos os elementos de A que são pares e não superiores a Determine # B. 7 Considere os conjuntos A, B e C definidos por: 5x < (x 1) x < 10 A = {x ℕ : x x 15 0} B = {x ℝ : x 1 = } C = x ℤ : Determine A B. 7.. Calcule # (A B C). 8 Sabendo que # A = 5, determine quantos subconjuntos tem o conjunto A. 9 Exprima cada uma das somas algébricas como uma única fração e simplifique-a tanto quanto possível. 0! !!!! 5!! n! ( n + 1)! 10 Determine para que valor natural de n se verifica: ( n + 1)! (n + )! = = n! (n + 1)! 7

4 Teste n.º Nome N.º Turma Escola 1 Num supermercado, um repositor da secção das bebidas tem de colocar numa prateleira sete garrafas de sumo natural de romã e nove de limonada. De quantas formas diferentes pode colocar as garrafas, de modo que as do mesmo sabor fiquem juntas? (A) 1! (B) 7! 9! (C) P 7 P 9 (D) 7 A 1 9 A 1 Consulte o resumo teórico Págs. 18 a 199 Numa turma de 5 alunos, escolhem-se seis, ao acaso, para a representarem numa reunião com os professores e encarregados de educação. Sabendo que 0% dos alunos da turma são rapazes, qual é a probabilidade de entre os seis representantes não haver pelo menos uma rapariga? 15! (A) (B) 15 A (C) 15 C (D) 15 C 10 C 5 A 5 C 5 C 5 C Considere as funções f e g, reais de variável real, definidas por f (x) = x + 10x + ln 5 e g (x) = ln x. A expressão que representa (f g) ' (x) é: (A) (x + 10) ln x (B) e x ( e x + 5) (C) ln x + 10 x x (D) 8 e x + ln 5 x De uma função f, real de variável real, sabe-se que lim f (x) 5 x x =. Uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa é: (A) y = 5x (B) y = x 5 (C) y = 5x + 10 (D) y = x Na figura está representado o círculo trigonométrico e um trapézio isósceles [ABCD], cujos vértices pertencem à circunferência. A base maior do trapézio é um diâmetro da circunferência e α é a amplitude do ângulo DOA. A área do trapézio é dada, em função de α, por: (A) 1 + sin α cos α (B) sin α cos α C B Im (z) O α A D Re (z) (C) sin (α) (D) sin α (1 + cos α) 10 cos x 1 Seja f a função definida em R \ { 0} por f (x) = +. x Qual das opções seguintes é o lim f (x)? x 0 (A) 0 (B) (C) + (D)

5 Tema 5 Números complexos 7 Considere as funções f e g, de domínio R, definidas por f (x) = x x e g (x) = ( 1 ). Qual é o conjunto-solução da condição g (x) < f (x)? (A) ] 0, + [ (B) { } (C) R (D) [ 1, + [ 8 k + i Considere o número complexo z = i O valor de k para que z seja um imaginário puro é: (A) (B) (C) 0 (D) 8.. O valor de k para que z seja um número real é: (A) (B) (C) 1 (D) 1 9 O afixo de um número complexo z situa-se no. quadrante do plano de Argand. Qual dos números seguintes pode corresponder a z? (A) πi (B) i (C) i (D) O número complexo 1 i tem por argumento principal: i (A) 5π (B) π (C) 5π (D) π + i 11 Seja z um número complexo cujo argumento principal é π. Qual poderá ser um argumento de z i? (A) π (B) π (C) π (D) π 1 Considere o número complexo w = 1 + i. O afixo do inverso de w pertence à região do plano complexo definida por: (A) z z 1 i (B) z (C) Arg (z) = π (D) Re (z) = 1 1 Sabe-se que z 1 = 5 e i π 9 i e z = 5 e 7π 9 são raízes consecutivas de índice n de um número complexo z. Qual dos valores seguintes é o valor de n? (A) (B) (C) (D) 8 CAM-A1-F11 11

6 Resumo teórico Tema 1 Cálculo combinatório e probabilidades Propriedades das operações sobre conjuntos Propriedades da reunião e da interseção de conjuntos Sejam os conjuntos A, B e C subconjuntos de um universo U. 1. A B = B A. A B = B A. (A B) C = A (B C). (A B) C = A (B C) 5. A (B C) = (A B) (A C). A (B C) = (A B) (A C) 7. A A = A 8. A A = A 9. A U = A 10. A = A 11. A = 1. A U = U Comutatividade Associatividade Distributividade Idempotência Existência de elemento neutro Existência de elemento absorvente Inclusão e igualdade de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B e representa-se por A B, quando é verdadeira a proposição x A x B, x. Nota: O conjunto vazio,, está contido em qualquer conjunto. Dois conjuntos A e B dizem-se iguais e representa-se por A = B se e só se B A e A B. Leis de De Morgan para conjuntos Dados os conjuntos A e B subconjuntos de um universo U : Produto cartesiano e reunião de conjuntos A B = A B e A B = A B O produto cartesiano de A por B é um conjunto que se representa por A B, sendo os seus elementos todos os pares ordenados (x, y), em que x A e y B. Propriedades: Dados os conjuntos A, B e C : (A B) C = (A C) (B C) C (A B) = (C A) (C B) Cardinais. Fatorial Conjuntos equipotentes Dados os conjuntos A e B diz-se que são equipotentes ou que têm o mesmo cardinal (# A = # B) se e somente se existir uma função bijetiva de A sobre B. Cardinal da união de conjuntos disjuntos Se A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, se A B =, então: # (A B) = # A + # B 18