P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 2

Transcrição

1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 2 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. A soma dos todos os elementos da linha do triângulo de Pascal é dada por. Assim vem:. Logo trata-se da linha. Portanto a soma dos cinco últimos elementos da linha seguinte (a linha ) é: Resposta: C Nota: A soma dos últimos elementos de uma linha do triângulo de Pascal, com, é igual à soma dos primeiros elementos dessa linha, pois,. 2. Tem-se: Assim ( ) ( ) ( ). Resposta: B 3. Tem-se. Considere-se a variável aleatória: : «número de vezes que sai face numerada com o número em cinco lançamentos do dado» A variável aleatória segue uma distribuição binomial de parâmetros e, isto é,. Pretende-se determinar a probabilidade do acontecimento «sair face numerada com o número» ocorrer exatamente duas vezes, isto é,. Assim: Resposta: D 4. Resposta: B Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 1

2 5. Fazendo um quadro de variação da monotonia da função, vem: máx. min. n.d. A função é positiva em ] [ e em ] [ e é nula em ] ]. Observa ainda que não existe, pois o ponto de abcissa é anguloso. Das opções apresentadas a única que está de acordo com a tabela é a IA. Nota: Apesar de não ser necessário para a resolução deste exercício é de notar que a função, para valores de inferiores a, é uma função afim e portanto da forma, com, pelo que, para valores de inferiores a,. Resposta: A 6. Seja o ponto médio do segmento de reta [ ] e portanto a amplitude do ângulo é. Tem-se: e Assim: ( ) Resposta: C 7. A imagem geométrica do número complexo pertence ao primeiro quadrante, pois e. Assim:. Se então e e portanto a imagem geométrica de pertence ao quadrante. Se então e e portanto a imagem geométrica pertence ao quadrante. Se então e portanto é um número real positivo, pois, logo a sua imagem geométrica pertence ao semieixo real positivo;. Assim é simétrico de e portanto a sua imagem geométrica pertence ao quadrante;. Como vem e e portanto a imagem geométrica de pertence ao quadrante; Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 2

3 . Multiplicar por corresponde a rodar em torno da origem a imagem geométrica de, logo a imagem geométrica de pertence ao quadrante. Outra resolução para a opção IDI : Tem-se. A imagem geométrica de pertence ao quadrante pois e. Resposta: D 8. O raio da circunferência é igual a. Assim o ponto é a imagem geométrica do número complexo e portanto o ponto é a imagem geométrica do número complexo (o eneágono divide a circunferência em nove arcos de circunferência de amplitude geométricas das raízes de índice nove de um mesmo número complexo)., os seus vértices são as imagens Resposta: A GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA Tem-se ), logo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) é um número real se o seu argumento for da forma. Assim: Logo,. i) Cálculo auxiliar: Para escrever na forma trigonométrica, vem: ( ). Sendo um argumento de, tem-se e quadrante, pelo que. Assim Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 3

4 ( ) ( ) Na figura o ponto é a imagem geométrica do número complexo. (z) z i z π (z) (z) Na fila da frente os doze elementos da seleção podem sentar-se de maneiras distintas. Nos quatro lugares centrais o treinador e os três guarda-redes permutam de formas distintas. Os restantes oito elementos (os defesas) ocuparam os oito lugares apenas de uma maneira, porque se sentam por ordem crescente de numeração nas camisolas. Na fila de trás pretende-se que os sete médios fiquem juntos, assim, agrupando-os num bloco, o bloco e os restantes cinco elementos da seleção permutam entre si de maneiras distintas. Para cada uma destas maneiras, os sete elementos do bloco permutam entre si de formas distintas. Assim, na fila de trás os doze elementos podem sentar-se de maneiras distintas. Portanto os elementos da seleção podem, nas condições pretendidas, tirar a foto de maneiras distintas A variável aleatória toma os valores, ou, ou seja, { }. Assim:, e Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória é dada por: O valor médio da variável aleatória é dado por. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 4

5 3. O número de casos possíveis é (número de maneiras de escolher quatro pessoas entre ). Para o número de casos favoráveis tem que se considerar três casos: o grupo é constituído por um rapaz e três raparigas. O número de maneiras de formar um grupo com estas características é ; o grupo é constituído por dois rapazes e duas raparigas. O número de maneiras de formar um grupo com estas características é ; o grupo é constituído por três rapazes e uma rapariga. O número de maneiras de formar um grupo com estas características é. Portanto o número de casos favoráveis é. Pela lei de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis, desde que estes sejam equiprováveis. Como qualquer um dos alunos tem igual probabilidade de ser escolhido, a lei de Laplace pode ser aplicada a este problema. Assim, uma resposta possível a este problema é. 4. A função é injetiva, portanto tem inversa. Determinado a expressão analítica da função inversa de, vem: Assim, sendo a função inversa de tem-se e. Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se e na janela de visualização [ ] [ ]. y a A As coordenadas do ponto são, com e as coordenadas do ponto são, com. Assim: f [ ] O B b a x f Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 5

6 Como a função é contínua à direita do ponto, então. ( ) Portanto,. Como, vem Assíntotas verticais: ( ). Logo a reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função. Como a função é contínua em { }, então o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais. Assíntotas não verticais: Quando : ( ) ( ) ) i) Mudança de variável: Se então. Seja,. Logo, quando, o gráfico de não tem assíntotas não verticais. Quando : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 6

7 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Logo, a reta de equação é assíntota horizontal do gráfico de, quando Para ] [, tem-se: ; Como ] [, tem-se. Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: n.d. n.d. n.d. p.i. n.d. Para ] [, o gráfico função tem a concavidade voltada para baixo em [ [, tem a concavidade voltada para cima em ] ] e tem ponto de inflexão em. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 7

8 Às h min a concentração de medicamento no sangue do Pedro era de, aproximadamente, mg/l. Se então, com e À medida que o tempo passa, a concentração de medicamento no sangue do Pedro tende para zero Como corresponde às h da manhã, então corresponde às h da manhã e às h. Além disso, g/l mg/l. A função é contínua em [ [ pois é produto entre funções contínuas em [ [. Logo, é contínua em [ ] [ [. Tem-se: Assim como então pelo teorema de Bolzano ] [:, portanto existe um instante entre as h e as h em que a concentração de medicamento no sangue do Pedro é de mg/l g/l Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 8

9 Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: i) min. máx. i) Observa que o sinal de depende apenas do sinal de porque,. A função tem máximo em. Conservando três casas decimais,, que corresponde a horas e a minutos, isto é, a concentração de medicamento atingiu o valor máximo às h min. O valor dessa concentração é dada por mg/l. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 2 Página 9