Matemática Aplicada a Finanças EAD 0630 Ementa do Curso:

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1 Matemática Aplicada a Finanças EAD 63 Ementa do Curso: Conceitos Básicos de Matemática Financeira A Calculadora HP 12C; Funções e Operações Regime de Capitalização - Juros Simples Regime de Capitalização Juros Compostos Equivalência de Taas Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos Sistemas de Amortização Decisão entre Investimento ou Financiamento Fluo de Caia

2 Matemática Financeira Introdução Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo e avaliar formas de aplicação e empréstimos. Sabemos que o dinheiro tem diferentes valores ao longo do tempo: Um real hoje vale mais do que um real amanhã, pois podemos aplicá-lo e obter um retorno sobre este investimento...mas, quanto será este retorno? Poder de Compra (Inflação) Preferência pelo Consumo Presente (Prêmio) Risco (Valor hoje é sem risco; no futuro há risco de inadimplência)

3 Conceitos Básicos Taa Unitária: Taa Percentual:

4 Conceitos Básicos Representação Gráfica do Fluo de Caia:

5 Conceitos Básicos Considerações quanto ao Prazo das Aplicações: Ano Civil: Ano Comercial: Juros Eatos: Juros Comerciais: Juros Bancários: n real de dias do ano (365 ou 366 dias) ano com 36 dias e meses com 3 dias tanto o prazo da aplicação quanto a conversão da taa de são realizados pelo critério do ano civil tanto o prazo da aplicação quanto a conversão da taa de juros são realizados pelo critério do ano comercial o prazo é contado pelo critério do ano civil, enquanto as taas são convertidas pelo critério do ano comercial.

6 Conceitos Básicos Regime de Capitalização dos Juros: Capitalização Descontínua: Os juros são formados somente ao final de cada período de capitalização. E.: Caderneta de Poupança. Capitalização Contínua: Os juros são formados em intervalos de tempo infinitesimais. E.: Faturamento de um supermercado, formação do custo de fabricação de um produto, depreciação de equipamentos.

7 Conceitos Básicos Regra Básica: Converter o prazo para a medida de tempo na qual a taa se refere ou; Converter a taa para a medida de tempo na qual o período se refere. O que é Período? É a unidade de tempo eistente na mesma frequência em que a taa de juros menciona ou capitaliza. Taa Prazo Períodos 25% a.a. 15 meses 1a 3m = 1,25a 5% a.m. 2 anos 24 m 12% a.m. 75 dias 2m 15d = 2,5m,15% a.d. 2m 18d 78d

8 Calculadora HP 12C Valor Período Juros Presente Prestação Valor Futuro Inversão de sinal Sub-períodos Eponencial Função Função

9 A Calculadora Utiliza o Método de Cálculo RPN (Reverse Polish Notation) Método criado pelo Cientista Australiano Charles Hamblin nos anos 5 a partir de um aprimoramento da notação polonesa. Esse sistema combinado com outras características da HP (pilha operacional) possibilita a resolução de operações encadeadas, com a inserção de todos os dados de uma só vez, diferentemente do que ocorre com as calculadoras comuns. Essa é a razão pela qual na HP os elementos devem ser inseridos antes da operação.

10 Eemplificando Operação Matemática Notação Algébrica (Calculadoras Comuns) Notação Polonesa Reversa (HP 12c) A + B A + B = A B + A + B C = A B + C

11 Operação Matemática Notação Algébrica (Calculadoras Comuns) Notação Polonesa Reversa (HP 12c) PREFIX = 1, r E N T E R = 2 y, r + LST 3, PREFIX = 1, r E N T E R = 2 y, r + LST 3 n! 1, PREFIX PREFIX 1, r E N T E R = 2 y, r ² 3 n! E N T E R = 4 D.MY ² PREFIX 5 M.DY E N T E R = 6 w ² -,3333

12 A Calculadora Desta forma, para efetuar a operação = na HP 12c, procede-se da seguinte forma: 1, r PREFIX E N T E R = 2 + 3, y, r LST Ou seja, primeiro digita-se os números da operação e por último a operação, que neste caso é a soma. Perceba que não há a necessidade de pressionar a tecla [=].

13 A Calculadora Uso do Teclado Função primária impressa na face AMORT n 12X Função secundária impressa em letra alaranjada. Aperte f e em seguida a tecla Função secundária impressa em letra azul. Aperte g e em seguida a tecla

14 A Calculadora Teste de Funcionamento Para realizar o teste rápido de funcionamento, proceda da seguinte forma: Desligue a Calculadora; Aperte a tecla com o sinal de multiplicação ; Mantendo a tecla pressionada, tecle ON ; Em seguida, solte. ² A Calculadora apresentará a mensagem running ; Na sequência o visor mostrará todos os leds ligados. Isso mostra que a calculadora está em perfeito funcionamento. Para voltar ao normal é só pressionar qualquer tecla. OFF ²

15 A Calculadora Funções Básicas Tarefa Teclas Visor Comentários Ligar a HP [ON], ou. Desligar a HP [ON] Apagado Escolher o Sistema de Numeração [ON] [. ], ou. Entrada de Números , ou 37. Troca o sinal do Número no visor [CHS] -37, Aparece o número zero com duas casas decimais Com a HP apagada, pressionar simultaneamente as duas teclas, soltando primeiro a tecla ON Corrigir o Número [CLX], ou. Apaga o valor do visor Entrada de Números em Sequência Trocar o Número de casas decimais 37 ENTER , 37, 45,5 37 guardado na memória X 37 guardado na memória Y 45,5 guardado na memória X [ f ] 4 45,5 Fia quatro casas decimais

16 A Calculadora A Pilha Operacional A HP utiliza um processo de armazenamento denominado pilha operacional, que nada mais é do que um arquivo com 4 registradores onde são guardados os valores necessários para se realizar as operações. Usa-se o nome pilha porque a medida que os novos dados são inseridos, eles vão sendo empilhados dentro da máquina.

17 A Calculadora Funcionamento da Pilha Operacional Eemplo 1: 2, + 6, 3, = 5, Teclas Visor (X) (Y) (Z) (T) Comentários [ f ] [REG] Limpa todos os Registros [ f ] 1,,,, Fia como 1 o número de casas decimais 2 2,,,, O número 2 aparece no visor ENTER 2, 2,,, O número 2 é empilhado em Y deiando cópia em X 6 6, 2,,, O número 6 substitui a cópia provisória em X + 8,,,, 3 3, 8,,, - 5,,,, Ao digitar a operação os conteúdos de X e Y são somados O número 8 é empilhado em Y e 3 é armazenado em X Ao digitar a operação os conteúdos de X e Y são somados

18 A Calculadora Funcionamento da Pilha Operacional Eemplo 2: (3, + 7,) (6, 4,) = 5, Teclas Visor (X) (Y) (Z) (T) [ f ] [REG] [ f ] 1,,,, 3 3,,,, ENTER 3, 3,,, 7 7, 3,,, + 1,,,, 6 6, 1,,, ENTER 6, 6, 1,, 4 4, 6, 1,, - 2, 1,,, 5,,,,

19 A Calculadora Funcionamento da Pilha Operacional Eercício de Fiação: (4, 1,) (2, + 4,) =? Teclas Visor (X) (Y) (Z) (T) [ f ] [REG] [ f ] 1,,,, 4 4,,,, ENTER 4, 4,,, 1 1, 4,,, 3,,,, 2 2, 3,,, ENTER 2, 2, 3,, 4 4, 2, 3,, + 6, 3,,, 18,,,,

20 A Calculadora Memória da Calculadora Os dados podem ser conservados inclusive enquanto a HP estiver desligada. São 2 memórias: de a 9 e de. a.9 Eemplificando: Armazenar o número 15 na memória 2 e o número 45 na memória 7: 1, r 5 M.DY STO ( 2 y, r 4 D.MY 5 M.DY STO ( 7 BEG Para recuperar os dados: RCL ) RCL ) 2 y, r 7 BEG

21 A Calculadora Número de Casas Decimais A capacidade do visor da HP é de até 1 dígitos no visor; A calculadora trabalha com até 9 casas decimais; Para definir o número de casas decimais com o qual queira trabalhar, basta proceder da seguinte forma: Pressione a tecla f seguido do número de casas decimais (de a 9) que deseja trabalhar. Note que a HP 12c faz o arredondamento apenas para a apresentação no visor, mas internamente ela guarda o valor original.

22 A Calculadora Número de Casas Decimais Eemplificando: digite o número : f 1, r 3,1 f f 2 y, r 3 n! 3,14 3,142 Se desejar desprezar os números que não estão aparecendo no visor, basta pressionar as teclas f f 4 D.MY 3,1417 3, f RND PMT CFj

23 A Calculadora Separadores de Dígitos A Calculadora HP 12 C vem programada de fábrica para eibir o Padrão Americano: Eemplo: US$ 1,. Para alternar para o Padrão Brasileiro basta proceder da seguinte forma: Desligue a Calculadora; Mantenha pressionada a tecla. ; OFF Pressione a tecla ON. 1,. S 1.,

24 A Calculadora Limpando as Memórias da HP 12 C REG CL = f f f f REG CL = FIN > <y y SST BST PRGM R GTO PREFIX Teclas Descrição Limpa apenas o registrador X, ou seja o número que aparece no visor. Limpa todas as memórias. Limpa as memórias financeiras ( n ; i ; PV ; PMT e FV ). Limpa as memórias da pilha operacional e as memórias estatísticas. Limpa as linhas de programação f E N T E R = Limpa os prefios: f g STO ( RCL ) PRGM R GTO

25 Potenciação e Raiz Potenciação quer dizer elevar a algum número e a tecla X. PRICE y Eemplo: 4² PREFIX eleva qualquer base Y a um epoente E N PRICE 4 T 2 y 16, D.MY y, r E R = Para calcular a raiz quadrada de um número, basta digitá-lo PRICE e utilizar o prefio e a tecla g y Eemplo: 25 2 y, r 5 g M.DY PRICE y 5, A Calculadora deve estar no modo RPN e não ALG.

26 Potenciação e Raiz Para calcularmos outra raiz que não a quadrada, parte-se do princípio matemático, conforme segue: Assim, para calcular o inverso de um número, basta YTM pressionar a tecla. 1/ YTM Por eemplo, 4 1/ apresentará.. D.MY Portanto, para calcular : e e PREFIX 6 w 2 y, r 5 M.DY E N T E R = YTM PRICE 4 1/ y 5, D.MY e

27 Potenciação e Raiz Eercício de Fiação

28 Porcentagem Basta digitar o número e, em seguida, a porcentagem que DB deseja calcular, seguida da tecla. Por Eemplo: 2% de 76: 7 BEG Se quiser somar ou subtrair o percentual do número é só pressionar a tecla correspondente após o cálculo. INTG Por eemplo 2% de desconto sobre 76: 7 BEG 6 w 6 w PREFIX E N T E R = PREFIX E N T E R = 2 y, r 2 y, r DB % INTG % DB % INTG 15,2 6,8

29 Porcentagem Eercícios de Fiação Calcule: R$ 25, com 2% de Desconto: 2, R$ 1., com 1% de Desconto: 9, R$ 9, com 1% de Acréscimo: 99, 37% de R$ 45,: 166,5 3% de R$ 1.,: 3, 12,5% de $32,: 4,

30 Porcentagem A HP também permite calcular a diferença percentual entre dois números. Normalmente utilizado para saber se houve acréscimo (aumento) ou decréscimo (diminuição). Eemplo: Um produto tem o preço à vista de 225, e a prazo de 25,. De quanto foi o acréscimo? 2 y, r 2 y, r 5 M.DY PREFIX E N T E R = Ou seja, houve um acréscimo de 11,11%. 2 y, r 5 M.DY SOYD % 11,11 FRAC

31 Porcentagem A HP também permite calcular a participação percentual de um número ou de um conjunto de números sobre um total determinado. 4 D.MY REG CL = Eemplo: Em uma receita total de R$ 4.,, sabe-se que R$ 3., foi vendido por João, R$ 1., foi vendido por Alfredo. Qual a participação de cada vendedor na Receita? 1, r PREFIX E N T E R = SL 3 %T 75, n! SL %T 25, LN LN

32 Eercícios de Fiação com a HP Ligue a calculadora, troque o sistema de numeração para o sistema americano e depois coloque no sistema brasileiro. Fie em três o número de casas decimais. Fie em duas o número de casas decimais. Calcule 23% de R$ 3,. Calcule 37,5% de R$ 2,. Se você tinha uma receita de R$ 25., e este mês faturou R$ 3.,, qual o % de aumento? Se tinha 5 clientes e agora tenho 5., qual o % de aumento? Se você tinha uma receita de R$ 15., e este mês faturou R$ 14.,, qual o % de perda? Se desejo recuperar a receita e passar de R$ 14., para R$ 15.,, devo crescer quanto %? Se ao efetuar uma venda no valor de R$ 5., preciso conceder um desconto de R$ 4,, qual o % de desconto oferecido?

33 Operações Com Datas A HP 12C vem formatada de fábrica para o sistema americano de datas que é: (MM/DD/YYYY). Para trocar para o padrão brasileiro (DD/MM/AAAA), basta pressionar a tecla g seguido da tecla. Aparecerá no visor a sigla D.M.Y. Para o cálculo do número de dias entre duas datas, basta digitá-las, seguido da função diferença de dias: g Eemplo: Quantos dias eistem entre 23/7/21 e 16/2/211? 4 D.MY ALG EEX DYS 2 y, r 1, r 3 n! 6 w. S. S 7 BEG 2 y, r 2 y, r 2 y, r 1, r 1, r 1, r PREFIX E N T E R = g ALG EEX DYS Para o calendário Comercial FIN pressionar. > <y y 28 dias.

34 Operações Com Datas A HP também é capaz de determinar uma nova data a partir do número de dias fornecido e uma data de referência. Eemplo: Um título emitido em 15 de fevereiro de 21, com 3 dias de prazo para pagamento. Este título vencerá em que data? PREFIX 1, r 3 n! 5 M.DY. S RPN CHS DATE 2 y, r g 2 y, r 1, r E N T E R = Note que aparece um número do lado direito da tela. Esse número corresponde ao dia da semana: Sendo 1 (segunda-feira) e 7 (domingo).

35 Operações com Datas Eercícios de Fiação Faz quantos dias que você nasceu? Quantos dias eistem entre 1/1/21 e 16/2/211? dias Quantos dias eistem entre 12/3/21 e 12/5/21? 61 dias Quantos dias eistem entre 7/1/211 e 7/3/211? 59 dias Que dia da semana caiu o dia 13/12/29? Domingo Que dia da semana caiu o dia 25/9/21? Sábado

36 Prazo Médio 1, r 3 n! 4 D.MY O cálculo de prazo médio é muito utilizado para uma boa gestão de fluo de caia e descontos antecipados de títulos. Como saber o prazo médio dos vencimentos para este caso: 5 M.DY 5 M.DY PREFIX E N T E R = PREFIX E N T E R = PREFIX E N T E R = 1, r 2 y, r 3 n! 5 M.DY 5 M.DY 5 M.DY g 6 w Prazo Valor 15 dias 1.5, 3 dias 2.5, 45 dias 3.5, * Seria o mesmo que tomar 7.5 por um período de 34 dias 34 dias.

37 Prazo Médio Eercícios de Fiação Calcule o Prazo Médio de Pagamento das seguintes faturas: Fatura Prazo Valor P V 1 5 dias 5, 2.5, 2 15 dias 1.5, 22.5, 3 2 dias 2.5, 5., P Médio 16,67 dias 4.5, 75., Calcule o Prazo Médio de Pagamento das seguintes faturas: Fatura Prazo Valor P V 1 7 dias 1.5, 1.5, 2 14 dias 2.5, 35., 3 28 dias 3.5, 98., P Médio 19,13 dias 7.5, 143.5,

38 Juros Simples São aqueles calculados em bases lineares, isto é, a taa mensal é a taa anual dividida por doze, a taa diária é a taa mensal dividida por trinta, e assim sucessivamente. Valor dos Juros = VP i n in VF=VP 1+ 1 VF 1 i= -1 VP n VF VP= in 1+ 1 VF 1 n= -1 VP i Onde: VP é o valor presente VF é o valor futuro n é o número de períodos de capitalização da taa i é a taa de juros

39 Capitalização Simples Juros Simples Juros Simples: São aqueles nos quais a taa incide sempre sobre o principal, independente dos juros gerados no período anterior. Eemplo: Qual o valor dos juros de um empréstimo a juros simples de R$ 1.,, com uma taa de 6% a.m. por um prazo de 9 dias? PREFIX Valor do Principal 1, r Valor dos Juros de 1 período Valor dos Juros de 3 períodos Valor do Principal + Juros 6 w 3 n! E N T E R = DB % INTG ² + LST 1., 6, 18, 1.18,

40 Juros Simples Eemplo a uma Taa de 1% Mês Mês 1 Mês 2 Mês 3 R$ 1, R$ 11, R$ 12, R$ 13,

41 Juros Simples Eercícios de Fiação Qual o valor dos juros de um empréstimo a juros simples de R$7.,, com uma taa de 5% a.m. por um prazo de 3 dias? R$35, Qual o valor dos juros de um empréstimo a juros simples de R$5,, com uma taa de 7% a.m. por um prazo de 45 dias? R$ 52,5 Qual o valor dos juros de um empréstimo a juros simples de R$3.,, com uma taa de 3,5% a.m. por um prazo de 6 dias? R$ 21,

42 Operações de Desconto Juros Simples Desconto de Títulos Aplicação Prática O desconto é obtido, em cada período, sempre sobre o valor futuro (valor principal) do título, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos. Valor do Desconto (D) = Valor do Título (FV) id n Valor Líquido (PV) = Valor do Título (FV) Desconto Onde: FV = Valor do Título com vencimento em data futura; id = Taa i de desconto a ser aplicada; n = Quantidade de períodos; PV = Valor Líquido do Título já com o Desconto

43 Operações de Desconto Juros Simples Desconto de Títulos Aplicação Prática Uma empresa que descontar um título (duplicata) no valor de R$ 1., que vencerá em 2 meses, a uma taa de 1% a.m. (desconto simples). Qual o valor do Desconto? E qual o valor Líquido do Título? D = FV id n D = 1. 1% 2 D = 2. PREFIX Valor do Principal 1, r Valor dos Juros de 1 período Valor dos Juros de 2 períodos 1, r 2 y, r E N T E R = DB % INTG ² 1., 1, 2, Valor Líquido do Título 8,

44 Operações de Desconto Juros Simples Desconto de Títulos Aplicação Prática 7 BEG Eemplo: Uma empresa que descontar um título (duplicata) no valor de R$ 7., que vencerá em 1 dias, a uma taa de desconto simples de 7% a.m. Qual o valor do Desconto? E qual o valor do Título? 3 n! 1, r 7 BEG PREFIX E N T E R = DB % INTG ² 7., Valor do Título 49, 16,33 163, ,67 Juros de 1 mês Juros de 1 dia Juros de 1 dias - Desconto Valor Líquido do Título

45 Operações de Desconto Juros Simples Desconto de Títulos Aplicação Prática Caso se deseje utilizar as variáveis financeiras para o cálculo dos juros simples, a HP irá calcular com base no calendário comercial (36 dias). Por esta razão, a taa deve epressar a taa de juros anual, assim como os períodos devem ser epressos em dias. Eemplo: Qual o valor dos juros de um empréstimo a juros simples, no valor de R$ 1.5,, com taa de 8% a.a. e prazo de 9 dias? 9 MEM AMORT n 12X 1, r 5 M.DY INT i 12 NPV PV Juros Eatos - Calendário Gregoriano (365 dias) 8 END CFo f PRGM R GTO INT i -3, 12 PRGM R -29,59 GTO

46 Operações de Desconto Juros Simples Desconto de Títulos Aplicação Prática Eemplo: Uma empresa que descontar um título (duplicata) no valor de R$ 7., que vencerá em 1 dias, a uma taa de desconto simples de 7% a.m. Qual o valor do Desconto? E qual o valor líquido do Título? 1, r 7 BEG 7 BEG f PRGM R GTO PREFIX E N T E R = INT 12 AMORT n 12X NPV PV CFo i -163,33 PRGM R GTO 1, r 2 y, r ² -161,1 INT i 12 Número de Períodos Conversão da taa a.m. para a.a. Valor Principal do Título Valor dos Juros (Ano = 36 dias) Valor dos Juros Eatos (Ano = 365 dias)

47 Por que o Uso do Juros Simples? Taa 2X % - Quando o Período for menor do que 1 os Juros Simples serão maiores do que os Juros Compostos. Juros Compostos Juros Simples X % - X/2 % - 1º Período 2º Período

48 Juros Simples Eemplo a uma Taa de 1% Mês Mês 1 Mês 2 Mês 3 R$ 1, R$ 11, R$ 12, R$ 13,

49 Juros Compostos Eemplo a uma Taa de 1% Mês Mês 1 Mês 2 Mês 3 R$ 1, R$ 11, R$ 121, R$ 133,1

50 Juros Compostos São aqueles cobrados geometricamente, isto é, calculam-se juros sobre os juros anteriormente calculados. VF=VP 1+ i 1 n VP= VF i 1+ 1 n 1 VF n i= -1 1 VP n= VF LN VP LN 1+ i 1

51 Cálculo de Juros Compostos Um eletrodoméstico é vendido nas seguintes condições: Entrada de R$ 8, + 5 prestações mensais de R$ 1., Taa: 5% a.m. Calcular o preço a vista. 1. CHS PMT 5 n 5 i PV 4.329,48 8, + Preço 5.129,48

52 Cálculo de Juros Compostos Eercício: Um cliente comprou mercadorias no valor de R$ 5.,. Pagou R$ 1., a vista e comprometeu-se a pagar R$ 35., no fim de 6 meses. Que pagamento ainda deve fazer no fim de 1 meses para liquidar sua dívida, se foi cobrada uma taa de 3,5% a.m.? 4. CHS PV 3,5 i 6 n FV CHS PV 4 n FV 16.26,65

53 AMORT n 12X Juros Compostos Capitalização Composta São aqueles nos quais os juros de um período são somados ao principal, para o cálculo dos juros do período seguinte. A HP é especialista neste tipo de cálculo e por essa razão se torna muito fácil, bastando para isso conhecer as variáveis financeiras: Número de Períodos INT i 12 NPV PV CFo RND PMT CFj IRR FV Nj Taa de Juros Valor Presente Valor da Parcela Valor Futuro

54 Juros Compostos Série de Pagamentos Embora sejam 5 as variáveis financeiras, basta conhecermos 3 para que a HP encontre o valor da 4ᵃ variável. Eemplo: Qual o valor da parcela de um financiamento de R$ 1., a uma taa de 1,5% a.m. em 24 parcelas? 2 y, r AMORT 4 n Número de Períodos (Número de Parcelas) D.MY 12X 1, r. S 5 M.DY INT i 12 Taa de Juros 1, r NPV PV CFo Valor Presente (Valor do Empréstimo) RND PMT CFj -499,24 Valor da Parcela Não importa a ordem de digitação das variáveis, bastando apenas que estejam em equivalência de tempo. Por eemplo: taa a.m. períodos em meses.

55 Juros Compostos Se no mesmo eemplo anterior já tivéssemos o valor da parcela e quiséssemos saber o valor da taa de juros? Eemplo: Qual a taa de juros do financiamento no valor de R$ 1., em 24 parcelas de R$ 499,24? 2 y, r AMORT 4 n Número de Períodos (Parcelas) D.MY 12X 1, r NPV PV CFo Valor Presente (Valor do Empréstimo) 4 D.MY 9 MEM 9 MEM. S 2 y, r 4 D.MY RPN CH S DATE RND PMT CFj Valor da Parcela (Sinal Negativo) INT i 1,5 12 Valor da Taa Não importa a ordem de digitação das variáveis, bastando apenas que estejam em equivalência de tempo. Por eemplo: taa a.m. períodos em meses.

56 Juros Compostos Eemplo: Se hoje tenho 25 anos e quero me aposentar com 6 anos, com uma poupança de R$ 1..,, quanto devo aplicar mensalmente? Considere a taa de,55% a.m. PREFIX 6 w E N T E R = 2 y, r 5 M.DY g AMORT n 12X Número de Parcelas (Aplicações). S 5 M.DY 5 M.DY INT i 12 Taa de Rendimento da Poupança 1, r IRR FV Nj Valor Futuro na Poupança RND PMT -61,37 CFj Aplicação Mensal

57 Juros Compostos 6 w Se hoje tenho 25 anos e quero me aposentar com 6 anos, tendo juntado um valor de R$ 1..,, quanto devo aplicar mensalmente? Considere a taa de 1% a.m. PREFIX E N T E R = 2 y, r 5 M.DY g AMORT n 12X Número de Parcelas (Aplicações) 1, r INT i 12 Taa de Rendimento da Aplicação 1, r IRR FV Nj Valor Futuro na Poupança RND PMT -155,5 CFj Aplicação Mensal

58 Juros Compostos Eercício de Fiação João atualmente tem 3 anos e aos 65 anos deseja ter um valor acumulado de R$ 3.,. Qual o valor que João deverá depositar na poupança hoje para que daqui 35 anos ele tenha o valor desejado? Considere a taa de rendimento de poupança de,55% a.m. f REG CL = 3 n! IRR FV Nj. S 3 n! 5 M.DY 5 M.DY 5 g M.DY INT i 12 AMORT n 12X NPV PV CFo Deverá depositar hoje o valor de ,45

59 Juros Compostos Eercício de Fiação Joaquim começou a trabalhar com 18 anos e decidiu que o seu primeiro salário, que foi de R$ 6,, seria aplicado e só retiraria quando estivesse aposentado aos 65 anos de idade. Qual o valor que Joaquim terá na aplicação aos 65 anos? Considere a taa de rendimento de 1,% a.m. REG f CL = 6 w RPN CHS DATE NPV PV CFo 6 w 5 M.DY PREFIX E N T E R = 1, r 8 END 1, r g INT i 12 AMORT n 12X IRR FV Nj O Saldo projetado da Aplicação será de ,44

60 Juros Compostos Eercício de Fiação Uma aplicação inicial de R$ 1., acumulou o montante de R$ 2., ao final de 36 meses. Qual a taa equivalente de rendimento ao mês? f REG CL = 1, r RPN CHS DATE NPV PV CFo 2 y, r IRR FV Nj 3 n! 6 w AMORT n 12X A taa de rendimento da aplicação foi de INT i 12 1,9441

61 Equivalência de Taas de Juros Taas Equivalentes são aquelas que quando aplicadas sobre o mesmo capital, por um mesmo período, geram rendimento igual. Fórmula no regime de juros simples: i 1 n 1 = i 2 n 2 Eemplo: em juros simples, qual a taa anual equivalente à taa de 2.5% a.m.? i 1 1 =,25 12 i 1 =,3 ou 3% aa.

62 Equivalência de Taas de Juros Fórmula no regime de juros compostos: (1 + i 1 ) n1 = (1 + i 2 ) n2 Eemplo: Uma aplicação de R$ 1., renderá quanto em 1 mês se os juros são de 15% a.a.? Pela HP: 1 (enter),15 (+) 12 (1/) (y ) 1 (-) 1 () = 1,17% a.m..

63 Equivalência de Taas de Juros Taas nominais são normalmente epressas por períodos diferentes de suas capitalizações. Neste caso a taa efetiva envolvida na transação dependerá do número de capitalizações que a taa nominal embutir. Eemplo: Uma taa de 15% a.a, com capitalização mensal, produzirá 16,8% a.a como taa efetiva. 15 = 1,25% a.m 1, =

64 Equivalência de Taas de Juros Eercícios com a HP: 1) Calcular a taa mensal equivalente à taa efetiva de 36% a.a. 2) Se determinada quantia é financiada à taa de 3% a.a composta mensalmente, indicar a taa efetiva anual. 3) Determinar uma taa bimestral que seja equivalente à taa trimestral de 1%.

65 Equivalência de Taas Por eemplo: determine a taa anual equivalente a 8% a.m: 2 y, r 1, r 1, r 1, r RPN CHS DATE 8 END NPV PV CFo IRR FV Nj YTM AMORT INT 2 1/ n i 151,82 y, r e 12X 12 RPN D.MY C Determine a taa mensal equivalente a 151,82% a.a: 5 M.DY 1, r 1, r. S 1, r 8 END 2 y, r RPN CHS DATE 2 y, r AMORT n 12X NPV PV CFo IRR FV Nj INT i 8, 12 Coloca-se a taa conhecida somada a 1 Coloca-se a taa conhecida somada a 1 RPN D.MY C Perceba que para o cálculo funcionar deve estar aparecendo o C no canto do visor.

66 Equivalência de Taas Eercícios com a HP: Calcule as seguintes taas equivalentes: a) 9% a.a para % ao semestre. b) 1,5% a.d para % a.m. c),5% a.m para % a.a. d) 1% a.a para % a.t. e) 7% a.m para % ao bimestre. f) 5% a.m para % a.a. g) 5% a.m para % a.d. h),3% a.d para % a.a.

67 Taa Real e Inflação Uma aplicação financeira que tenha pago um rendimento de,5% em um mês onde a inflação chegou a,6%, proporcionou uma Taa Real negativa ao investidor. Fórmula de Fisher: i 1 r k 1 1 Onde: r = taa real; i = taa nominal e k = inflação no período

68 Taa Real e Inflação A taa SELIC no Brasil é de 14,25% a.a. Imaginando que a inflação projetada seja de 9,%, pede-se para calcular a taa de juros real no Brasil. Pela fórmula: Resolução: i 1 r k 1 1 Um investidor compra um CDB a taa de 16% a.a. Qual o risco real do Banco, sabendo que a SELIC é de 14,25% a.a? Pela fórmula: Resolução: i 1 r k 1 1 r = 4,816514% r = 1,58621%

69 Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos Séries ou anuidades são o conjunto de pagamentos ou recebimentos vinculados a uma data pré-determinada, com vistas a constituir ou amortizar dívidas. Série Antecipada: os pagamentos e recebimentos são realizados no início de cada período ao qual se refere a taa de juros. Série Postecipada: ocorrem no final dos períodos.

70 Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos Séries ou anuidades são o conjunto de pagamentos ou recebimentos vinculados a uma data pré-determinada, com vistas a constituir ou amortizar dívidas. Série Diferida: os pagamentos e recebimentos acontecem após haver decorrido um período de carência.

71 Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos ACHAR DADO FÓRMULA VF VP VP VF n VF=VP(1+i) VF VP= (1+i) n VP A VF A A A VP VF (1+i) n A=VP (1+i) n 1 A=VF (1+i) n 1 i

72 Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos Eercícios: 1) Qual o valor que deve ser pago de prestação para saldar uma dívida de R$ 122.,, corrigida à taa de 11% a.a durante um prazo de 5 anos? 2) Calcule o valor que uma pessoa deve poupar mensalmente, durante 14 anos para poder comprar um bem cujo valor é de R$ 15.,. Use uma taa de juros de 12% a.a.

73 Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos Eercícios: 3) Um empréstimo de R$ 5., é tomado para ser pago em 24 prestações mensais, com seis meses de carência. Calcule o valor das prestações, sabendo que a taa é de 8% a.m. 4) Uma prestação postecipada de R$ 3, é paga durante 5 meses para saldar uma dívida de R$ 1.,. Quanto deveria ser pago se a prestação fosse antecipada?

74 Sistemas de Amortização Ao analisar a decisão de contrair um empréstimo, diversos fatores devem ser considerados: A taa e o indeador do contrato; Os custos não embutidos na taa que aumentam a Taa Efetiva do empréstimo; A previsão de multas e penalidades por atraso ou inadimplência; A possibilidade de carência nas amortizações; e A forma que será amortizado o empréstimo.

75 Sistemas de Amortização Sistema Francês Tabela Price As prestações são constantes ao longo do plano; As amortizações são menores no início do plano e maiores ao se aproimar do final. Para os juros ocorre eatamente o contrário.

76 Sistemas de Amortização Sistema Francês Tabela Price Eemplo: Construir a planilha de um empréstimo no valor de R$ 1., à taa de 15% a.m, a ser pago em 5 prestações postecipadas pelo Sistema Francês. MÊS SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 1., ,68 148,32 15, 298, ,11 17,57 127,75 298, ,96 196,15 12,17 298, ,38 225,58 72,74 298, ,38 38,94 298,32 TOTAL - 1., 491, ,6

77 Sistemas de Amortização Sistema Francês Tabela Price A prestação constante é obtida através da epressão: (1 i) PMT VP (1 i) Os juros em cada período são obtidos multiplicando-se o saldo devedor do período imediatamente anterior pela taa de juros. No caso do mês 2, por eemplo, vem: 851,68,15 = 127,75. A amortização, em cada período, é obtida subtraindo-se os juros da prestação. No mês 2 vem: 298,32 127,75 = 17,57. i 1 O saldo devedor é obtido subtraindo-se a amortização do saldo devedor do período anterior. n n

78 Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Constante (SAC) O SAC se caracteriza por apresentar amortizações constantes ao longo do prazo do empréstimo. Eemplo: Construir planilha de um empréstimo no valor de R$ 1., à taa de 15% a.m a ser pago em 5 prestações mensais postecipadas pelo SAC.

79 Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Constante (SAC) MÊS SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 1., TOTAL - 1., A amortização é obtida dividindo-se o principal pelo número de prestações. No caso: 1./5 = 2. Os juros são obtidos multiplicando-se o saldo devedor do período anterior pela taa de juros. A prestação é obtida somando-se a amortização e os juros.

80 Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Americano Pagamento periódico dos juros e amortização total no final. Eemplo: Empréstimo no valor de R$ 1., à taa de 15% a.m, a ser pago em 5 prestações mensais. MÊS SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO , TOTAL - 1.,

81 Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Americano Os juros, em cada período, são obtidos multiplicando-se o principal pela taa de juros. No caso: 1.,15 = 15. A prestação coincide com os juros até o penúltimo período, pois a amortização ocorre de uma única vez no final. MÊS SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO , TOTAL - 1.,

82 Séries Uniformes de Pagamento Tabela Price As séries uniformes de pagamentos, anuidades ou rendas são calculadas de forma que, por meio de prestações iguais, possa se chegar a um determinado montante, seja para investimentos ou financiamentos bancários ou comerciais. São os tipos de Séries Uniformes de Pagamento: Série Postecipada; Série Antecipada; Série Diferida; Série com Parcela Complementar.

83 Séries Uniformes de Pagamento Série Postecipada Tabela Price Eemplo: Qual o valor da prestação de um financiamento de R$ 3.,, no prazo de 12 meses, a uma taa de 2,5% a.m? 3 n! NPV PV CFo 2 y, r 1, r. S 2 y, r 5 M.DY AMORT Lembrando: No Sistema de Amortização Francês: 12X O Valor das Prestações é Constante durante o período do financiamento; A Parcela de Amortização aumenta a cada período (n); Os Juros diminuem a cada período (n); INT 12 Prestações iguais e consecutivas. n i RND -292,46 PMT CFj RPN D.MY C

84 Séries Uniformes de Pagamento Série Antecipada Tabela Price É quando o primeiro pagamento se dá no ato da contratação (é diferente da entrada). Eemplo: Qual o valor da prestação de um financiamento de R$ 3.,, no prazo de meses, a uma taa de 2,5% a.m? g 7 BEG, RPN BEGIN D.MY C 3 n! 2 y, r 1, r. S 2 y, r 5 M.DY NPV PV CFo AMORT n 12X INT i 12 RND -285,33 PMT CFj RPN BEGIN D.MY C Perceba que o cálculo é o mesmo, porém com pagamento da 1ª parcela no ato da contratação

85 Séries Uniformes de Pagamento Série Diferida Tabela Price São os casos em que normalmente há um período de carência. Eemplo: Qual o valor da prestação de um financiamento de R$ 3., no prazo de 12 meses, a uma taa de 2,5% a.m, com uma carência de 3 meses? Passo 1 Passo 2 3 n! 2 y, r -3.23,67. S 3 n! 5 M.DY NPV PV CFo AMORT RPN BEGIN D.MY C n 12X INT i 12 IRR FV Nj 1, r RPN CHS DATE 2 y, r -37,27 NPV PV CFo AMORT n 12X IRR FV Nj RND PMT CFj RPN BEGIN D.MY C

86 Séries Uniformes de Pagamento Série com Parcela Complementar Tabela Price Eemplo: Qual o valor da prestação de um financiamento de R$ 3., no prazo de 12 meses, a uma taa de 2,5% a.m, porém com um reforço de R$ 3, ao final da amortização? 3 n! NPV PV CFo 1, r 2 y, r AMORT n 12X 2 y, r. S 5 M.DY INT i 12 3 n! RPN CHS DATE IRR FV Nj RND -27,72 PMT CFj RPN D.MY C

87 Amortização Tabela Price 3 n! Com a HP pode-se saber a qualquer momento quanto já foi amortizado do financiamento, quanto foi pago de juros e qual é o saldo devedor. Por eemplo: para um financiamento de R$ 3.,, no prazo de 12 meses, a uma taa de 2,5% a.m, em que já foram pagas 4 parcelas: 2 y, r -292,46 1, r. S 2 y, r 5 M.DY RPN D.MY C NPV PV CFo AMORT n 12X INT i 12 RND PMT CFj 4 D.MY f AMORT n 12X FIN > <y y NPV -266,83 RPN D.MY C Juros Pagos até a quarta Parcela -93,1 RPN D.MY C Capital já Amortizado até a quarta Parcela 2.96,99 RCL PV ) CFo RPN D.MY C Saldo devedor Atualizado até a quarta parcela

88 Amortização Tabela Price Descritivo do Cálculo do Eemplo Anterior Parcela (n) Juros (1,5%) Amortização Prestação Saldo Devedor 266,83 93,1 3., 1 de , 217,46 292, ,54 2 de ,56 222,9 292, ,64 3 de ,99 228,47 292, ,17 4 de ,28 234,18 292, ,99 5 de ,42 24,4 292, ,95 6 de ,42 246,4 292, ,91 7 de ,27 252,19 292, ,73 8 de ,97 258,49 292,46 1.1,23 9 de ,51 264,96 292,46 835,28 1 de ,88 271,58 292,46 563,7 11 de ,9 278,37 292,46 285,33 12 de ,13 285,33 292,46 (,)

89 Decisão Investimento ou Financiamento Eemplos: 1. Ao aplicar R$ 56., um investidor resgatou R$ 3., no fim de 3 meses, R$ 2., no fim de 5 meses, R$ 5., no fim de 6 meses e R$ 15., no fim de 8 meses. Qual a taa de retorno?

90 Decisão Investimento ou Financiamento Resolução usando a HP: 56. CHS g Cfo g CFj g Nj 3. g CFj g CFj 2. g CFj 5. g CFj g CFj 15. g CFj f IRR 4,79

91 Decisão Investimento ou Financiamento 2. Tenho R$ 5., aplicados que rendem 3% a.m. Com este dinheiro pretendo comprar uma máquina que vai gerar um fluo de receitas em 12 meses, quando esta será vendida como sucata. Qual a melhor opção, deiar o valor aplicado ou investir na máquina?

92 Decisão Investimento ou Financiamento Resolução usando a HP: 5. CHS g Cfo g CFj 7. g CFj g CFj 2 g Nj 7. g CFj g CFj 1. g CFj 2. g CFj g CFj 2. g CFj g CFj 1. g CFj f IRR 5,9% a.m.

93 Decisão Investimento ou Financiamento Eercícios de Fiação: 1. Um apartamento é vendido por R$ 328., a vista, ou a prazo por R$ 9., de entrada mais 3 prestações mensais iguais de R$ 8., vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro à taa de 3% a.m?

94 Decisão Investimento ou Financiamento 2. Um eletrodoméstico é vendido ao preço de R$ 5.4, a vista ou R$ 8, de entrada mais 5 parcelas mensais de R$ 1.,. Sendo o custo de oportunidade 3,5% a.m, qual a melhor opção de compra?

95 Análise do Fluo de Caia O processo conhecido como análise do fluo de caia é bastante utilizado para a verificação da viabilidade e retorno dos investimentos. Embora trabalhe com vários fluos, não uniformes ao longo do projeto, a HP permite verificar a viabilidade do projeto através de dois métodos: Método do Valor Presente Líquido; Método da Taa Interna de Retorno (TIR).

96 Fluo de Caia Descontado: VPL O Valor Presente Líquido (VPL) de um projeto é o montante, em unidades monetárias, do fluo de caia esperado das entradas do projeto trazido ao valor presente menos o valor presente do fluo de saídas associadas ao projeto, descontadas pelo custo de capital apropriado, ou seja: FC t: é o fluo de caia líquido esperado no período t. Despesas/desembolsos têm sinal negativo no fluo. N: é o período total esperado de duração do investimento. R: é a taa de desconto (ou o custo de oportunidade do capital).

97 Fluo de Caia Descontado: VPL A principal ideia inserida na análise por VPL é: Se o projeto tem VPL positivo, isso significa que ele gerará mais valor do que consumirá capital (e, portanto, é um bom projeto). Se o projeto tem VPL negativo, este estará consumindo mais capital do que gerando, sendo, assim, inviável. As regras de decisão com base no VPL são resumidas abaio: VPL > : Aceitar projeto (pois aumentará a riqueza dos acionistas) VPL < : Rejeitar projeto (pois diminuirá a riqueza dos acionistas) Quando 2 projetos são mutuamente eclusivos, o projeto com maior (e positivo) VPL deve ser aceito.

98 Fluo de Caia Descontado: VPL O VPL de um fluo de caia é a soma de séries: Infinita: A soma infinita de um investimento (perpetuidade) que me paga $ a todo período trazida a valor presente é: Finita: A diferença entre duas somas infinitas:

99 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Payback (PBP) O payback de um projeto é o número de anos que este leva para retornar o custo inicial de um investimento. Quanto menor for o payback do projeto, melhor. É o período necessário para que o investimento se pague. É uma boa medida da liquidez de um projeto.

100 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Payback Descontado (DPB) Usa o valor presente dos fluos de caia estimados do projeto. É o número de anos que um projeto leva para recuperar os investimentos iniciais em termos de valor presente. DPB>PBP Ainda não leva em conta entradas e saídas além do período de payback, logo, é uma medida pobre de lucratividade.

101 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Eemplo: Uma empresa precisa decidir entre 2 projetos. Assuma que o custo de capital da empresa seja de 1%. Anos (t) Projeto A Projeto B -R$2., -R$2., 1 1., 2, 2 8, 6, 3 6, 8, 4 2, 12, Calcular VPL, TIR, PBP, DPB.

102 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos TIR A = 14,48% TIR B = 11,79% VPL A = R$157,64 VPL B = R$198,36 Ano (t) Fluo de Caia Liquido (FCL) Projeto A FCL Descontado FCL Acumulado FCL Desc. Acumulado Fluo de Caia Liquido (FCL) Projeto B FCL Descontado FCL Acumulado FCL Desc. Acumulado

103 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Eemplificando: O Projeto Alfa, para ser implementado hoje eige investimentos de R$ 2 milhões. O valor presente do projeto é de R$ 2,8 milhões. Qual o VPL do Projeto Alfa? Você investiria? VPL = Valor do Ativo Investimento Necessário Valor Presente do Projeto Alfa: R$ 2.8., Custo do Projeto Alfa hoje: R$ 2.., VPL = R$ 2.8., R$ 2.., Resposta: VPL = R$ 8., Sim, investiria, pois o VPL é positivo.

104 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos VPL é simplesmente a diferença entre o valor presente do projeto e o custo do projeto na data atual. VPL positivo significa que o projeto vale mais do que custa, ou seja, é lucrativo. VPL negativo significa que o projeto custa mais do que vale, ou seja, se for implementado, trará prejuízos.

105 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos A questão central é: Qual o ganho etraordinário que um determinado projeto de investimento proporciona, além do retorno mínimo eigido pelo investidor? Também é chamado método de avaliação de fluos de caia descontados.

106 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Considerando uma taa de 2% ao ano, vamos calcular o VPL de um projeto que apresenta o seguinte fluo: Ano Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Valores dos Fluos Valores Presentes dos Fluos VPL = ( ) 4. = 25. A taa de desconto refere-se a uma taa de retorno minimamente requerida pelo investidor, ou seja, de um retorno mínimo aceitável pelo investidor, também chamada de Taa Mínima de Atratividade.

107 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Regra de Decisão Básica pelo Método do VPL: Se VPL > Zero: Aceita-se o projeto de investimento, pois os retornos oferecidos cobrirão o capital investido. Se VPL = Zero: O projeto de investimento apresenta-se indiferente de um ponto de vista de retorno, pois o retorno do mesmo apenas cobrirá o capital investido e o retorno mínimo eigido pelo investidor. Se VPL < Zero: Rejeita-se o projeto de investimento, pois os retornos oferecidos não cobrirão o capital investido acrescido do retorno mínimo eigido pelo investidor.

108 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Observações Importantes: O Sucesso de qualquer avaliação depende fundamentalmente da qualidade das projeções. Reavaliação constante da decisão de investimento. Considerar no último fluo o valor futuro de possível revenda do ativo, principalmente com o mercado de ações.

109 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Uma empresa avalia a possibilidade de investir R$ 1., em uma nova fábrica. Acredita-se que esta nova planta irá proporcionar retornos líquidos anuais de R$ 1.5,, R$1.5,, R$ 2.,, R$ 4., e R$ 4., respectivamente ao final de cada um dos próimos 5 anos. Sabendo-se que a taa de atratividade eigida pelo investidor é de 5% ao ano, verifique se esse projeto é válido pelo método do VPL VPL = /(1,5) + 15/(1,5)² +2/(1,5)³+4/(1,5) +4./(1,5) Sendo VPL >, portanto, aceita-se o projeto de investimento.

110 Fluo de Caia Descontado: Avaliação de Projetos Resolvendo o caso com a HP: 1, r RPN CH DATE S g 1, r 2 y, r 4 D.MY 4 D.MY 5 M.DY g 2 y, r g g g g 5 M.DY f NPV PV CFo RND PMT CFj IRR FV Nj RND PMT CFj RND PMT CFj RND PMT CFj INT i 12 NPV PV CFo Para Fluos repetidos pode-se digitar o valor do fluo 941,71 g RND PMT CFj VPL = R$ 941,71 Sendo VPL > Projeto Viável. RPN D.MY C, e digitar o número de fluos repetidos IRR e consecutivos, g FV Nj.

111 Análise do Fluo de Caia Método da Taa Interna de Retorno A TIR é a taa que anula o VPL. Significa dizer que a TIR é a taa pela qual o VPL de um projeto é zero. A questão central é: Qual a taa de retorno de um determinado projeto de investimento oferece? O cálculo da TIR responderá esta pergunta mostrando a taa média de retorno por período de tempo.

112 Análise do Fluo de Caia Método da Taa Interna de Retorno Uma empresa avalia a possibilidade de investir R$ 1., em uma nova fábrica. Acredita-se que esta nova planta proporcionará retornos líquidos anuais de R$ 1.5,, R$ 1.5,, R$ 2.,, R$ 4., e R$ 4., respectivamente ao final de cada um dos próimos 5 anos. Sabendo que a taa de atratividade eigida pelo investidor é de 5% ao ano, verifique se esse projeto é válido pelo método da TIR TIR = 7,76% a.a, logo por ser maior que a taa mínima de atratividade que é de 5% a.a, aceita-se o projeto. Note que o VPL desse projeto, descontado a taa de 7,76% a.a, será igual a zero.

113 1, r Análise do Fluo de Caia Método da Taa Interna de Retorno CHS g 1, r 2 y, r 4 D.MY 4 D.MY 5 M.DY 7,76 DATE g 2 y, r g g g g RPN D.MY C f PV CFo RND PMT CFj IRR FV Nj RND PMT CFj RND PMT CFj RND PMT CFj IRR FV Nj Resolvendo o caso com a HP: RPN NPV Para Fluos repetidos podese digitar o valor do fluo RND, PMT, e em seguida g CFj digitar o número de fluos repetidos e consecutivos, e IRR então g FV. Nj TIR = R$ 7,76% TIR > TMA Projeto Viável.