Cálculo 1 4ª Lista de Exercícios Derivadas

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1 Cálclo 4ª Lista de Eercícios Derivadas ) Calclar as derivadas das epressões abaio, sando as fórmlas de derivação: a) y 4 4 d 4 b) f f c) y d d) y R : d df e) 6 f R : 6 d f) 5 y 4 a b a b d a b a b g) y 5 d h) y 9 d 4 4 b i) y b d b j) k) l) a y a a y a y m) y n) y d d d d d a a 6aa a 4 4 o) y a 5 a 4 d

2 ) Nos eercícios abaio encontrar a derivada das fnções dadas. a) f(r) = r² b) f() = 4 ½ c) f() = ( 5 ) ( 4 ) d) f() = 7(a² + b + c) t ² 5t e) f(t) = t f) f(s) = (s² - ) (s-)(5s² + s) t² g) f(t) = t h) f ( ) ) Calclar a derivada. a) f() = (² + 7 +) b) f() = ( ² 6 )² 7² c) f() = 5 ( ) ² d) f() = e e) f() = a b ² 6 f) f(s) = (a + bs) In(a + bs) g) f() = sen³ (² + 6) h) f(t) = e e t t i) f() = /a (b² + c) In j) f() = sen² + cos² k) f() = e cos l) f() = sen² (/).cos² (/) m) f() = log ( cos ) cos t n) f(t) = e 4) Nos eercícios abaio calclar as derivadas scessivas até a ordem n indicada. a) y = 4 ; n = 5 b) y = /e ; n = 4

3 5) Calcle as derivadas abaio através da definição a) f() = + c) f() = 4 b) f() = d) f() = Respostas: a) b) - 8 c) d) 4 - f. f lim e) f 4 f) f 5 g) f, no ponto = h) f i) f, no ponto = 6) Utilize a definição de derivada nas atividades abaio: a) Determine a derivada de f() = 5 no ponto = 5. b) Determine a derivada de f() = - + no ponto =. c) Determine a derivada de f() = 6 + no ponto =. d) Determine a derivada de f() = no ponto =. e) Determine a derivada de f() = no ponto =. 7) Para cada fnção f(), determine a derivada f () no ponto indicado: a) f ( ) b) f ( ) para c) f ( ) para d) f ( ) e) f ( ) f ) f ( ) 5 para 4 4 para para g) f ( ) para 5 9 h) f ( ) para 5 5 i) f ( ) 4 para 6 para Respostas: a) 8 b) c) - d) e) f) 9 g) - /4 h) 4/45 i) 9 7) Determine a eqação da reta tangente ao gráfico da fnção f() = + + no ponto de abscissa =. 8) Determine a eqação da reta tangente ao gráfico da fnção f() = no ponto (, f()). 9) Determine ma eqação da reta tangente ao gráfico da fnção f() = + qe seja paralela reta y = 8 +.

4 ) Encontre a reta tangente à crva 6 y no ponto P, ) Encontre a reta tangente à crva 4 no ponto P, 4 ) Obter a derivada da fnção y 5 em m ponto genérico. ) Obter a derivada da fnção y no ponto P, 4) Obter a derivada da fnção y a em m ponto genérico. 5) Obter a derivada da fnção f v v no ponto P, v 6) Uma partícla se move sobre ma trajetória segndo a eqação abaio onde S é dado em metros e t em segndos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: a) t t t S. Determine a velocidade no instante t = s. b) St t t. Determine a velocidade no instante t = s. c) t t t t S. Determine a velocidade no instante t = s e aceleração em t = s. 7) O movimento de m objeto ocorre ao longo de ma reta horizontal, de acordo com a fnção horária: s = f(t) = t + t - sabendo-se qe a nidade de comprimento é o metro e de tempo, o segndo, calcle a velocidade no instante t = s. 8) Dada a fnção horária de m movimento retilíneo s = f(t) = t t, determine a distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h. 9) Determine a aceleração de ma partícla no instante t = 5, sabendo qe sa velocidade obedece à fnção v(t) = t + t +. (velocidade: m/s; tempo: s) ) Determine a aceleração, no instante t = s, de m móvel qe tem velocidade variável segndo a epressão v(t) = t (t em segndos e v em metros/segndo). ) O lcro de ma empresa pela venda diária de peças, é dado pela fnção: L() = Qantas peças devem ser vendidas diariamente para qe o lcro seja máimo?

5 Solção: Calclando a derivada da fnção encontramos y' = A fnção tem valor máimo qando a derivada y' =. Assim, resolvendo = encontramos = 7 peças. ) O csto de fabricação de nidades de m prodto é dado por C 5 9 deverão ser fabricadas para qe o csto médio seja mínimo?. Qantas nidades ) Em m retânglo de área igal a 64 m², determine o menor perímetro possível. ) y = k à y = ) y = a à y = a ) y = a + b à y = a 4) y = n à y = n. n-. Regras de Derivação

6 y = n à y = n. n- 5) y = k. à y = k. 6) y = + v à y = + v 7) y =.v à y =.v +. v y = v v v' à y = v 8) y = a à y = a.lna. y = k à y = k k k 9) y = log a à y = y = ln à y = y = log a à y = ln a ln a ln ) y = cos à y = -sen. ) y = sen à y = cos. ) y = tg à y = sec. ) y = cotg à y = sec. tg. 4) y = sec à y = sec. tg. 5) y = cosec à y = - cosc. cotg. 6) y = arc sen à y = 7) y = arc cos y = 8) y = arc tg y = 9) y = arc cotg y = ) y = arc cos y = ) y = arc cos y = ) y = v y = v. v-. + v. ln. v