PET FÍSICA GEOMETRIA ANALÍTICA TATIANA MIRANDA DE SOUZA JOSE CARLOS DE MORAES SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

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1 PET FÍSICA GEOMETRIA ANALÍTICA Aula 9 TATIANA MIRANDA DE SOUZA JOSE CARLOS DE MORAES SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

2 AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do Programa de Educação Tutorial PET, do MEC - Ministério da Educação Brasil. 2

3 DOS AUTORES Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos. O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes. Uma boa leitura! 3

4 SUMÁRIO 1. Distância entre dois pontos Ponto médio de um segmento de ret Condição de alinhamento de três pontos Inclinação da reta Equação geral e reduzida da reta Equação segmentária da reta Equação paramétrica Posição relativa de duas retas no plano cartesiano Área de um triângulo no plano cartesiano Exercícios de fixação Referências Respostas dos exercícios de fixação

5 1. Distância entre dois pontos Um dos conceitos básicos da geometria é que em um plano, cartesiano, a menor distância entre dois pontos, A e B, é dada por uma reta (OLIVEIRA, 2017). Figura 1: Representação da reta que liga os pontos A e B. A medida da reta que une os pontos A e B pode ser realizada pela construção de um triângulo retângulo utilizando os pontos e, como mostra figura a seguir (figura 2): Figura 2: Construção do triângulo retângulo, para realização da medida da reta que liga os pontos A e B. Com essa configuração temos que o triângulo retângulo formato terá a reta como a hipotenusa, enquanto os catetos serão dados pelas medidas e. Nessa condição, então podemos escrever que: As medidas de cada um dos catetos podem ser reescrito pelos pontos dos pares ordenados, que definem o segmento. Tal que se: (1) e então podemos escrever que: 5

6 (2) 2. Ponto médio de um segmento de reta Um segmento de reta, quando representado num plano cartesiano, possui um par ordenado que divide o segmento analisado em duas partes iguais. Figura 3: Posição do ponto médio (M) na reta que liga os pontos A e B. Esse par, denominado de ponto médio (P m ), pode ser obtido pelas seguintes relações (ALEJANDRO et al, 1997): Exemplo 1 O movimento de uma partícula é representado pelo gráfico abaixo: (3) Determine qual posição representa a metade do deslocamento e que instante isso ocorrerá. R: A condição necessária para determinar a metade do deslocamento e o instante em que isso ocorrerá poder ser dado pela expressão (3) e usando a geometria do problema teremos: O que nos permite dizer que a posição média do deslocamento é de 10 m da origem e que isso ocorrerá em 5 s após o início do deslocamento. 6

7 3. Condição de alinhamento de três pontos Uma reta, representada num plano cartesiano, possui uma série de pontos que descreve a mesma e a determinação de e alinhamento de três pontos (A, B, C) pode ser obtida pelo cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3 3 pela Regra de Sarrus (SILVA & BARRETO FILHO, 2005). Figura 4: Posição do ponto médio (M) na reta que liga os pontos A e B. A construção dessa matriz será dada da seguinte forma: as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna; as ordenadas a 2ª coluna; a terceira coluna será complementada com o número um. (4) sendo o determinante será escrito como: (5) Exemplo 2 A expansão de um gás ocorre de forma isobárica, de tal forma que numa temperatura de 100 K o volume ocupado por ele é de 8,2 L e na temperatura de 350 K o volume ocupado é 28,7 L. Sabendo que no plano V T a relação entre essas quantidades é uma reta, determine, utilizando a condição de alinhamento de três pontos, qual será a temperatura medida quando o volume ocupado pelo gás for de 17,63 L? R: Nessa condição a matriz será da forma: O determinante será dado por: Onde após o procedimento algébrico obteremos que quando volume ocupado pelo gás for 17,63 L a sua temperatura será 215 K. 7

8 4. Inclinação da reta Toda reta, representada no plano cartesiano, tem uma inclinação ( ) em relação ao eixo que pode variar entre 0º e 180º (0º 180º). Poder ser obtida a partir da razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo ( ), que fornece o coeficiente angular (a) da reta, isto é (ALEJANDRO et al, 1997): (6) que também pode ser reescrita como: (7) Onde: (8) Exemplo 3 Em um circuito simples, onde existe um dispositivo que se comporta como um resistor ôhmico, isto é, aqueles que obedecem a lei de Ohm (V = Ri), são medidos os seguintes valores para a corrente (i) e a tensão (V): i (V) V (A) 2,0 6,0 4,0 14,0 Sabendo que essa relação será representada por uma reta no plano V i, determine o valor da resistência sabendo que ele será o coeficiente angular da reta. R: Usando a relação (7), temos que: Onde a resistência do dispositivo (que será o coeficiente angular) será igual a 4,0. 5. Equação geral e reduzida da reta Dizemos que a equação geral de uma reta é escrita na forma (SHIGUEKIYO, 2008): (9) 8

9 enquanto a equação reduzida é apresentada como (SHIGUEKIYO, 2008): Geometria Analítica 2017 Para determinarmos a equação geral de uma reta devemos ter no mínimo dois pares ordenados dos possíveis pontos alinhados e a partir deles construir a seguinte matriz: (10) (11) uma vez montada a matriz recorremos a Regra de Sarrus e, após alguns pequenos procedimentos algébricos, obtemos a equação geral. Exemplo 4 Usando dois termômetros, que apresentam a temperatura em escalas distintas, é possível verificar as seguintes medidas: Medida T ( C) T (K) Sabendo que a relação entre elas é linear, determine a equação geral que relaciona esses valores. R: Utilizando a matriz (10) temos que: Realizando o procedimento algébrico, pela Regra de Sarrus, ficaremos com: Onde encontramos: =0 que é a equação geral da reta no plano T K T C. No caso da equação reduzida, o procedimento para sua obtenção deve respeitar dois passos fundamentais: Determinar o coeficiente angular (a) da reta; Inserir os pontos x 1 e y 1 na relação e resolver para obter a equação. Outro procedimento que pode ser adotado é inserir os pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) na equação da lei de formação da equação reduzida e obter os valores de a e c por meio da resolução de um sistema de equações. 9

10 Exemplo 5 Voltando a medida dos dois termômetros, que apresentam a temperatura em escalas distintas, onde é possível verificar as seguintes medidas: Medida T ( C) T (K) R: Teremos que o coeficiente angular será Assim, teremos que a relação será escrita como: O que nos fornecerá: 6. Equação segmentária da reta Considere uma reta qualquer no plano cartesiano, descrita pela equação, se dividirmos toda a equação por c obtemos o que chamados de forma segmentária da reta (ALEJANDRO et al, 1997): (12) onde representa ponto de interseção da reta com o eixo x e representa ponto de interseção da reta com o eixo y. Figura 5: Representação dos pontos de interseção de uma reta 4x + y = 8. 10

11 Exemplo 6 Considere a equação da reta: 4x + y = 8 Determine: a) A equação segmentária da reta; R: Para determinarmos a equação segmentária da reta precisamos dividir todos os termos pelo termo c, tal que teremos: Onde encontramos: b) Os pontos de interseção da reta com os eixos x e y. R: Podem ser obtidos diretamente da equação segmentária os pontos de interseção com o eixo x e y são respectivamente: e Equação paramétrica Em muitas situações é muito conveniente relacionar as coordenadas e por uma terceira variável, representa na maioria das vezes pela letra, denominada parâmetro. Essa forma escrever essas variáveis fornece o que chamamos de equações paramétricas da reta, onde (BONJORNO & GIOVANNI, 2001): (13) Exemplo 7 Considere um vetor v (1,2) e um ponto qualquer no espaço, definido pelas coordenadas p (1,0). Determine as equações paramétricas pertinentes e a reta que possui a direção de v e que contenha o ponto p. R: Inicialmente precisamos definir um ponto genérico q (x,y), que possa permitir escrever a reta e que esteja na mesma direção de v, isto é, que exista um escalar t onde. Assim: (x - 1, y-0) = t(1,2) x - 1 = t x = 1+t y = 2t Multiplicando a equação de x por 2, ficamos com 2x = 2 + 2t. Substituindo y, obtemos finalmente: 2x y 2 = 0 11

12 8. Posição relativa de duas retas no plano cartesiano Duas ou mais retas podem ser descritas no mesmo plano cartesiano e em algumas situações elas podem ou não se cruzar, nesse último caso criando um ponto de interseção. Nesse caso, podem ser (RIBEIRO, 2015): Retas Paralelas: São aquelas que possuem os mesmo coeficientes angulares (a), isto é, a 1 = a 2. Retas Concorrentes: São aquelas que possuem diferentes coeficientes angulares (a), isto é, a 1 a 2. Retas Perpendiculares: É um caso particular de reta concorrente, onde relação entre os coeficientes angulares é escrito como 9. Área de um triângulo no plano cartesiano É muito comum, em muitas situações de estudo de gráficos, encontrar problemas onde se faz necessária à determinação da área interna de uma figura para obter o valor de uma grandeza física representada por ela. Pode ser citada como exemplo a área formada abaixo da curva do gráfico v t, que informa o deslocamento de uma partícula, e do gráfico F x, que permite determinar o trabalho realizado pela força. A determinação dessa área é muito simples na maioria das vezes, no entanto em alguns casos ela pode ser torna um tanto trabalhosa e que pode comprometer a obtenção correta do resultado. Um exemplo disso é quando precisamos obter a área de um triângulo no plano cartesiano, nesse caso uma forma relativamente simples é dado pelo módulo do determinante dos vértices do triangulo dividido por dois: (14) onde: (15) Exemplo 8 Na expansão de um gás, são medidos os seguintes valores de pressão e volume ao longo de um ciclo termodinâmico no plano p V. Onde: Com base nesses valores determine o trabalho total. R: No caso específico temos que: Medida P (10 5 Pa) V (m 3 ) 1 1,0 1,0 2 2,0 2,0 3 0,5 3,0 Isto é, o trabalho é igual a 0, J. 12

13 10. Exercícios de fixação 1. Determine a distância percorrida por uma partícula que tem sua posição, em duas dimensões, descritas pelas relações: entre os instantes 0 s t 6 s. 4t 3 2. Considere um segmento de reata limitado entre os pontos A(1,2) e B(6,8), que estão no plano xy. Quais as coordenadas que permite dividir essa reta em três partes iguais? 3. Uma reta com extremos nos pontos A(x,7) e B(5,y), possui como ponto médio o ponto M(2,5). Determine, com bases nesses pontos, x e y. 4. Em um experimento foram anotadas as temperaturas medidas e os respectivos instantes, como mostra a tabela abaixo: Temperatura (K) Tempo (s) Se a temperatura representa o eixo das ordenadas e o tempo às abscissas determine a equação da reta para essas grandezas. 11. Referências ALEJANDRO, R. A. et al. Help! Sistema de consulta interativa Matemática. São Paulo: Klick Editora, OLIVEIRA, G. A. Brasil Escola: Distância entre dois pontos. Disponível em: Acesso em: 14 jan BONJORNO. J. R.; GIOVANNI, J. R. Matemática: Uma Nova Abordagem, v. 3. São Paulo: FTD, RIBEIRO. T. Brasil Escola: Posições relativas de duas retas. Disponível em: Acesso em: 05 set SHIGUEKIYO, C. T. Enciclopédia do estudante: matemática I. São Paulo: Moderna, SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática Aula por aula. 2 ed. São Paulo: FTD, Respostas dos exercícios de fixação C,4 e D, x = -1 e y = 3 4. t = 3T 7 13