Incerteza. Humberto Moreira. June 5, EPGE, Fundação Getulio Vargas

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1 Incerteza Humberto Moreira EPGE, Fundação Getulio Vargas June 5, 2014

2 Introdução Escolha envolvendo algum tipo de incerteza. Exemplos: seguros, investimentos financeiros, loterias e jogos de azar. Agentes tomam decisões que afetam as consequências econômicas de sua incerteza. Precisamos de uma teoria especial para lidar com incerteza? NÃO. Basta adotar o conceito estado da natureza.

3 Introdução Exemplo ilustrativo: estado s 1 : chuva bem (guarda-chuva) s 2 : sol x = { 1, se o consumidor tem o bem 0, se caso contrário x =(x1, x 2 ),ondex i éaquantidadedeguarda-chuvano estado estado s i. U(x1, x 2 ) éumafunçãoutilidadecontínuaquerepresentauma preferência completa, transitiva e contínua sobre este conjunto de escolhas.

4 Introdução No entanto, a teoria da escolha sob incerteza acrescenta mais estrutura sobre preferências de forma a responder perguntas de interesse específico da área. Por exemplo, podemos estar interessados em saber o efeito sobre a demanda de guarda-chuvas do aumento da probabilidade de chover. I.e., a probabilidade de chuva pode afetar a taxa marginal de substituição entre guarda-chuva se chover e se não chover. AfunçãoU(x 1, x 2 ) não tem por argumento a probabilidade de chuva. Na verdade, uma mudança na probabilidade de chuva deve alterar a própria função utilidade. Uma forma incorporar preferências sobre probabilidades é inserí-la diretamente como parâmetro da função utilidade: U(x 1, x 2,π), onde π éaprobabilidadedechuva.

5 Introdução Suponha que existam S( N) estados da natureza s {1, 2,...,S} com probabilidade (objetiva) π s. X R m + oconjuntodeconsumo(omesmoemcadaestadoda natureza, por simplicidade). x s X acestaconsumidacasooestadodanaturezarealizado seja s. Afunçãoutilidadeéentãodefinidapor U(x 1, x 2,...,x S,π 1,π 2,...,π S ). Ateoriatradicionaldoconsumidoraindaéperfeitamente válida para se estudar uma utilidade como acima.

6 Utilidade esperada Autilidadeesperadaéumcasoespecialdarepresentação acima: U(x 1, x 2,...,x S,π 1,π 2,...,π S )= S s=1 π s u(x s ). Duas interpretações: (i) hipótese de trabalho e averiguarmos suas consequências empiricamente testáveis (visão positiva); (ii) axiomatização suficiente para racionalizar uma teoria da escolha baseada em utilidade esperada (visão normativa). Antes de partir para a abordagem normativa, este formato funcional é razoável? Quais são as sua características? Separável no consumo dos diversos estados da natureza. Linear nas probabilidades.

7 Utilidade esperada Separabilidade. Considere a taxa marginal de substituicão entre dois bens i (água de coco) e j (banana) no estado 2 ( sol ): U(x 1, x 2,π 1,π 2 )/ x 2 i U(x 1, x 2,π 1,π 2 )/ x 2 j = u(x2 )/ x 2 i u(x 2 )/ x 2 j. Note que não depende de x 1.Oquequerdizer? Se ocorrer o estado 2, o agente consome x 2. Como x 1 éacestaqueoagenteteriaconsumidocaso ocorresse o estado 1, parece razoável supor que o que poderia ter acontecido não afete minhas escolhas efetivas dado que não ocorreu.

8 Utilidade esperada Linearidade nas probabilidades. Sejam dois prospectos tais que ofereçam as mesmas cestas nos diferentes estados da natureza, mas com diferentes probabilidades, i.e., Neste caso: (x 1, x 2,π 1,π 2 ) e (x 1, x 2,π 1,π 2 ). U(P) U(P ) (π 1 π 1 )u(x1 )+(π 2 π 2 )u(x2 ) 0 (π 1 π 1 ) [ u(x 1 ) u(x 2 ) ] 0, onde P =(x 1, x 2,π 1,π 2 ) e P =(x 1, x 2,π 1,π 2 ).Ouseja,um prospecto é preferível a outro se e somente se atribuir probabilidade mais alta ao estado da natureza melhor.

9 Formalização Três alternativas que diferem com relação ao caráter subjetivo ou objetivo das probabilidades (ou crenças) envolvidas: Teoria de von-neumann e Morgenstern (1944): toma as probabilidades como algo objetivo. Teoria de Savage (1954): supõe que as probabilidades (crenças) são subjetivas. Teoria da Anscombe e Aumann (1963): admite que algumas probabilidades (por exemplo, a probabilidade de sair o número 1emumlançamentodedados)sãoobjetivas,enquanto algumas são essencialmente subjetivas (por exemplo, a probabilidade do Brasil ganhar a próxima Copa do Mundo). No que se segue vamos estudar a formulação de von-neumann emorgenstern(1944),aprimeira,cronologicamente,eade formalização mais simples.

10 Definições e conceitos C oconjuntodepossíveisresultados,queéumalistade variáveis que podem afetar o bem-estar do consumidor. Vamos supor, para evitar tecnicalidades, que C é um conjunto finito: C = {x s ; s = 1,...,S}. Definition Uma loteria simples, L, éumvetor(x 1,π 1 ;...; x S,π S ),onde π s 0, para todo s, e S s=1 π s = 1. No que segue, vamos fixar os resultados possíveis e definir uma loteria simplemente pelo seu vetor de probabilidades (π 1,...,π S ).DefinimosentãooconjuntoLde todas as loterias sobre o conjunto de resultados C: { } S L = (π 1,...,π S ) R S + ; π s = 1. s=1

11 Definições e conceitos Definition Uma loteria composta é uma loteria cujos resultados são também loterias. Dadas duas loterias L =(π 1,...,π S ) e L =(π 1,...,π S ), podemos definir a loteria composta L α = αl +(1 α)l,onde α [0, 1]. Note que a loteria (απ 1 +(1 α)π 1,...,απ S +(1 α)π S ) associa a cada resultado a mesma probabilidade que a loteria composta L α.énatural,então,associaraloteriacompostal α aestanovaloteriareduzida. Consumidor tem uma relação de preferência sobre L caracterizada pelos seguintes axiomas:

12 Definições e conceitos Axioma 1 ( consequencialismo ou axioma da redução ): Indivíduos possuem uma ordenação de preferências definida apenas sobre loterias reduzidas (i.e., édefinidaapenassobre L). Axioma 2 (racionalidade): éumaordenaçãodepreferências racional (i.e., écompletaetransitiva). Axioma 3 (continuidade): Para todo L, L, L L,os conjuntos são fechados em [0, 1]. {α [0, 1]; αl +(1 α)l L } e {α [0, 1]; αl +(1 α)l L }

13 Definições e conceitos Exemplo: x 1 = ficar em casa vendo tv ; x 2 = jantar em um bom restaurante ; e x 3 = morrer em um assalto. Para maior parte das pessoas temos que x 2 x 1 x 3. Oaxiomadacontinuidadeimplicaqueparaα (0, 1) suficientemente próximo de 1 temos que αx 2 +(1 α)x 3 x 1. Alguns argumentam que isto não faz sentido, i.e., presença de consequências extremas implica ordenamento lexográficos (e, portanto, não contínua). Teoria do consumidor implica que um ordenamento completo, transitivo e contínuo é representável por uma função utilidade contínua: U : L R tal que L L se, e somente se U(L) U(L ).

14 Definições e conceitos Axioma 4 (independência): Para todo L, L, L Le α (0, 1), temosque L L αl +(1 α)l αl +(1 α)l. Exemplo: Um consumidor prefere uma cesta com um bolo e uma garrafa de vinho a uma cesta com 3 bolos e nenhuma garrafa de vinho. Se o axioma 4 também valesse nesse contexto, a mesma pessoa teria que preferir uma cesta com 2 bolos e 2 vinhos a uma cesta com 3 bolos e uma garrafa e meia de vinho simplesmente porque (2, 2) =0, 5(1, 1) +0, 5(3, 3) e(3,3/2)=0,5(3,0)+0,5(3,3). Note que não há violação da idéia de racionalidade ao se supor que uma pessoa ordene (1, 1) (3, 0) e(3,3/2) (2, 2).

15 Utilidade esperada Oaxioma4éumarestriçãoadicionalaestruturade preferência que faz sentido neste contexto porque ao contrário do contexto da teoria do consumidor sob certeza, o consumidor não consome uma coisa e outra, mas uma coisa ou outra. Definition Uma função U : L R éumautiidadeesperadaseexisteumvetor (u 1,...,u S ) tal que para toda loteria L =(π 1,...,π S ) L,temos que U(L) = S π s u s. s=1

16 Utilidade esperada Theorem Uma função u : L R éumautilidadeesperadase,esomenteseé linear nas probabilidades, i.e., U ( K ) α k L k = k=1 K α k U(L k ), k=1 para quaisquer K loterias L k L,k= 1,...,K, e probabilidades (α 1,...,α K ) R K + tais que K k=1 α k = 1. Opróximoteoremacaracterizaaspreferênciasquesão caracterizadas pelos axiomas 1, 2, 3 e 4: Theorem Se a ordenação de preferência em L satisfaz axiomas 1-4, então existe uma função utilidade esperada u : L R que representa. Cardinalidade ou ordinalidade? Vários economistas acreditam que a função utilidade esperada possui algum sentido cardinal. O motivo dessa crença vem do seguinte:

17 Utilidade esperada Theorem As funções utilidades esperadas U, U : L R representam a mesma relação de preferências sobre L se, e somente se existem escalares β>0 e γ R tais que U (L) =βu(l)+γ, paratodo L L. Entretanto, temos: Theorem Se a relação de preferências sobre L pode ser representada por uma função utilidade U : L R, osnúmerosatribuídosaessa representação não possuem nenhum significado além da ordenação de loterias. (Ou seja, não podem ser interpretados cardinalmente). Em palavras: qualquer transformação monotônica de uma utilidade esperada representa a mesma ordenação de preferências, mesmo que essa função final não seja uma utilidade esperada. Exemplo: PARADOXO DE ALAIS

18 Loterias Monetárias Uma das perguntas mais interessantes associadas ao problema de escolha envolvendo incerteza diz respeito à forma como a incerteza afeta o bem-estar dos indivíduos. Vamos enfatizar um aspecto importante deste problema: a caracterização das preferências por riscos;

19 Loterias sobre resultados monetários Seja F : R + [0, 1] uma função (cumulativa) de distribuição, i.e., crescente, contínua à direita tal que lim F (y) =1e y lim F (y) =0. y Vamos interpretar F como uma loteria com resultados monetários, ou seja, paga renda menor ou igual a y com probabilidade F (y). Vamos considerar, por simplicidade, apenas distribuições discretas. Exemplo. Seja a loteria L =(10, 1/4; 30, 1/2; 50, 1/4). Podemos representar L por meio da seguinte função distribuição: 0, se y < 10.25, se 10 y < 30 F (y) =.75, se 30 y < 50 1, se 50 y

20 Loterias sobre resultados monetários Uma loteria é chamada degenerada se ela é determinística, i.e., atribui probabilidade 1 a algum resultado monetário. Autilidadeesperadasobreloteriascompayoffsmonetários pode ser escrita como ˆ U(F )= u(y)df (y) = u(y i )df (y i ), onde u : R + R éumafunçãoestritamentecrescentee contínua, chamada de utilidade de Von-Neumann-Morgenstern (vn-m).

21 Aversão ao risco Definição: Um indivíduo é: 1. (estritamente) avesso ao risco se para toda loteria (não degenerada) F, seeleprefere(estritamente) aloteria degenerada com resultado ydf (y) àloteriaf. 2. neutro ao risco se para toda loteria F,eleéindiferenteentrea loteria degenerada com resultado ydf (y) àloteriaf. 3. (estritamente) amante ao risco se para toda loteria (não degenerada) F,seeleprefere(estritamente)F àloteria degenerada com resultado ydf (y).

22 Aversão ao risco Temos ainda as seguintes definições: Definição: OequivalentedecertezadaloteriaF para um indivíduo com utilidade vn-m u édefinidoporc(f, u) tal que ˆ u(c(f, u)) = u(y)df (y). Definição: OprêmioderiscoP éovalor ˆ P = ydf (y) c(f, u). Definição: Oprêmiodeprobabilidadeπ(x,ɛ,u) associada a quantidade de dinheiro x evariaçãoɛ>0satisfaz [ ] [ ] 1 1 u(x) = 2 + π(x,ɛ,u) u(x + ɛ)+ 2 π(x,ɛ,u) u(x ɛ).

23 Aversão ao risco Theorem Para um indivíduo com uma função utilidade de vn-m u, as seguintes afirmações são equivalentes: (i) O indivíduo é avesso ao risco; (ii) u é côncava; (iii) c(f, u) ydf (y), paratodof; (iv) P 0, paratodof; (v) π(x,ɛ,u) 0, paratodosx,ɛ. Definição: Dada uma função u duas vezes diferenciável, definimos r A (y, u) = u (y) u (y) ocoeficientedeaversãoabsolutoaorisco(oudearrow-pratt).

24 Aversão ao risco Definição: Considere dois indivíduos (i = 1, 2) com funções utilidades de vn-m u 1 e u 2.Dizemosque2é maisavessoao risco que 1 se uma das seguintes condições (equivalentes) vale: 1. r A (y, u 2 ) r A (y, u 1 ),paratodoy; 2. existe uma função crescente e côncava ψ tal que u 2 (y) =ψ(u 1 (y)), paratodoy; 3. c(f, u 2 ) c(f, u 1 ),paratodof ; 4. P 2 P 1,paratodoF ; 5. π(x,ɛ,u 2 ) π(x,ɛ,u 1 ),paratodox,ɛ; 6. se u 2 (y)df (y) u 2 (ȳ), então u 1 (y)df (y) u 1 (ȳ), para todos F e ȳ.

25 Aversão ao risco Note que ψ(z) =u 2 ou1 1 (z) é uma função crescente. Como as funções são diferenciáveis, temos que e oqueimplicaem ou u 2 (y) =ψ (u 1 (y))u 1 (y) u 2 (y) =ψ (u 1 (y)) [ u 1 (y)] 2 + ψ (u 1 (y))u 1 (y) u 2 (y) u 2 (y) = ψ (u 1 (y)) ψ (u 1 (y)) u 1(y)+ u 1 (y) u 1 (y) r A (y, u 2 )= ψ (u 1 (y)) ψ (u 1 (y)) u 1(y)+r A (y, u 1 ). Logo, r A (y, u 2 ) > r A (y, u 1 ),paratodoy, se,esomentese ψ (z) < 0, para todo z.

26 Aversão ao risco Definição: Dada uma função u duas vezes diferenciável, definimos r R (y, u) = u (y)y u (y) ocoeficientedeaversãorelativaaorisco. Exemplo 1 (CARA - aversão absoluta ao risco constante): u(y) = e αy α. Temos que r A (y, u) =α, paratodoy, se,esomenteseu é CARA. Exemplo 2 (CRRA - aversão relativa ao risco constante): u(y) = { y 1 γ 1 γ, se γ 1 ln(y), se γ = 1. Temos que r R (y, u) =γ, paratodoy, se,esomenteseu é CRRA.

27 Aplicação: seguros Consideraremos um seguro atuarialmente justo como aquele em que o payoff esperado da seguradora é igual ao preço do seguro. Suponha então que um agente que tem riqueza W ;partedela concentrada em um automóvel de valor D; Ele é avesso ao risco e encara uma probabilidade π de ter seu carro roubado. Quanto de seguro o indivíduo demandar neste caso?

28 Aplicação: seguros Problema: max α πu (W D + α(k p)) + (1 π)u(w αp). Como o seguro é atuarialmente justo, devemos ter p = πk. Logo, max α πu (W D + α(1 π)k)+(1 π)u(w απk). ACPOnoslevaa π(1 π)u (W D + α(1 π)k) =(1 π)πu (W απk) oqueimplicaw D + α(1 π)k = W απk, ouαk = D, i.e., seguro total.