Substituição Trigonométrica

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1 Universidade Federal do ABC Aula 18 Substituição Trigonométrica BCN FUV

2 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

3 Substituição Trigonométrica Introdução: Um exemplo A área de um círculo ou uma elipse é dada por uma integral do tipo න a 2 x 2 dx onde a > 0. Se a integral fosse x a 2 x 2 dx, a substituição u = a 2 x 2 seria uma boa opção, mas não é esse o caso.

4 Substituição Trigonométrica න a 2 x 2 dx Se aplicamos a substituição x = a sen θ, a identidade 1 sen 2 θ = cos 2 θ podemos abandonar a raiz: a 2 x 2 = a 2 a 2 sen 2 θ = a 2 (1 sen 2 θ) = a 2 cos 2 θ = a cos θ

5 Substituição Trigonométrica Qual é a diferença entre a substituição u = a 2 x 2 a substituição x = a sen θ? Na primeira, a nova variável é uma função da antiga. Na segunda, a variável antiga é uma função da nova.

6 Substituição Trigonométrica De forma geral, podemos fazer uma substituição da forma x = g(t) usando as regras da substituição inversa. Para tornar nossos cálculos mais simples, assumimos que g tem uma função inversa, ou seja, g é injetora (um-paraum).

7 Substituição Inversa Por exemplo, se substituirmos u por x e x por t obteremos න f x dx = න f g(t) g (t)dt Esse tipo de substituição é chamado de substituição inversa.

8 Substituição Inversa Podemos fazer a substituição inversa x = a sen θ, desde que defina uma função injetora. Isso pode ser obtido restringindo-se θ para um intervalo, por exemplo [ π/2, π/2].

9 Tabela de Substituições TrigonométricaS Substituições trigonométricas que são eficazes para as expressões radicais dadas em razão de certas identidades trigonométricas. Em cada caso, a restrição de θ é imposta para assegurar que a função que define a substituição seja injetora. Expressão Substituição Identidade a 2 x 2 x = a sen θ, π 2 θ π 2 a 2 + x 2 x = a tg θ, π 2 < θ < π 2 1 sen 2 θ = cos 2 θ 1 tg 2 θ = sec 2 θ x 2 a 2 x = a sec θ, 0 θ π 2 ou π θ 3π 2 sec 2 θ 1 = tg 2 θ

10 Exemplo Calcule න 9 x2 x 2 dx Comentários: Faremos a substituição x = 3 sen θ, com π 2 θ π 2 Então, dx = 3 cos θ dθ, e 9 x 2 = 9 sen 2 θ = 9 cos 2 θ = 3 cos θ = 3 cos θ

11 Fazendo a substituição inversa, obtemos න 9 x2 3 cos θ x 2 dx = න 9 sen 2 3 cos θ dx θ = න cos2 θ sen 2 θ dθ = න cot2 θ dθ = න(cosec 2 θ 1) dθ = cot θ θ + C Este não é o resultado final. Como esta é uma integral indefinida, devemos retornar à variável original x.

12 : a volta Opção 1: Usar identidades trigonométricas para expressar cot θ em termos de sen θ = x/3.

13 : a volta Opção 2: Desenhamos um diagrama, onde θ é interpretado como um ângulo de um triângulo retângulo. θ

14 : a volta Como sen θ = x/3, nomeamos o cateto oposto e a hipotenusa como sendo x e 3. 3 x θ 9 x 2

15 : a volta O Teorema de Pitágoras nos dá o comprimento do cateto adjacente: 9 x 2 3 x θ 9 x 2

16 : a volta A cotangente de θ vale (a partir da figura): cot θ = 9 x2 x Lembre-se que cot θ existe mesmo para θ < 0. 3 x θ 9 x 2

17 : a volta Como sen θ = x/3, temos θ = arcsen(x/3). Portanto න 9 x2 x 2 dx = 9 x2 x 2 arcsen x 3 + C Agora sim!

18 Exemplo Encontre a área da elipse x 2 a 2 + y2 b 2 = 1

19 Primeiro, isolamos y: ou y 2 b 2 = 1 x2 a 2 = a2 x 2 a 2 y = ± b a a2 x 2

20 Uma elipse é simétrica com relação aos dois eixos. Portanto, a área total A é igual a quatro vezes a área do primeiro quadrante.

21 A área da elipse no primeiro quadrante é definida pela função y = b a a2 x 2, 0 x a

22 Ou seja, 1 a b 4 A = න 0 a a2 x 2 dx Para calcular esta integral, fazemos a substituição x = a sen θ dx = a cos θ dθ x = 0 sen θ = 0 θ = 0 x = a sen θ = 1 θ = π 2

23 E também, como 0 θ π/2, a 2 x 2 = a 2 a 2 sen 2 θ = a 2 (1 sen 2 θ) = a 2 cos 2 θ = a cos θ = a cos θ

24 Portanto, π/2 Resolução a b A = 4 න 0 a a2 x 2 dx π/2 = 4 b a න a cos θ. a cos θ dθ = 4ab න cos 2 θ dθ 0 0 π/2 1 = 4ab න 0 2 (1 + cos 2θ) dθ = 2ab θ sen 2θ 0 = 2ab π π/2 = πab Em particular, se a = b = r, chegamos a fórmula da área de um círculo: πr 2

25 Exemplo Calcule න x 2 1 x dx

26 Faremos a substituição e x = 2tg θ, π/2 < θ < π/2 ቊ dx = 2 sec 2 θ dθ x = 4(tg 2 θ + 1) = 4sec 2 θ = 2 sec θ = 2 sec θ

27 Portanto, න 1 x 2 x dx = න 2sec2 θ dθ 4 tg 2 θ. 2 sec θ = 1 4 න sec θ tg 2 θ dθ

28 Para calcular esta integral trigonométrica, colocamos tudo em termos de sen θ e cos θ: sec θ tg 2 θ = 1 cos θ cos2 θ sen 2 θ = cos θ sen 2 θ

29 Assim, fazendo a substituição u = sen θ, temos: න x 2 1 x dx = 1 4 න sec θ tg 2 θ dθ = 1 4 න cos θ sen 2 θ dθ = 1 4 න 1 u 2 du = u + C = 1 4 sen θ + C = cossec θ 4 + C

30 Substituição Trigonométrica Example 3 Agora, usamos um triângulo retangulo para voltar à variável original. Da figura, temos que cossec θ = x2 +4 x Portanto න 1 x 2 x dx = x x + C x θ 2

31 Exemplo Calcule න x x dx

32 Deve ser possível usar a Substituição Trigonométrica x = 2 tg θ. No entanto, a substituição direta u = x parece melhor por ser mais simples. Neste caso, teríamos du = 2x dx න x x dx = 1 2 න du u = u + C = x C

33 Exemplo Calcule න 1 x 2 a 2 dx onde a > 0.

34 Fazemos a substituição x = a sec θ, 0 < θ < π/2 ou π < θ < π/2 ቊ dx = a sec θ tan θ dθ e x 2 a 2 = a 2 (sec 2 θ 1) = a 2 tg 2 θ = a tg θ = a tg θ

35 Então, න 1 x 2 a 2 dx = න a sec θ tg θ a tg θ = න sec θ dθ = ln sec θ + tg θ + C dθ

36 Usando a técnica do triângulo, temos tg θ = x2 a 2 a x 2 a 2 θ a

37 Portanto, න 1 x 2 a 2 dx = ln x a + x2 a2 = ln x + x 2 a 2 ln a + C Considerando C 1 = C ln a, chegamos a: a + C = ln x + x 2 a 2 + C 1

38 Se tivermos certeza que x > 0, podemos considerar a substituição hiperbólica x = a cosh t ቊ dx = a sinh t dt E o uso da identidade cosh 2 y sinh 2 y = 1: x 2 a 2 = a 2 (cosh 2 t 1) = a 2 senh 2 t = a senh θ

39 න 1 x 2 a 2 dx = න a sinh t dt a sinh t = න dt = t + C Como cosh t = x/a, temos que t = cosh 1 (x/a) e 1 න dx = x x 2 cosh 1 a2 a + C

40 Substituição Hiperbólica Substituições hiperbólicas podem ser usadas em vez das Substituições Trigonométricas, e às vezes elas levam a respostas mais simples. No entanto, geralmente usamos a Substituição Trigonométrica, porque as identidades trigonométricas são mais familiares do que as identidades hiperbólicas.

41 Exemplo Calcule න x 3 (4x 2 dx + 9) 3/2

42 Comentários: Nota-se que (4x 2 + 9) 3/2 = ( 4x 2 + 9) 3 o que indica que a Substituição Trigonométrica é apropriada. 4x não é uma das expressões na tabela de Substituições Trigonométricas, mas pode ser transformada através da substituição preliminar u = 2x.

43 Combinamos com a substituição da tangente: x = 3 2 tg θ dx = 3 2 sec2 θ dθ e 4x = 9tg 2 θ + 9 = 3 sec θ

44 Os limites de integração ficam: x = 0 θ = 0 x = tg θ = 3 θ = π 3

45 3 3 2 x 3 π න 0 (4x 2 + 9) 3/2 dx = න 3 0 = 3 16 න 0 π 3 tg 3 θ = 3 16 න 0 sec θ dθ = 3 16 න 0 π 3 1 cos 2 θ cos 2 θ 27 8 tg3 θ 27sec 3 θ 3 2 sec2 θ dθ π 3 sen 3 θ cos 2 θ dθ sen θ dθ

46 Agora fazemos a substituição u = cos θ ቊ du = sen θ dθ Os limites de integração ficam: θ = 0 u = 1 θ = π 3 u = 1 2

47 Portanto, x 3 න 0 (4x 2 + 9) 3/2 dx = 3 1/2 16 න 1 u 2 1 u 2 du 1/2(1 u 2 )du = 3 16 u + 1 1/2 u 1 = 3 16 න 1 = (1 + 1) = 3 32

48 Exemplo Calcule න x 3 2x x 2 dx

49 Podemos transformar o integrando em urna função para a qual a substituição trigonométrica é apropriada completando primeiramente o quadrado sob o sinal da raiz: 3 2x x 2 = 3 x 2 + 2x = x 2 + 2x + 1 = 4 (x + 1) 2

50 Agora fazemos a substituição Assim, u = x + 1 ቊ du = dx න x 3 2x x 2 dx = න u 1 4 u 2 du

51 Agora fazemos uma nova substituição u = 2 sen θ du = 2 cos θ dθ 4 u 2 = 2 cos θ

52 Assim, න x 3 2x x 2 dx = න 2 sen θ 1 2 cos θ 2 cos θ dθ = න(2 sen θ 1)dθ = 2 cos θ θ + C = 4 u 2 sen 1 u 2 + C = 3 2x x 2 x sen 2 + C