Estratégias de Integração. Estratégias de Integração

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Estratégias de Integração Até agora aplicamos algumas técnicas individuais, tais como a integração por partes e as frações parciais. Nesta aula iremos apresentar uma coleção de integrais misturadas aleatoriamente, sendo que o principal desafio será o reconhecimento da técnica ou fórmula que devem ser usadas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Estratégias de Integração.Introdução.Resolução de eemplos.observações As regras fáceis e rápidas para a aplicação de um dado método em uma determinada situação não são fornecidas. Contudo, serão dados alguns conselhos sobre estratégias que você poderá achar útil. 5 A integração é mais desafiante que a diferenciação. Para determinar a derivada de uma função é óbvio qual fórmula de diferenciação devemos aplicar. Porém não é necessariamente óbvio qual técnica devemos aplicar para integrar uma dada função Um pré-requisito para a seleção da estratégia é o conhecimento das fórmulas básicas de integração. Na tabela seguinte apresentamos integrais já conhecidas em aulas anteriores com várias fórmulas adicionais 6

2 Tabela de Fórmulas de Integração (As constantes de integração foram omitidas) n+ n. d = ( n ). d = ln n +. e d = e 4. a a d = lna 5. sen d = cos 6. cos d = sen 7. sec d = tg 8. cossec d = cotg 9. sec tg d = sec 0. cosec cotg d = cossec 7. Se possível, simplifique o integrando Algumas vezes o uso de manipulação algébrica ou identidades trigonométricas simplifica o integrando e torna o método de integração óbvio. 0 Tabela de Fórmulas de Integração (As constantes de integração foram omitidas). sec d = ln sec + tg. cossec d = ln cossec cotg. tg d = ln sec 4. cotg d = ln sen 5. senh d = cosh 6. cosh d = senh d 7. tg + = a a a d a 9. = ln a a + a d 8. = sen a a d 0. ln a ± a = + ± 8 Eemplos: ( + ) = ( + ) d d tgθ senθ dθ = cos d sec θ θ cosθ = senθ cosθ d = sen d θ ( sen + cos ) = ( sen + sen cos + cos ) d d ( sen cos ) = + d Uma vez familiarizado com essas fórmulas básicas de integração, se não virmos imediatamente como atacar uma dada integral, poderemos tentar a seguinte estratégia de quatro etapas.. Procure por uma substituição óbvia Tente encontrar alguma função u = g () no integrando cuja diferencial du = g () também ocorra, separadamente da constante. 9

3 Por eemplo, na integral d notamos que, se u =, então du = d. Portanto, usamos a substituição u = em vez do método das frações parciais. 4. Tente novamente Se as três etapas anteriores não derem resultado, lembre-se que eistem basicamente apenas dois métodos de integração: substituição e por partes. a) Tente a substituição: Mesmo que nenhuma substituição seja óbvia (Etapa n o ), alguma inspiração ou engenhosidade pode sugerir uma substituição apropriada. b) Tente por partes: Embora a integração por partes seja usada na maioria das vezes nos produtos da forma descrita na Etapa n o (c), algumas vezes é eficaz em funções simples, como em tg -, sen - e6 ln. Todas são funções inversas.. Classifique o integrando de acordo com sua forma Se as etapas e não levaram a uma solução, então olhamospara a forma do integrandof (). a) Funções trigonométricas: Se f () é um produto de potências de sen e cos, de tg e sec ou de cotg e cossec, então utilizaremos as substituições trigonométricas(aula 50). b) Funções racionais: Se f é uma função racional, usamos o procedimento da aula 46, envolvendo as frações parciais. 4 c) Manipule o integrando: As manipulações algébricas (talvez racionalizando o denominador ou usando as identidades trigonomátricas) podem ser úteis na transformação da integral em uma forma mais fácil. Essas manipulações podem ser mais substanciais que na Etapa n o e podem envolver alguma engenhosidade. d d + cos + cos = = d cos cos + cos cos + cos cos = d = cossec d sen + sen 7 c) Integração por partes: Se f () é um produto de uma potência de (ou um polinômio) e uma função transcendental (como uma função trigonométrica, eponencial ou logarítmica), então tentamos a integração por partes, escolhendo u e du de acordo com a Aula 45. d) Radicais: Tipos particulares de substituição são recomendados quando certos radicais aparecem. (i) Se ± ± a ocorre, utilizamos a substituição trigonométrica de acordo com a tabela apresentada nesta aula. (ii) Se n a + b ocorre, usamos a substituição n racionalizante u = a + b. Isso funciona mais comumente para n g( ). 5 d) Relacione o problema àqueles anteriores: Quando tiver adquirido alguma eperiência em integração, você poderá usar um método em uma dada integrals similar o método já usado em uma integral anteriormente. Ou até será capaz de epressar a integral dada em termos de uma integral anterior. tg sec = ( sec ) sec = ( sec sec ) d d d OBS: Veja o Eemplo 7 da Aula 50. 8

4 . Resolução de eemplos e) Use vários métodos: Algumas vezes dois ou três métodos são necessários para se avaliar uma integral. A avaliação pode envolver várias substituições sucessivas ou diferentes tipos ou até combinar a integração por partes com uma ou mais substituições. Solução: Na Etapa n o reescrevemosa integral tg cos d = tg sec d A integral é agora da forma tg m n sec d commímpar;entãousamosadicadadanaaulan o Resolução de eemplos Nos eemplos a seguir indicamos o método de ataque, mas não trabalhamos totalmente as integrais. 0 Alternativamente, se na Etapa n o tivéssemos escrito tg sen sen d = d = d 6 cos cos cos cos então poderíamos ter continuado como se segue com a substituição u = cos. sen sen cos d = sen d = sen d cos cos cos u u 4 6 = ( du) = du = 6 6 ( u u ) du u u. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Eemplo : Calcule a integral tg d cos Eemplo : Calcule a integral e d 4 4

5 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Solução: De acordo com a Etapa n o (d)(ii) substituímos u = Eemplo 4: Calcule a integral d ln Então = u, assim d = du e u e d = ue du O integrando é agora um produto de u e da função transcendental e u e, dessa forma, pode ser integrado por partes Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Eemplo : Calcule a integral d Solução: Aqui a Etapa n o é tudo o que é necessário. Substituímos u = ln porque sua diferencialé du = d/,que ocorre na integral Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Solução: Nenhuma simplificação algébrica ou substituição é óbvia, por isso as Etapas n o e n o não se aplicam aqui. O integrando é uma função racional, então aplicamos o procedimento da Aula n o 46, lembrando que a primeira etapa é dividir. Eemplo 5: Calcule a integral d

6 . Resolução de eemplos. Observações Solução: Embora a substituição racionalizante u = + funcione aqui [Etapa n o (d)(ii)], isso leva a uma função racional muito complicada. Um método mais fácil é fazer alguma manipulação algébrica [como na Etapa n o ou na Etapa n o 4(c)]. As funções com as quais temos lidado até agora são chamadas funções elementares. Essas são as funções polinomiais, as racionais, as de potência ( n ), as eponenciais (a ), as logarítmicas, as trigonométricas e suas inversas e todas aquelas que podem ser obtidas pelas operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e composição. Por eemplo, a função f ( ) = + ln ( cosh ) e + sen é uma função elementar. 4. Resolução de eemplos. Observações Multiplicando o numerador e o denominador por temos, d = d = d d + = = sen + + d d C Se f é uma função elementar, então f é uma função elementar, mas f ( ) d não é necessariamente uma função elementar. Considere f ( ) = e. Como f é contínua, sua integral eiste e definimos a função F por F( ) = e d 0 5. Observações. Observações A questão surge: nossa estratégia de integração nos permitirá encontrar a integral para toda função contínua? Por eemplo, podemos usar nossa estratégia para avaliar e d A resposta é não, ao menos não em termos das funções que nos são familiares.? Então sabemos pelo Teorema do Cálculo que Então F = ( ) e. f ( ) = e tem uma antiderivada F, mas pode-se provar que F não é uma função elementar. 6 6

7 . Observações Isso significa que não importa o quanto tentamos, nunca teremos sucesso em avaliar e d em termos das funções que conhecemos. Contudo, no estudo das séries, veremos como epressar a integral acima como uma série infinita. 7. Observações O mesmo pode ser dito das integrais a seguir: e d ( ) sen d cos( e ) d + d ln d sen d 8 7