UMA DIDÁTICA ALTERNATIVA PARA ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 UMA DIDÁTICA ALTERNATIVA PARA ANÁLISE COMBINATÓRIA xxxxxx 1 xxxxx RESUMO Há várias razões que fazem da Análise Combinatória um desafio didático para os professores e de aprendizagem para os alunos. As principais delas são a necessidade de classificar o problema em tipo correto e de memorizar a fórmula correspondente. Neste artigo apresentamos um método alternativo ao método clássico que elimina tais necessidades. Esse método que chamamos de Método dos Traços Marcados pode ser usado genericamente para além dos casos básicos de combinatória. Apresentamos também uma proposta de padronização de termos. Palavras chave: ANÁLISE COMBINATÓRIA, TÉCNICA DE CONTAGEM. INTRODUÇÃO Quatro das grandes dificuldades de se ensinar Análise Combinatória são: (1) o enunciado que exige leitura e interpretação, (2) a variedade de tipos de problemas como combinação, arranjo, permutação e seus subtipos, (3) as fórmulas respectivas de cada tipo e (4) a terminologia não padronizada dos termos. A necessidade de interpretar o texto do enunciado é um problema que atinge a todos, desde os alunos de tenra idade, como os do Ensino Fundamental, até os participantes de concursos públicos. Quantos recursos já não foram impetrados por conta de uma interpretação ambígua de texto? A variedade de tipos e respectivas fórmulas são o grande entrave no entendimento desse assunto. O método que aqui propomos ajuda a eliminar esses problemas. 1 xxxxxx In xxx (Eds.). Anais do III Seminário Internacional de Educação Matemática. pp.xxx. São Paulo, Brasil. SIEMAT.

2 Uma Didática Alternativa para Análise Combinatória Os termos usados em Análise Combinatória não são exatamente padronizados: desarranjo para uns é permutação caótica para outros. Os termos arranjo e permutação que são tratados no ensino médio não recebem o mesmo tratamento no ensino superior. Há ainda a confusão que se instala com os termos com repetição e com elementos repetidos. UMA PROPOSTA DE PADRONIZAÇÃO DE TERMOS Chamamos de ESTOQUE o conjunto inicial cujos elementos se podem tirar para montar uma SELEÇÃO: ={e 1, e 2, e 3,..., e n }. A pergunta que naturalmente se faz é quantas seleções diferentes se podem montar?. A resposta depende de como a seleção é montada: (1) a ordem dos elementos diferencia a SELEÇÃO? (2) existem elementos iguais no ESTOQUE? (3) ocorre reposição de elementos ao ESTOQUE? Quando se permite montar duas seleções com os mesmos elementos diferenciando-as apenas pela ordem deles, a ordem importa e o problema é do tipo Arranjo, caso contrário é do tipo Combinação. Reservamos o termo permutação como um caso particular de arranjo sem reposição quando todos os elementos do ESTOQUE são selecionados. Quando existem elementos iguais no ESTOQUE, acrescentamos o adjetivo com repetição ao tipo do problema. Avisamos, entretanto, que é comum encontrar textos didáticos que atribuem esse adjetivo quando há elementos iguais na SELEÇÃO. O problema, neste caso, é não poder identificar a causa da repetição: a reposição dos elementos selecionados ao ESTOQUE ou à existência de elementos repetidos no ESTOQUE? A nossa proposta visa exatamente identificar a causa da repetição. Quando a seleção se monta na base da reposição, ou seja cada elemento selecionado é colocado de volta ao ESTOQUE, acrescentamos o adjetivo com reposição ao tipo do problema. O que nos textos didáticos comumente é chamado de arranjo com repetição deveria ser escrito mais claramente como arranjo com repetição devido à reposição de elementos, ou simplesmente arranjo com reposição, conforme a nossa Proposta. Respectivamente para combinação. 2

3 xxx A nossa proposta permite ainda classificar dois tipos de problema que não costumam ser abordados em salas de aula por não possuirem fórmula geral: o arranjo com repetição e a combinação com repetição, no sentido fiel conforme a nossa proposta. Um exemplo do primeiro tipo é quantos anagramas de 3 letras podemos formar a partir da palavra ABBABA? e um exemplo do segunto tipo é quantos conjuntos de 3 letras podemos formar a partir da palavra BBABA? O MÉTODO DOS TRAÇOS MARCADOS Este Método é uma generalização do método clássico usado para problemas típicos de arranjo que utilizam o princípio da multiplicação. A diferença está nos números que aparecem em baixo dos traços e nas marcas que eventualmente se põe nos traços. A sequência dos passos é descrita no quadro abaixo. 1. Definir o ESTOQUE e desenhar k traços, onde k é o tamanho da SELEÇÃO. 2. Marcar os traços quando tiver restrição ou numerá-los quando a ordem importa. 3. Em cima do primeiro traço por o número de elementos ainda disponíveis no ESTOQUE, diminuindo seu tamanho de 1 quando sem reposição, e em baixo o número de traços sem marcas ou com marcas iguais, ainda restantes. 4. Repetir o passo 3 até o último traço substituindo o primeiro traço pelo traço seguinte. A ordem dos traços vai da esquerda à direita. 5. Multiplique as frações que se formam. Exemplo 1. De quantas maneiras é possível fazer uma comissão de 5 pessoas numa classe de 50 alunos? O ESTOQUE é de 50 alunos, e k=5 o tamanho da SELEÇÃO. Desenhando-se os 5 traços : Como a ordem não importa os traços não serão marcados. Para o primeiro traço temos 50 candidatos no ESTOQUE e 5 traços disponíveis 50 5 Sem reposição o segundo traço tem 49 candidatos e 4 traços disponíveis 3

4 Uma Didática Alternativa para Análise Combinatória Prosseguindo até o último traço teremos a seguinte configuração final Por fim multiplicamos as frações que se formam, dando o resultado: Exemplo 2 Uma comissão de 5 alunos deve ser escolhida em um grupo de 20 primeiros anistas e 30 segundos anistas. De quantas maneiras é possível selecionar 2 alunos do primeiro ano e 3 do segundo? O ESTOQUE tem 20 primeiros anistas e 30 segundos anistas, sendo k=5 o tamanho da SELEÇÃO. A ordem aqui não importa mas existe uma restrição: 2 traços são reservados para os primeiros anistas e 3 para os segundos anistas. Assim os traços serão marcados : p p s s s onde a marca p corresponde aos primeiros anistas e s aos segundos anistas. Para o primeiro traço temos 20 primeiros anistas no ESTOQUE e 2 traços p 20 p p s s s 2 Sem reposição o segundo traço tem um candidato a menos e um traço p apenas p p s s s 21 Já para o terceiro traço existem 30 candidatos (segundos-anistas) e 3 traços s : p p s s s Continuando até o último traço, teremos a seguinte configuração 4

5 xxx p p s s s Finalmente, multiplica-se as frações que se formam Exemplo 3 Uma comissão de 5 alunos deve ser escolhida em um grupo de 20 primeiro anistas e 30 segundo anistas. De quantas maneiras é possível selecionar no máximo 1 aluno do primeiro ano? A frase no máximo deste problema é um complicador que exige a divisão em vários casos: caso 1 com exatamente 1 aluno do primeiro ano e caso 2 com nenhum do primeiro ano. Para cada caso temos marcas diferentes nos traços. Caso 1. p s s s s Caso 2. s s s s s Aplicando o mesmo raciocínio do exemplo anterior em cada caso obteremos as seguintes configurações finais Caso 1. p s s s s Caso 2. s s s s s Obtendo assim os números que totalizam = Exemplo 4 Dez atletas competem em um evento olímpico. De quantas maneiras pode-se compor o pódio? O pódio de uma competição é ordenado. Assim os traços serão numerados No primeiro traço existem dez atletas para um traço 1. Sem reposição, a quantidade de candidatos no estoque vai diminuindo e com a numeração, cada traço é único. Portanto a configuração final será como acima, fornecendo a quantidade total de 720 pódios possíveis. 5

6 Uma Didática Alternativa para Análise Combinatória Exemplo 5 Quantas placas de carro podem ser feitas com 3 letras e 4 números? Neste problema a ordem importa, pois ABC1234 e ABC1243, por exemplo, são placas diferentes. Numeramos pois os traços como no diagrama da esquerda Considerando o ESTOQUE composto pelas 26 letras e 10 números, este problema é com reposição, pois AAA1111 por exemplo é uma placa válida. Assim sendo a configuração final dará o formato mostrado pelo diagrama da direita. Exemplo 6 Quantos anagramas tem a palavra LIVRO : lovri, livor, lvroi, virol,...? O ESTOQUE é composto pelas 5 letras da palavra LIVRO e anagrama embaralha tais letras formando novas palavras, a maioria sem ter nenhum sentido. Portanto a ordem importa. A sequência dos diagramas será da esquerda à direita ESTRATÉGIAS ALTERNATIVAS PARA O MÉTODO DOS TRAÇOS MARCADOS Quando não há restrição a ordem dos traços vai da esquerda à direita, mas com restrição ela pode mudar. Esta é uma estratégia alternativa de preenchimento dos traços com números em cima e em baixo. Listamos esta e outras estratégias no quadro abaixo. 1. A ordem de colocação dos números nos traços pode ser alterada quando há restrição no problema em questão. 2. Quando a ordem importa parcialmente (importa numa parte e não em outra), os traços podem ser numerados com números iguais conforme a quantidade respectiva de elementos iguais no ESTOQUE! 3. Se todos os traços forem numerados um procedimento alternativo é completar a colocação dos números de baixo primeiro e depois completar os de cima. 6

7 xxx 4. Se o problema é sem reposição e sem restrições pode-se proceder completando a colocação dos números de cima primeiro com números decrescentes até 1 e depois completar os de baixo. 5. Uma outra estratégia para os casos nos quais o tamanho da SELEÇÃO é igual ao do ESTOQUE é inverter a atribuição: ao invés de atribuir candidatos a traços, atribui-se traços aos candidatos! Exemplo 7 Quantos anagramas da palavra LIVRO começam e terminam com consoante? Começar e terminar com consoante são as restrições do problema. Com elas a sequência de preenchimento dos traços será alterada. Começando assim Como todos os traços são numerados, podemos já por os números abaixo deles. No primeiro traço, devido à restrição do problema temos 3 consoantes No segundo traço, o último da figura, sem reposição, teremos 2 consoantes. Veja abaixo Na sequência, no terceiro traço, não há mais restrições, e agora são 3 letras disponíveis, entre vogais e consoantes. Sem restrições, os traços seguintes serão preenchidos normalmente, o que dá o resultado de 36 anagramas. Pelo método clássico o problema deve passar pelo crivo de Permutação 3! condicional e resolve-se usando a composição de duas fórmulas AP 3,2 3 3! 36. 1! Exemplo 8 Quantos anagramas tem a palavra GARRA? Neste problema temos duas letras A e duas letras R, portanto o ESTOQUE tem elementos repetidos. Este é o caso de permutação com repetição. A pergunta que nos intriga agora é a ordem importa neste problema?. Como todo anagrama a ordem importa sim, porém para as letras iguais não, pois trocando as duas letras A, 7

8 Uma Didática Alternativa para Análise Combinatória por exemplo, de posição o anagrama não se altera. Dessa forma podemos marcar os traços como no diagrama à esquerda Como o problema é sem reposição e não possui restrições podemos já por os números de cima e depois completar a parte de baixo obtendo a forma final, à direita. O que dá um total de 30 anagramas diferentes. Pelo método clássico este é um problema de Permutação com elementos 5! 2!2!1! 2,2,1 repetidos e resolve-se usando a fórmula P Outra estratégia para este mesmo problema é inverter a atribuição. Ao invés de atribuir os candidatos (elementos do ESTOQUE) aos traços, vamos atribuir traços aos candidatos. Dessa forma o ESTOQUE é formado pelos 5 traços e os candidatos começam o diagrama. G A R R A Para o primeiro candidato o ESTOQUE tem 5 traços para um candidato G e para o segundo candidato o ESTOQUE tem 4 traços para 2 candidatos A G A R R A G A R R A 1 12 Já o terceiro o ESTOQUE tem 3 traços para 2 candidatos R. Completando, o quadro final terá a seguinte aparência G A R R A G A R R A Exemplo 9 Quantos anagramas da palavra GARRA termina com R? Aqui temos uma restrição além dos elementos repetidos. A sequência dos diagramas será como abaixo, observando a numeração dos traços com números iguais conforme a quantidade de elementos repetidos no ESTOQUE 8

9 xxx Portanto são 12 anagramas que terminam com R. Pela estratégia de inversão de atribuição, podemos separar um candidato R: G A R A R G A R A R Fornecendo o mesmo resultado. Exemplo 10 Um joalheiro, ao projetar um broche, decidiu usar cinco pedras preciosas escolhidas entre diamantes, rubis, e esmeraldas. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidas as pedras? Vamos considerar as letras o e i. A letra o representa uma pedra, não importando o tipo e a letra i representa o separador. A diferenciação dos tipos de pedra se dá pela posição delas: à esquerda, no meio ou à direita das letras i. Desta forma as pedras podem ser representadas assim: oooioio, ooiooio, oioooio, oiooioo,... A última delas, por exemplo, representa um diamante, duas rubis e duas esmeraldas. Este é um problema similar à contagem dos anagramas da palavra oooooii com cinco o s e dois i s, que se pode resolver considerando como o ESTOQUE o conjunto {o,o,o,o,o,i,i}. Pelo Método dos Traços Marcados com a estratégia de inversão de atribuição, uma vez que o ESTOQUE e a SELEÇÃO têm o mesmo tamanho, iniciamos listando os sete candidatos O O O O O i i Sem reposição e sem restrições podemos completar a colocação dos números de cima primeiro O O O O O i i Em seguida completar os de baixo 9

10 Uma Didática Alternativa para Análise Combinatória O O O O O i i Multiplicando as frações que se formam temos o número 21 de composições diferentes. Resolvendo pelo método clássico o problema deve passar pelo crivo de Combinação com Repetição (conforme textos didáticos, mas com repetição devido à reposição de elementos) e resolve-se usando uma fórmula específica para isso: * nk C nk, ( 1)! 7! 21 kn!(1)!5!2! Ao resolver pelo Método dos Traços Marcados como fizemos acima, não sentimos nenhum choque devido aos dois tipos de problema envolvidos nesta questão: combinação com reposição, no enunciado, e permutação com repetição, na resolução. Convenhamos que não precisar conhecer estes novos tipos de problema é um choque a menos e decorar a sua complicada fórmula é como evitar um tsunami de dificuldades no processo de aprendizagem desse assunto tão delicado. A utilização do Método dos Traços Marcados nos permite pois resolver uma variedade de questões típicas de Análise Combinatória sem a necessidade de classificar o problema nem de usar as suas fórmulas algébricas, nem todas fáceis. REFERÊNCIAS GERSTING,J.L. (2004) Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação um tratamento moderno de Matemática Discreta 5a ed, Rio de Janeiro, LTC. MORGADO,A.C; DE CARVALHO, J.B.P.; CARVALHO,P.C.P.; FERNANDEZ,P. (2006) Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios, 9ª.ed, Rio de Janeiro, SBM. HAZZAN, S. (2004) Fundamentos de Matemática Elementar vol.5: Combinatória e Probabilidade, 7a edição, São Paulo, Ed.Atual. MILLONE, G. (2004) Estatística Geral e Aplicada. São Paulo Pioneira Thomson Learning. SODRÉ, U. Ensino Médio: Análise Combinatória Disponível em < sercomtel.com.br/matematica/medio/combinat/combinat.htm#comb11>. Acesso em: 29/12/