PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

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1 ESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA A resolução de problemas é a parte principal da Análise Combinatória, que estuda a maneira de formar agrupamentos com um determinado número de elementos dados, e de determinar quantos são esses agrupamentos sem precisar contá-los um a um. Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem, mas quando aumenta o número de elementos dados e o número de elementos em cada agrupamento, o processo intuitivo de formá-los para depois realizar sua contagem torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por isso, partindo do concreto, tentaremos chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos são os agrupamentos que queremos realizar e quais são eles. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Consiste em dividir o evento em etapas. E para cada uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobrir qual o seu número de resultados possíveis. 1) Simone foi a uma concessionária comprar um carro. Para determinado modelo, ela poderia escolher entre três cores e dois tipos de motor. Quantas possibilidades diferentes ela teria para escolher esse modelo de carro nessa concessionária? Para determinar todas as opções de Simone, podemos utilizar um esquema, conhecido como diagrama de árvore ou árvore de possibilidades: 2) 1) Uma lanchonete serve 3 tipos diferentes de sanduíches e 2 tipos de refrigerantes. Vamos calcular o número de modos distintos de uma pessoa fazer um lanche. Construindo a árvore das possibilidades temos: Se um fato se compõe de duas etapas independentes, sendo que a primeira pode ocorrer de m maneiras e a segunda, de n maneiras, então o fato pode ocorrer de m.n maneiras diferentes. Esse princípio é conhecido como princípio fundamental da contagem (PFC) ou princípio multiplicativo. 3) Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7: a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? b) Quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar?

2 4) Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 0,1,2,3,4 e 5 que são múltiplos de 5? 5) A partir do ano de 1990, no Brasil, as placas de automóvel passaram a ter 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas são as possibilidades de placas nesse sistema? (considere o alfabeto com 26 letras). Exercícios: 1) Com 3 tipos de macarrão e 2 tipos de molho, quantas opções de pratos diferentes de macarronada podem ser preparadas? 2) Uma pessoa quer viajar de uma cidade A a uma cidade C, passando pela cidade B. As cidades A e B estão ligadas por 3 estradas: d 1, d 2 e d 3 e as cidades B e C estão ligadas por 4 estradas: e 1, e 2,e 3 e e 4. De quantos modos diferentes pode-se fazer o percurso ABC? 3) Doze cavalos participam de uma corrida. Se nenhum pode ganhar mais de um prêmio, de quantas maneiras podem ser distribuídos o 1 e o 2º prêmio? 4) Ao lançarmos uma moeda e um dado, quantas são as possibilidades de resultado? 5) Quantos são os números de 4 algarismos? 6) Calcule quantos números de 3 dígitos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, se os algarismos: a) podem ser repetidos; b) não podem ser repetidos. 7) Quantos números de 4 dígitos contêm pelo menos um algarismo 8? 8) Quantos números entre e podemos formar usando apenas 1, 3, 5, 7 e 9, sem os repetir? 9) Quantos números de 1, 2 ou 3 dígitos (sem repetição) podem ser formados com os algarismos 1, 2,3, 4, 5 e 6? 10) De quantas maneiras distintas 9 pessoas podem ser dispostas em fila? 11) A senha de acesso de um site é composta de 4 letras distintas seguidas de 3 algarismos distintos. A primeira letra não pode ser Z e o primeiro algarismo não pode ser zero. Quantas diferentes senhas de acesso a esse site podem ser criadas? (Considere o alfabeto com 26 letras.)

3 FATORIAL DE UM NÚMERO O produto de um número natural pelos seus antecedentes é muito frequente em problemas de contagem. Existe outra maneira mais simples de representarmos o produto de um número natural por todos os seus antecedentes até a unidade: é o fatorial desse número. O produto pode ser representado utilizando-se o ponto de exclamação escrito logo após o 5, ou seja: Sendo n um número natural, por definição: n! = n.(n-1).(n -2).(n-3) , para n 1 0!= 1 1! =1 n! = n.(n-1)! 5! (lê-se fatorial de cinco) Ex: a) 5!= = 120 b) Simplificar a expressão: 20! ! = = ! 18! 20! 18! c) Resolver a equação: n! 42 ( n 2)! n( n 1)( n 2)! 42 ( n 2)! n( n 1) 42 n 2 n 42 EXERCÍCIOS:(no caderno) n 7 1) Calcule: a) 6! b) 4! c) 0!+ 1! d) 3! - 2! e) 7! - 5! f) 5.3! 2) Obtenha o valor de cada uma das expressões seguintes: 3) Simplifique: 4) Resolva as seguintes equações: ( n 2)! ( n 1)! a) ( n 2)! 6. n! b ) n! 120 c ) 25 n( n 1)!

4 AGRUPAMENTOS O princípio fundamental da contagem (PFC) é a principal técnica para a resolução de problemas de contagem. Muitas vezes, porém, se utilizarmos apenas o PFC, a resolução desses problemas pode se tornar trabalhosa. Estudaremos os agrupamentos denominados: permutações, arranjos e combinações. PERMUTAÇÃO SIMPLES (SEM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS) Alguns conceitos importantes: Permutar é sinônimo de trocar. Nos problemas de contagem, associamos à noção de embaralhar, trocar de posição. Anagrama palavra formada pela troca de posição das letras de uma outra palavra. Assim, considerando a palavra FATOS, TAFOS é um anagrama. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra FATOS? A permutações simples de n elementos é qualquer agrupamento ordenado desses n elementos. E indicamos por P n. P n = n! 1) Numa Van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros podem ocupar os assentos do veículo? P 8 = 8! = modos 2) De quantas maneiras diferentes um casal com seus 3 filhos podem ocupar um banco com 5 lugares, de modo que o casal fique sempre junto? 3) Dos anagramas da palavra CORAGEM, quantos começam por A? 4) Dispostos em ordem crescente todos os números de 4 algarismos, obtidos com 1,3,5 e 7 (sem repetir). Que posição ocupa o número 5731?

5 PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por: n! P n ( a, b, c...) a!. b!. c!... 1) Determine o número de anagramas da palavra BANANA. 2) Quantos números pares podem ser obtidos ao permutarmos os algarismos que formam o nº ? EXERCíCIOS: 1) Quantos são os anagramas da palavra SABER? 2) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 3) Oito clientes de um banco, dos quais 3 são mulheres, estão na fila única dos caixas. De quantas maneiras as pessoas dessa fila podem se posicionar de modo que as mulheres fiquem juntas? 4) Com as letras da palavra PROVA, quantos são os anagramas que começam por vogal? E quantos são os anagramas que começam e terminam por consoante? 5) Quantos são os anagramas da palavra CARREIRA? 6) Uma cidade é formada por 6 bairros distintos. Deseja-se pintar o mapa dessa cidade com as cores azul, vermelha e verde, de modo que 2 bairros sejam azuis, 1 seja vermelho e os demais sejam verdes. Quantas são as maneiras distintas de pintar esse mapa? 7) Deseja-se arrumar em uma estante 4 livros de Matemática, 3 de Química e 5 de Português, todos diferentes. Quantas são as possibilidades de arrumação se: a) não houver restrições? b) os livros de uma mesma matéria permanecerem juntos? 8) Quantos números de 4 dígitos podem ser escritos com os algarismos 5, 7,8 e 9, se: a) cada algarismo deve ser usado uma única vez? b) as repetições dos algarismos são permitidas? 9) Quantos anagramas da palavra ARTIGOS: a) terminam em S? b) começam com R e terminam em S? c) começam com consoante? d) apresentam as três vogais juntas? 10) Três garotos e cinco meninas devem sentar em um banco de forma que o garoto mais novo e a menina mais nova fiquem juntos. De quantas maneiras isso pode ser feito?

6 ARRANJO SIMPLES São agrupamentos ordenados diferentes que podemos formar com p elementos dos n elementos dados, em que p n. É possível calcular rapidamente a quantidade de arranjos usando a fórmula: A n,p = n! (n-p)! COMBINAÇÃO SIMPLES. São agrupamentos ordenados diferentes que podemos formar com p elementos dos n elementos dados, em que p n. É possível calcular rapidamente a quantidade de combinações usando a fórmula: C n,p = n! p! (n-p)! Arranjos são agrupamentos onde a ordem dos seus elementos faz diferença. Combinação são agrupamentos onde a ordem dos seus elementos não faz diferença. 1) Quantos números de 3 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7? 1) Um garoto gostaria de convidar 7 amigos para um acampamento, porém só há lugar para 4 amigos na barraca. De quantas maneiras o garoto pode escolher 4 amigos entre 7? 2) Em uma competição de atletismo, 8 velocistas disputam prova final dos 100 m rasos, na qual os 3 primeiros colocados irão ao pódio. De quantas maneiras diferentes o pódio poderá ser composto? 2) Para fazer uma aposta da lotofácil, devemos marcar 15 número entre os 25 constantes no volante. De quantas maneiras é possível preencher um cartão de lotofácil? 3) Quantos palavras de 4 letras distintas podemos formar com as letras da palavra CONTAGEM? 3) De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 na terceira?

7 EXERCÍCIOS: 1) Calcule: a) A 10,5 b) A 10,5 - A 5,2 c) A15,12 A15,3. A12,3. A9,3. A6,3 d) C 8,5 C 5,2 2) Resolver as equações: a) C x, 2 = 3 b) A x,2 = ) Uma sala possui 6 portas. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente? 4) Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isso pode ser feito? 5) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,3,4.5,6, 7, 8 e 9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre e gastar 10 segundos em cada tentativa, quanto tempo levará (no máximo) para conseguir abri - lo? 6) De quantos modos 3 pessoas podem sentar num sofá de 5 lugares? 7) Uma prova é composta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? 8) Cinco cavalos disputam um páreo. Qual é o número de possíveis resultados para as 3 primeiras colocações? 9) Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 7 pessoas? 10) Para a seleção brasileira de futebol, foram convocados 5 laterais. De quantas maneiras a seleção pode escalar esses jogadores para atuar na esquerda ou na direita? 11) Quantos números existem entre 100 e 1.000, escritos com algarismos distintos? 12) Ao sair de uma festa, 10 amigos se despediram com um aperto de mão. Quantos apertos de mão foram trocados? 13) Sobre uma circunferência, são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? 14) Considere 7 pontos distintos sobre uma reta e 4 pontos, também distintos, sobre outra reta, paralela à primeira. Quantos triângulos podemos obter ligando 3 quaisquer desses 11 pontos? 15) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. De quantas maneiras diferentes podemos retirar 3 bolas de modo que não saiam somente bolas vermelhas? 16) Em um congresso de Educação, ha 6 professores de Física e 6 de Matemática. Quantas comissões de5 professores podem ser formadas, havendo em cada uma 2 professores de Matemática e 3 de Física?