Fatorial de um número natural

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1 Fatorial de um número natural Exemplos: a) 6! b) 4. 3! c) 7! 7. 6! d) e) 3! Perceba que 7! , ou que 6! !, e assim sucessivamente. Arranjos simples Dado o conjunto A (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois. (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3) Notamos que (2, 3) (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possível agrupamento gera um agrupamento diferente. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8 (lembrando que são dígitos distintos, ou seja, diferentes). Aplicando a fórmula de arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: Observe que 720 A 10,3 Cálculo do número de arranjos Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de arranjos dos n elementos tomados k a k:

2 (A n,k ). A fórmula do Arranjo é: A n,k ( n k Exemplo 3 Obter o valor de A 4,2 + A 7,3. Temos A 4,2 (4 2)! 2! A 7,3 7! (7 3)! 7! Logo o valor de A 4,2 + A 7,3 será: Permutações simples Escrever todos os anagramas da palavra SOL. Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido. Assim, temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO. De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E podem ser dispostas em fila indiana? Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é uma sequência ordenada na qual comparecem sempre as cinco pessoas. Assim, o resultado esperado é: P

3 Exemplo 3 Baseado no exemplo anterior (cinco pessoas, A, B, C, D e E), quantas filas podem ser compostas começando por A ou por B? A 1ª posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras (tanto A como B pode iniciá-la). Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de: P 4 24 possibilidades. Pelo PFC, o resultado é: 2 x Permutação com elementos repetidos Determine o número de anagramas da palavra MATEMATICA. Temos 10 elementos, com repetições. A letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Pela fórmula anterior, teremos: n10 a2 b3 c2. P 10 (2,3,2) 2!3!2! Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? Temos: n 5 (cinco letras) a 2 (a letra A se repete duas vezes) P 5 (2) 2!

4 Combinações : Uma turma é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três alunos para representação discente na universidade. De quantas maneiras podemos fazer tal escolha? Como ao trocar a ordem das pessoas em cada comissão formada não altera em nada o grupo, temos que trabalhar com combinação. n 10 k 3 C n,k 3!(10 3)! 3!(10 3)! ! 3.2.7! 120 Escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto M {a, e, i, o, u} tomados dois a dois. Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos. Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos: {a, e} {e, a}; portanto é combinação. C n,k 2!3! 5.4.3! 2.3! 10 Assim, as combinações pedidas são: {a, e}; {a, i}; {a, o}; {a, u}; {e, i}; {e, o}; {e, u}; {i, o}; {i, u}; {o, u} Cinco alunos Pedro, Luís, José, Abel e Márcio participam de um concurso onde serão

5 sorteados três livros. Quais são os possíveis resultados do concurso? Sortear {Pedro, José, Marcio} é o mesmo que sortear {José, Marcio, Pedro}, pois nas duas situações esses alunos ganharão os livros. Desta forma, cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos tomados três a três. Temos: n 5 k 3 C n,k 3!2! 5.4.3! 2.3! 10 Os possíveis resultados do concurso são: {P, J, M}; {P, J, A}; {P, M, A}; {P, L, J}; {P, L, M}; {P, L, A}; {L, J, A}; {L, J, M}; {J, A, M}; {L, A M} Quando usar Arranjo e quando usar Combinação? Arranjo: quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a ordem dos elementos. Combinação: quando os agrupamentos conseguidos não se alteram ao se inverter a ordem dos elementos.