ANÁLISE COMBINATÓRIA

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Ágata Belém da Costa
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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina 17 de maio de 2017

2 Introdução A Análise Combinatória é a parte da Matemática em que se estuda as técnicas de contagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto. São basicamente dois tipos de agrupamentos: um que se leva em conta a ordem dos elementos; outro em que a ordem dos elementos é irrelevante.

3 Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser realizada de m maneiras e, para cada uma destas, a segunda pode ser realizada de n maneiras, então, o número de maneiras de se realizar a ação é m n.

4 Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser realizada de m maneiras e, para cada uma destas, a segunda pode ser realizada de n maneiras, então, o número de maneiras de se realizar a ação é m n. Exemplo Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números naturais de três algarismos podem ser escritos? Destes números, quantos são formados por algarismos diferentes?

5 Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser realizada de m maneiras e, para cada uma destas, a segunda pode ser realizada de n maneiras, então, o número de maneiras de se realizar a ação é m n. Exemplo Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números naturais de três algarismos podem ser escritos? Destes números, quantos são formados por algarismos diferentes? i) 5x5x5 = 125 ii) 5x4x3 = 60

6 Exercícios 1) Quantas placas de licença de automóveis podem ser formadas por 3 letras e 4 algarismos sendo as letras apenas vogais e sendo os algarismos distintos? 2) Uma moeda será lançada 6 vezes e a cada vez será anotado o resultado obtido, cara ou coroa, formando assim uma sequência de 6 resultados. Quantas sequências diferentes podem ser formadas?

7 Introdução Denomina-se permutação de n elementos dados a toda sucessão de n termos formada com os n elementos dados. Duas permutações dos mesmos objetos são diferentes se a ordem dos objetos numa delas é diferente da ordem em que os objetos estão colocados na outra. Exemplo 1) Forme todas as permutações dos algarismos 1, 2 e 3. (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 2, 1); (3, 1, 2)

8 Elementos distintos O número de permutações de n elementos distintos é dado por: P n = n!

9 Elementos distintos O número de permutações de n elementos distintos é dado por: Elementos repetidos P n = n! Quando se tem n elementos, dos quais n 1 são repetidos de um tipo, n 2 são repetidos de outro tipo, n 3 são repetidos de outro tipo e assim por diante, o número de permutações que se pode formar é dado por: P n 1,n 2,...,n 3 n = n! n 1!n 2!... n k!, (n 1 + n 2 + n n k = n)

10 Exemplo 1) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL? 2) Quantos são os anagramas da palavra ELEGER?

11 Introdução Denominam-se arranjos de n elementos distintos tomados k a k às sucessões formadas de k termos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nesses agrupamentos importa a ordem dos elementos.

12 Introdução Denominam-se arranjos de n elementos distintos tomados k a k às sucessões formadas de k termos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nesses agrupamentos importa a ordem dos elementos. Exemplo Formar os arranjos dos algarismos 1, 3, 5 tomados 2 a 2.

13 Introdução Denominam-se arranjos de n elementos distintos tomados k a k às sucessões formadas de k termos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nesses agrupamentos importa a ordem dos elementos. Exemplo Formar os arranjos dos algarismos 1, 3, 5 tomados 2 a 2. (1, 3); (1, 5); (3, 1); (3, 5); (5, 1); (5, 3)

14 Pelo princípio fundamental da contagem, conclui-se que a quantidade de arranjos que podem ser formados é: A n,k = n! (n k)!

15 Pelo princípio fundamental da contagem, conclui-se que a quantidade de arranjos que podem ser formados é: A n,k = n! (n k)! Exercício 1) Calcule A 5,2 e A 8,5. 2) Serão eleitas duas pessoas para representarem os alunos do curso Ciências Econômicas. Uma será o representante principal e a outra será suplente. Dez alunos estão interessados. Quantos são os possíveis resultados da eleição.

16 Introdução Denominam-se combinações de n elementos distintos tomados k a k aos conjuntos formados de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nesses agrupamentos, a ordem do agrupamento não importa.

17 Introdução Denominam-se combinações de n elementos distintos tomados k a k aos conjuntos formados de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nesses agrupamentos, a ordem do agrupamento não importa. Exemplo Formar as combinações dos algarismos 1, 3 e 5 tomados 2 a 2.

18 Introdução Denominam-se combinações de n elementos distintos tomados k a k aos conjuntos formados de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nesses agrupamentos, a ordem do agrupamento não importa. Exemplo Formar as combinações dos algarismos 1, 3 e 5 tomados 2 a 2. (1, 3); (1, 5); (3, 5)

19 Temos que o número de combinações é igual ao número de arranjos dividido por k!, assim: C n,k = n! k!(n k)!

20 Temos que o número de combinações é igual ao número de arranjos dividido por k!, assim: C n,k = n! k!(n k)! Exercício 1) Quantas são as combinações de 6 elementos tomados 2 a 2? 2) Numa festa compareceram 36 pessoas. Se cada uma delas cumprimentou todas as outras ao chegar, quantos cumprimentos foram realizados?

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