Aula 11 mtm B TRIGONOMETRIA

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1 Aula 11 mtm B TRIGONOMETRIA

2 Definição Circunferência de raio unitário, sobre a qual marcamos um ponto de origem e adotamos um sentido positivo de percurso (antihorário). Os eixos x e y dividem o círculo trigonométrico em quatro partes iguais chamadas de quadrantes.

3 Definição Raio: r = 1 s (c, s) + s x c c x

4 Definição cos 90 o sen 90 o cos 180 o (, ) 0 1 cos 360 o ( -1, 0 ) 90 o ( 1, 0 ) sen 180 o sen 360 o (, ) 0-1 cos 270 o sen 270 o

5 Ângulo Formado pelos Ponteiros do Relógio 360º/12 = 30º Regra de três Ponteiro dos minutos 30º xº y α= ou 60. h min 2 Ponteiro dos horas 30º h xº y zh

6 Ângulo Formado pelos Ponteiros do Relógio Exemplo 1: Calcule o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio que marca 6:18. Resolução: α= 60. h min α= α= α= α= 81

7 Ângulo Formado pelos Ponteiros do Relógio Exemplo 2: (ITA) Calcule o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio que marca 13:13. Resolução: α= α= 60. h min 2 Nas horas, colocar 13 ou 1? R: Indiferente, um fornece o menor ângulo e o outro o maior α= = = - 41,5º E quando o valor der negativo? R: Considere-o positivo, 41,5º.

8 Ângulo Formado pelos Ponteiros do Relógio Exemplo 2: (ITA) Calcule o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio que marca 13:13. Resolução: α= 41,5º E se não tiver a resposta 41,5º? R: Transforme 0,5º em minutos. 1º = 60 0,5º = x x = 30 α= 41º 30

9 Ângulo Formado pelos Ponteiros do Relógio Exemplo 3: Um relógio analógico que funcionava normalmente, caiu no chão quando marcava 14:00 h. Após a queda o ponteiro o ponteiro dos minutos travou, e o das horas percorreu 42º. Que horas o relógio deveria estar marcando se não tivesse caído? E se o das horas tivesse travado e o dos minutos percorresse 42º, que horas seria? Resolução parte 1: Resolução parte 2: 30º º ---- x x = 84 x = 1h 24 15h 24 30º º ---- x x = 7 14h 7

10 Medida de Ângulos e Arcos π π π π

11 Nomenclatura de Sistemas Angulares Sistema Sexagesimal - Graus Sistema Centesimal - Grados Sistema Circular - Radianos Submúltiplos do Grau 1º = 60 1 = 60

12 Conversões 360º gr πrad Valor Aproximado de 1rad 180º gr ---- πrad 180º ---- πrad x rad πx = 180º x 60º Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( F ) (UFSC 2001) 2 1º Q. ( F ) (UFSC 2012) sen 10 > 0.

13 Comprimento de um Arco l = α. R radianos

14 Comprimento de um Arco Exemplo 1: (UFSC) Calcule (apresentando os cálculos) a distância, em quilômetros, entre A e B, considerando a Terra uma esfera de raio 6400 km e π igual a 3, tendo em vista a posição latitudinal dos pontos A e B. Resolução: 90º B l = α. R l = π/ l = 3/ l = 9600km A

15 Arcos Côngruos a n = a 1 + (n - 1)r an = a1 = arco 1ª determinação positiva an = a1 = arco 1ª determinação negativa r = 360º r = - 360º n - 1 = nº de voltas n - 1 = nº de voltas

16 Menor Determinação de um Arco Resto da divisão do arco, por uma volta do ciclo Exemplo 1: Encontre as determinações abaixo para o ângulo 1300º. a) 1ª determinação positiva. b) 5ª determinação positiva. c) 5ª determinação negativa. Resolução a: 1300º 360º -1080º 3 220º 220º é a 1ª determinação positiva de 1300º.

17 Menor Determinação de um Arco Resto da divisão do arco, por uma volta do ciclo Exemplo 1: Encontre as determinações abaixo para o ângulo 1300º. a) 1ª determinação positiva. b) 5ª determinação positiva. c) 5ª determinação negativa. Resolução b: 220º é a 1ª determinação positiva de 1300º. a n = a 1 + (n - 1)r a 5 = 220º º a 5 = 220º º a 5 = 1660º

18 Menor Determinação de um Arco Resto da divisão do arco, por uma volta do ciclo Exemplo 1: Encontre as determinações abaixo para o ângulo 1300º. a) 1ª determinação positiva. b) 5ª determinação positiva. c) 5ª determinação negativa. Resolução c: -140º é a 1ª determinação negativa de 1300º. a n = a 1 + (n - 1)r a 5 = - 140º º a 5 = - 140º º a 5 = º

19 Menor Determinação de um Arco Resto da divisão do arco, por uma volta do ciclo Exemplo 2: Encontre a 1ª determinação positiva do ângulo 26π/3. Resolução: _ 26π 6π π 4 3 2π x 2π 2π/3 é a 1ª determinação positiva de 26π/3. 3

20 Menor Determinação de um Arco Resto da divisão do arco, por uma volta do ciclo Exemplo 3: Encontre as determinações abaixo para o ângulo 47π/5. a) 1ª determinação positiva. b) 5ª determinação positiva. c) 5ª determinação negativa. Resolução a: _ 47π 10π π 5 4 7π 5 x 2π 7π/5 é a 1ª determinação positiva 47π/5.

21 Menor Determinação de um Arco Resto da divisão do arco, por uma volta do ciclo Exemplo 3: Encontre as determinações abaixo para o ângulo 47π/5. a) 1ª determinação positiva. b) 3ª determinação positiva. c) 3ª determinação negativa. Resolução b: 7π/5 é a 1ª determinação positiva 47π/5. a n = a 1 + (n - 1)r a 5 = 7π/ π a 5 = 7π/5 + 4π a 5 = 27π/5

22 Menor Determinação de um Arco Resto da divisão do arco, por uma volta do ciclo Exemplo 3: Encontre as determinações abaixo para o ângulo 47π/5. a) 1ª determinação positiva. b) 3ª determinação positiva. c) 3ª determinação negativa. Resolução c: - 3π/5 é a 1ª determinação negativa de 47π/5. a n = a 1 + (n - 1)r a 5 = - 3π/ π a 5 = - 3π/5-4π a 5 = - 23π/5

23 Expressão Geral dos Arcos Côngruos E = α + 360º. k E = α = k = arco menor determinação nº de voltas, onde k Z

24 Problemas 2m - 1 Exemplo 1: Se sen x =, encontre quantos valores inteiros 3 m pode assumir, para que sen x exista. Resolução: - 1 < sen x < 1 2m-1-1 < < < 2m-1 < 3-2 < 2m < 4-1 < m < 2 m pode assumir 2 valores inteiros, 0 ou 1.

25 Problemas 2m - 1 Exemplo 2: Se sen x =, encontre quantos valores inteiros 3 m pode assumir com x 2º Q. Resolução: 0 < sen x < 1 2m-1 0 < < < 2m-1 < 3 1 < 2m < 4 1 < m < 2 2 m pode assumir 1 valor inteiro, m = 1.

26 Seno e Cosseno no Ciclo Trigonométrico seno cosseno

27 Sinais seno cosseno tangente

28 Aula 11 mtm B FIM