EBS DA GRACIOSA - ENSINO SECUNDÁRIO 11.º ANO

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1 EBS DA GRACIOSA - ENSINO SECUNDÁRIO.º ANO M A T E M Á T I C A : RES O L U Ç Ã O D A F I C H A D E AV A L I A Ç Ã O P R O F E S S O R C A R L O S MI G U E L SA N T O S GRUPO I. Pelo facto de o triângulo ser retângulo no vértice A, tem-se, pela definição de cosseno de um ângulo agudo. cos α AB AB cos α Analogamente, pela definição de seno de um ângulo agudo sen α AC AC sen α Assim sendo, ocorre que a área do triângulo é dada por A AB AC cos α sen α Logo, a opção correta é a opção (A). 4sen α cos α sen α cos α. Como o quarto de círculo tem raio, tem-se que a sua área é dada por A C π 4 π 4 Por outro lado, em relação ao triângulo retângulo representado, verifica-se que a sua base tem unidade de comprimento e que a sua altura tem tg α unidades de comprimento. Isto, pelo facto de o ponto A se situar sobre o eixo das tangentes, o que implica que as suas coordenadas sejam dadas por (; tg α). Assim sendo, a área do triângulo é dada por A T tg α tg α Como a área sombreada resulta da soma das duas áreas previamente calculadas, tem-se: A π tg α + 4 Logo, a opção correta é a opção (A). 3. Uma vez que uma hora corresponde a uma rotação do ponteiro dos minutos de π radianos, tem-se π 60 3π x x 3π 60 x 90 π Ou seja, à rotação de 3π radianos correspondem 90 minutos. Tal significa que passaram noventa minutos, uma hora e trinta minutos, sobre as 0 h e 45 min. Pelo que 0h45 + h30 h5 Logo, a opção correta é a opção (C). 4. Seja x ]π; 3π [. Tem-se sen x < 0, < 0 e tg x > 0. Então sen x + < 0, < 0, tg x sen x > 0 e sen x tg x < 0. tg x Portanto, só a expressão tg x sen x designa um número real positivo, para qualquer x pertencente ao intervalo ]π; 3π [. R E S O L U Ç Ã O D A F I C H A D E A V A L I A Ç Ã O : D I S C I P L I N A M A T E M Á T I C A P Á G I N A D E 5

2 Logo, a opção correta é a opção (C). 5. Opção (B) GRUPO II. Reduzam-se, em primeiro lugar, ambos os comprimentos disponíveis a quilómetros. Tem-se: 000 m km e 300 m,3 km Atendendo à Lei dos Cossenos, tem-se x +,3,3 cos 45 De onde se tem x +,69,6 cos 45,69,3 Ou seja x,69,3 km 93 m Assim sendo, o lado tem, aproximadamente, 93 metros de comprimento.... Sabe-se que o contradomínio da função seno é dado pelo intervalo [ ; ]. Assim sendo, ocorre sen x De onde se tem sen (3x + π 6 ) 3 3sen (3x + π 6 ) sen (3x + π 6 ) 6 Logo, o contradomínio da função f é dado pelo intervalo [0; 6]... Tem-se que: f(x) 0 3 3sen (3x + π 6 ) 0 3sen (3x + π 6 ) 3 sen (3x + π 6 ) 3x + π 6 π [ + kπ, k Z é o máximo da função seno que é atingido em ângulos do círculo trigonométrico cujo lado extremidade coincida com o semieixo positivo Oy] 3x π + kπ, k Z 3 R E S O L U Ç Ã O D A F I C H A D E A V A L I A Ç Ã O : D I S C I P L I N A M A T E M Á T I C A P Á G I N A D E 5

3 x π 9 + kπ 3, k Z Logo, uma expressão geral dos zeros de f é: x π 9 + kπ 3, k Z.3. Para que π 3 seja período da função, deve-se verificar f (x + π 3 ) f(x). Tem-se f (x + π 3 ) 3 3sen (3 (x + π 3 ) + π 6 ) 3 3sen (3x + 3 π 3 + π 6 ) 3 3sen (3x + π + π 6 ) 3 3sen (3x + π 6 ) [pois sen(π + α) sen α] f(x) De onde se confirma que π 3 é período da função f..4. Tem-se que e f ( π 8 ) 3 3sen (3 ( π 8 ) + π 6 ) 3 3sen ( π 6 + π 6 ) 3 3sen f ( π 8 ) 3 3sen (3 ( π 8 ) + π 6 ) 3 3sen (π 6 + π 6 ) 3 3sen (π 3 ) Logo, f ( π 8 ) + f ( π 8 ) Tomando por unidade o quilómetro, pretende-se mostrar que o comprimento total da canalização é dado por: g(x) 4 + Pela definição de cosseno de um angulo agudo, tem-se AM 4 AP AP AP 4 Por outro lado, pela definição de tangente de um ângulo agudo, tem-se tg x PM PM tg x AM 4 PM 4tg x Observa-se que o comprimento da canalização é dado por R E S O L U Ç Ã O D A F I C H A D E A V A L I A Ç Ã O : D I S C I P L I N A M A T E M Á T I C A P Á G I N A 3 D E 5

4 Tem-se FP + AP + PB FP + AP + PB FP + AP + AP [pois PB AP ] FP + AP 4 PM + AP [pois FP 4 PM ] 4 4tg x + ( 4 ) [pelos cálculos acima efetuados] 4 4tg x [pois tg x sen x ] Ou seja, comprimento total da canalização é dado por: Tem-se que g(0) sen(0) cos(0) Ou seja, quando o ângulo x é de zero graus, o comprimento da canalização é de km. Mais, quando tal acontece a canalização fica em forma de. 4. Tem-se que tg ( 35 ) + sen( 50 ) sen( 70 ) tg(40 ) tg (35 ) sen(50 ) sen(70 ) tg( ) ( tg(80 35 )) sen(80 50 ) sen( ) tg(60 ) tg(45 ) sen(30 ) sen(90 ) tg(60 ) ( 3)( + 3) R E S O L U Ç Ã O D A F I C H A D E A V A L I A Ç Ã O : D I S C I P L I N A M A T E M Á T I C A P Á G I N A 4 D E 5

5 Uma vez que o ângulo referido corresponde a um sector de doze em que o círculo se encontra dividido, temse que a sua amplitude é dada por: π π 6 Nas condições pedidas, dá-se a passagem, no sentido negativo, por sectores. Logo, a amplitude pretendida é π 6 rad. 5.. Observando que cada sector corresponde a um ângulo de π radianos, contata-se que o lado extremidade do 6 ângulo generalizado referido é O F. Em relação à sua amplitude, tem-se que esta será igual a: 7π 6 4 π 7π 6 8π 7π 6 48π 6 55π 6 rad R E S O L U Ç Ã O D A F I C H A D E A V A L I A Ç Ã O : D I S C I P L I N A M A T E M Á T I C A P Á G I N A 5 D E 5