UFV - Universidade Federal de Viçosa CCE - Departamento de Matemática

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1 UFV - Uiversidade Federal de Viçosa CCE - Departameto de Matemática a Lista de exercícios de MAT 47 - Cálculo II 6-II. Determie os ites se existirem: + x x se x b x x c d x + x arcta x x x a x e, < a x x f x x cot x. Calcule as seguites itegrais: x g x 5 x 5 h x x + x x + x 9 i x x 5x + 6 x x 7 se x x j x ta x x k x l x e 5x l x x m x x o p x x l x q x x e /x r x cot x cot s + a x x, a + x ax, a π x sec x ta x x π b c d e x dx, x e x dx + x dx e t se t dt e f g h x dx x 5 dx x e x dx 4 + x dx. Respoda se é covergete ou divergete as seguites itegrais impróprias, e justifique. b c d e f 4 x 5 + x + dx x x + dx cos x dx x x + x + dx arcta x x + dx dx x g *h *i *j *k a xa x dx e st dt e st t dt e st seat dt e st cosat dt * Veremos, mais o fial do curso, que os ites h, i, j, j são as trasformadas de Laplace das fuções, t, siat, cosat, respectivamete. 4. Calcule, se existir, a aréa das regiões abaixo, itas pelas curvas y, e pelos itervalos idicados:

2 y = x, de x < b y =, de x < x c y = x, de < x d y = sec x, de x < π x e y =, de < x 4 x f y =, de x 7 x + / g y = h y = i y = j y = x, de x < 4 x x 5x + 4, de x < 4 x x, de x 4 cos x, de x < π k y = x 4/, de x 5. Estude a covergêcia da itegral imprópria t 6. Determie uma fução f tal que t + t dx, ode p é um úmero real qualquer. xp fxdx exista e fxdx seja divergete. 7. Um circuito elétrico tem uma resistêcia de R ohms, uma idutâcia de L herys e uma força eletromotriz de E volts, ode R, L e E são positivos. Se i ampères for a correte passado o circuito t segudos depois que foi ligado, etão i = E R e Rt/L. Se t, E e L são costates, ache i R + 8. Numa progressão geométrica, se a for o primeiro termo, r for a razão comum a dois termos sucessivos e S for a soma dos primeiros termos, etão se r, S = ar. Ache o S. O resultado será cosistete r r com a soma dos primeiros termos se r =? 9. Dê o termo de ordem das seqüêcias abaixo e verifique quais seqüêcias covergem. As covergetes, dê o ite. Escreva também o termo de ordem +., 4, 7,,... d,,, 4, 5, b c +, + 4, + 78,,, 5, 5 7, e f,, , 5, 6, 7,,, 4 4, 5 4 5,. Verifique se as sequêcias abaixo covergem ou divergem. Se covergir, ecotre seu ite: a = se 5 + ; b a = ; 4 c a = + ; d a = + ;. Cosidere a sequêcia a = x p dx. e a = + 4 ; f a = π se ; + g a = l ; h a = + ; i a = cos a, para a > ; j a = a, para a R.! Mostre que a ão é itada se p. b Mostre que a se p >. p

3 !. Use o teorema da covergêcia moótoa para mostrar que a sequêcia determie o ite desta sequêcia.. Cosidere a sequêcia de termo geral dado por a = Exprima a + em fução de a ; b Mostre que a é estritamete decrescete; c Mostre que a é covergete. 4. Cosidere a sequêcia dada por é covergete. Em seguida, 5 7. Faça o que se pede: 4 6 a = e a + = a + 4,. Determie os cico primeiros termos desta sequêcia e o o termo. b A sequêcia é moótoa? Justifique! c A sequêcia é covergete? Justifique! 5. Cosidere a série = para resolver os ites abaixo. + Ecotre os três primeiros termos da sequêcia das somas parciais. b Determie os úmeros reais A, B que os permite escrever + = + A + + B. c Ache uma fórmula para a sequêcia das somas parciais {S }. d Calcule S. e A série coverge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma? 6. Faça o que se pede: { } + A sequêcia l b A série = + l 7. Justifique as seguites igualdades: é covergete ou divergete. Caso seja covergete, determie seu ite. é absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete? = + = b + = + + = c + = = 4 8. Escreva as frações decimais, 444 e, 4444 como: uma série ifiita; b ecotre a soma da série e a escreva como o quociete de dois iteiros. 9. Determie se a série dada coverge ou diverge: b = = + se ;!;

4 4 c = +.. Assiale V ou F, justificado suas respostas: Se Se = = a coverge e a >, a e = N, etão b são divergetes, etão = = a coverge. a b é divergete. Seja S a sequêcia de somas parciais de a. Se S é covergete, etão a =. + Supoha que a >, N e que a =, etão a diverge. + Sejam px e qx poliômios com coeficietes iteiros em x, com q. Se o grau de p for meor que de q, etão. Cosidere a série = Determie se a série = p q coverge. a, sedo que: = = + arcta a = e a + = a. a coverge ou diverge.. Mostre que, para qualquer valor de x, temos: se x se x + 4 se x 4 se4 x + + se+ x + = se x + se x. se. Para k >, determie se a série k coverge ou diverge. Justifique! = 4. Seja a uma sequêcia ifiita tal que a = L. Mostre que a a + = a L. + = 5. Se = a = S, mostre que = a + a + = S a. 6. Verifique se são covergetes: = d = cos + 6 g = l b = + e = + h = se c = f = 5 + π i = + 5

5 5 j k = = l m = = + + o = = se π 7. Se f L, etão prove que 8. Prove que: = [f f + ] = f L. k= k + 5 k 5 k = 4 b = 5 8 k + k c = k + k d k= k= k k = Sugestão: k = k k+ e f g k k = k k k + k = = = = + + = 4 + = 9. Classifique as afirmações abaixo como verdadeira V ou falsa F dado uma demostração ou um cotraexemplo. Toda sequêcia itada é covergete; b Toda sequêcia itada é moótoa; c Toda sequêcia moótoa é itada; d Toda sequêcia divergete é ão moótoa; e Toda seqüêcia covergete é moótoa; f Toda sequêcia divergete é ão itada; g Se a e b são sequêcias tais que a =, etão a a b é covergete; + h A sequêcia a defiida por a = e a + = a + é covergete; i Se a b,, tal que b é covergete, etão a é covergete; j Se a é covergete, etão a é covergete; k Se l Se m Se Se o Se p Se q Se = = = = = = = a coverge e a,, etão a e = b divergem, etão a coverge, etão a e = a diverge, etão a diverge, etão = b divergem, etão = = a coverge; = a = L ; + = a diverege; a diverge e a,, etão a coverge; a + b diverge; a b coverge; = a coverge;

6 6 r Se a é uma sequêcia costate, etão a diverge; a s Se = e b diverge, etão a diverge. + b = = a t Se = + e b coverge, etão a coverge. + b = =. Seja a uma sequêcia de úmeros reais e seja s a sequêcia defiida por s = a +a + +a. Cosidere as afirmativas abaixo: I - se s é covergete, etão II - se III - = a = ; + a =, etão s é covergete; + a é covergete se, e somete se, As afirmativas verdadeiras ésão: =p = a é covergete para todo p N. apeas I. b apeas I e III. c I, II e III. d apeas III. e apeas II e III.