MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 44 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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Domingos Nunes Amarante
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1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 44 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

2 A b h c C m D a n B

3 A A A b c b h h c C a B C m D D n B

5 h

6 Como pode cair no enem (ENEM) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada: a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB,oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.

7 Fixação 1) (ENEM) Uma empresa de iluminação necessita esticar um cabo de energia provisório do topo de um edifício, cujo formato é um retângulo, a um determinado ponto do solo distante a 6 metros, como ilustra a figura a seguir. O comprimento desse cabo de energia, em metros, será de: 8m Cabo de energia a) 28 d) 10 b) 14 e) 8 c) 12 6m

8 Fixação 2) (ENEM) 30cm corrimão 90cm 24cm 24cm 30cm 24cm 24cm 24cm 90cm Na figura anterior, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m d) 2,1 m e) 2,2 m

9 Fixação 3) (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: Às folhas tantas de um livro de Matemática um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e vi-a do ápice à base: uma figura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo regular, seios esferoides. Fez da sua vida paralela à dela, até que se encontraram no infinito. Quem és tu? indagou ele com ânsia radical. Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa. (FERNANDES, Millôr. Trinta anos de mim mesmo.) A incógnita se enganou ao dizer quem era. Para aten- der ao teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: a) Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa. b) Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa c) Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa. d) Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.

10 Fixação F 4) (UFF) Duas réguas de madeira, MN e PQ, com 8 cm cada, estão ligadas em suas extremidades 5 por dois fios, formando o retângulo MNQP (fig. 1). Mantendo-se fixa a régua MN e girando-se u 180 a régua PQ em torno do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-se d dois triângulos congruentes MNO e QPO (fig. 2). n M Fig 1 Fig 2 N M O N c f 10 cm Q 8 cm P P 8 cm Q A distância, em cm, entre as duas réguas, nesta nova posição é: a) 10 b) 5 3 c) 5 2 d) 6 e) 5

11 ixação ) (UFF) Um gavião pousou em um tronco de árvore vertical de 5 m de altura, em cuja base há m buraco no qual se abriga um camaleão. Vendo o camaleão no chão a uma distância de 6 m o tronco, o gavião avançou sobre ele, alcançando-o antes que ele conseguisse se esconder o buraco na base do tronco. Sabendo que os dois se deslocam em linha reta, com a mesma velocidade, determine, em entímetros, a que distância da base o gavião capturou a sua presa. Desconsidere a parte racionária do resultado, caso exista.

12 Fixação 6) (UFRRJ) Um navio dista 9 milhas de uma costa marítima retilínea. Um povoado costeiro localiza-se a 15 milhas do navio. Nessa costa, deve ser construída uma estação de rádio que seja equidistante do povoado e do navio. Calcule a distância do povoado à estação de rádio e multiplique o resultado por 8.

13 Proposto 1) (PUC) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é: 4 A B F 3 E a) 0,8 b) 1,4 c) 2,6 d) 3,2 e) 3,8 D C

14 Proposto 2) (UFF) Uma folha de papel em forma de retângulo ABCD é dobrada no segmento EF, de modo que o vértice B coincida com o vertice D, como na figura. Sabendo-se que as dimensões do retângulo são AB = 8 e BC = 4, determine a medida do segmento EF. C C F D F D = B 4 cm B 8 cm E A E A

15 Proposto d) 3) (UERJ) Dois atletas partem simultaneamente do ponto A, com movimento uniforme, e chegam ao mesmo tempo ao ponto C. Um deles segue a trajetória AC, comvelocidade v 1 km/h, e o outro segue a trajetória ABC, com velocidade v 2 km/h, conforme ilustra a figura abaixo. A B Sendo a e c, respectivamente, as medidas, em quilômetros, dos catetos BC e BA, podemos afirmar que corresponde a: a) C b) c)

16 Proposto 4) (UFF) As manifestações da Geometria na natureza vêm intrigando muitas pessoas ao longo do tempo. Nas proporções do corpo humano e na forma da concha do Nautilus, por exemplo, observase a chamada razão áurea, que pode ser obtida por meio da seguinte construção geométrica: Q R U Q M R U No quadrado PQRS, representado na figura acima, considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento de PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses lados é a razão áurea. O valor desta razão é: a) b) c) - 2 d) e) 5 + 3

17 Proposto 5) (UFRJ) Um observador (O), do ponto mais alto de um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d. Considere h e R a altura do farol e o raio da Terra, respectivamente. L R R d h O a) Como R é muito maior que h, pode-se admitir que 2R + h = 2R. Assim, prove, usando a aproximação indicada, que d = 2Rh b) O raio da Terra tem, aproximadamente, 6300 km. Usan-do a fórmula do item a, calcule a distância (d) do horizonte, quando o observador está a uma altura h = 35m.

18 Proposto 6) (PUC) Seja ABCD um retângulo e P um ponto no interior desse retângulo, tal que AP = 3 cm, BP = 4 cm e CP = 5 cm. Calcule DP.

19 Proposto 7) (UERJ) X A O P Q B No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro o e raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q. Considerando 2 = 1,4, quando um dos atletas tiver percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância entre eles será igual a: a) 0,4 R b) 0,6 R c) 0,8 R d) 1,0 R

20 Proposto 8) (UFF) Considere a figura a seguir: M I R N S Q U P Os triângulos NST e QRU são triângulos isósceles e congruentes. Se a medida do segmento NT é igual a 2 cm e se a medida do segmento RS é igual a 1 cm, determine a área do retângulo MNPQ.

21 Proposto 9) (UFRJ) Uma prateleira de um metro de comprimento e 4,4 cm de espessura deve ser encaixada entre duas paredes planas e paralelas. Por razões operacionais, a prateleira deve ser colocada enviesada (inclinada), para depois ser girada até a posição final, como indica a figura: Se a distância entre as paredes é de um metro e um milímetro, é possível encaixar a prateleira?

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