CE2 ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II LISTA DE EXERCÍCIOS PREPARATÓRIA PARA PROVA A1

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1 CE2 ESTABIIDADE DAS CONSTRUÇÕES II ISTA DE EXERCÍCIOS PREPARATÓRIA PARA PROVA A1 1) Qual material atende ao Critério de Deslocamentos Excessivos e é o mais econômico para execução da viga abaixo? Determine a deflexão real da solução escolhida. Deflexão máxima permitida: /3 Desconsiderar peso próprio para cálculo da deflexão. Figura 1 Esquema estrutural Material E [GPa] G [GPa] γ [kgf/m³] R$/kg* Aço estrutural ,5 Alumínio ,5 Chumbo 13,5 5, ,5 atão , Tabela 1 Propriedades mecânicas e custo dos materiais *Dados com fins acadêmicos Tabela 2 Formulário

2 Solução: A partir do formulário, pode-se observar que a deflexão máxima ocorre na metade da viga (/2) para os dois tipos de carregamento, portanto, a partir do método da superposição, a fórmulas de deflexão máxima dos dois carregamentos podem ser somadas, desta forma a deflexão máxima é: δ máx = w4 384EI + W3 192EI (1) A inércia da viga é: I = bh3 12 =,4,13 12 = 3, m 4 A deflexão máxima permitida da viga é: δ máx = 3 = 4, 3 = 1, m Substituindo a inércia e a deflexão máxima na equação (1), isolando o módulo de elasticidade, temos: E = w δ máx I + W δ máx I E = 2, 4, (1, ) (3, ) + 5, 4, (1, ) (3, ) E = 675 kn/m 2 = 67,5 GPa Portanto o módulo de elasticidade mínimo para atender ao Critério de Deslocamentos Excessivos é 67,5 GPa. Desta forma o chumbo não atende ao Critério de Deslocamentos Excessivos. Os demais materiais atendem ao Critério de Deslocamentos Excessivos e devem ser analisados pelo critério econômico. A barra possui o volume de: Vol = b h =,4,1 4, =,16 m 3 Cada barra possui seu respectivo peso calculado por: Peso da barra = γ Vol = γ,16

3 O custo da barra é calculado por: Custo da barra = Peso da barra Custo por quilo Material γ [kgf/m³] Peso [kgf] R$/kg Custo R$ Aço estrutural ,5 439,6 Alumínio ,5 41,4 atão , 48, Tabela 3 Custo por barra A barra mais econômica é a de latão e sua deflexão é calculada por: δ real = w4 384EI + W3 192EI δ real = 2, 4, ( ) (3, ) + 5, 4, ( ) (3, ) δ = 4, , m δ real = 9, m = 9,278 mm δ máx = 13,333 mm Resposta: atão; deflexão = 9,278 mm 2) O custo da execução do engaste nos dois apoios da barra do exercício anterior é igual a R$ 1,. Há vantagem econômica mudando as condições de contorno simplesmente apoiando a barra sem custo de fixação? Justifique sucintamente. Deflexão máxima permitida: /3 Desconsiderar peso próprio para cálculo da deflexão. Figura 2 Esquema estrutural com mudança das condições de contorno

4 Figura 3 Formulário de flecha máxima no meio do vão Solução: A partir do formulário para vigas bi-apoiadas, pode-se observar que a deflexão máxima ocorre na metade da viga (/2) para os dois tipos de carregamento, portanto, a partir do método da superposição, a fórmulas de deflexão máxima dos dois carregamentos podem ser somadas, desta forma a deflexão máxima é: δ máx = 5w4 384EI + W3 48EI (2) A inércia da viga é: I = bh3 12 =,4,13 12 = 3, m 4 A deflexão máxima permitida da viga é: δ máx = 3 = 4, 3 = 1, m Substituindo a inércia e a deflexão máxima na equação (2), isolando o módulo de elasticidade, temos: E = E = 5w δ máx I + W 3 48 δ máx I 5 2, 4, (1, ) (3, ) + 5, 4, 3 48 (1, ) (3, ) E = 3 kn/m 2 = 3 GPa Portanto o módulo de elasticidade mínimo para atender ao Critério de Deslocamentos Excessivos é 3 GPa.

5 Nenhum material disponível possui módulo de elasticidade suficiente para gerar uma deflexão inferior a máxima imposta, isso pode ser observado ao calcular a deflexão máxima da viga com o material com melhor módulo de elasticidade: δ real = 5 2, 4, (2 1 6 ) (3, ) + 5, 4, 3 48 (2 1 6 ) (3, ) δ real =,2 m = 2 mm δ máx = 13,333 mm Portanto a barra não pode ser bi-apoiada, assim não há vantagem econômica pois o Critério de Deslocamentos Excessivos não foi atendido e a solução bi-engastada deve ser mantida. 3) Classifique o grau de estaticidade das estrutura abaixo e justifique. Resposta: A estrutura é plana, portanto possui três equações universais de equilíbrio. A estrutura possui no apoio A restrição para translação horizontal e vertical, e no apoio C possui restrição vertical, desta forma possui três restrições de movimento, ou seja, três reações de apoio. Essa condição a princípio sugeriria que a estrutura é isostática, pois possui o número de equações fundamentais da estática igual ao número de reações a determinar. Porém a estrutura não tem rotação impedida, o que infringe uma das equações universais de equilíbrio, portanto a estrutura é hipostática. 4) Determine a energia de deformação (energia interna) da estrutura abaixo através da equação de energia de deformação. Rigidez flexional = 42 knm²

6 Formulário: equação geral da energia de deformação: Solução: A estrutura não possui cargas axiais nem torcionais, portanto as duas últimas parcelas da equação geral da energia de deformação são iguais a zero. O efeito de cisalhamento para vigas esbeltas pode ser desprezado, portanto a energia de deformação pode ser determinada por: U = M2 dx 2EI As equações de momento fletor por trecho são: Trecho A-B (para nó A; x = ) Trecho B-A (para nó B; x = ) M(x) = 45x M(x) = 45(x 3) Trecho B-C (para nó B; x = ) Trecho C-B (para nó C; x = ) M(x) = 6(x 1,5)² M(x) = 6x² A energia de deformação é obtida pelo comprimento total da estrutura, para isso basta somar as integrais do trecho AB (ou BA) com o trecho BC (ou CB), pois a integral do trecho AB e BA são iguais já que representam a mesma área (o mesmo é válido para o trecho BC), portanto podemos calcular a energia de deformação da seguinte forma: Usando as equações do trechos AB e CB: U = M2 3 dx = ( 45x)2 dx + 2EI ,5 ( 6x²)2 dx = 2,821 knm 2 42 Ou, usando as equações do trechos BA e BC: U = M2 dx = 2EI 3 (45(x 3)) dx + 1,5 (6(x 1,5)²) dx = 2,821 knm

7 5) A treliça de aço A-36 (E = 2 GPa) deve suportar uma carga vertical de 2 kn e uma carga horizontal de 15 kn que podem ser locadas nos nós B e D. As duas cargas podem ser locadas no mesmo nó simultaneamente ou em nós diferentes. Qual é a locação das cargas que irá gerar o menor deslocamento vertical da treliça? (Calcular com Princípio dos Trabalhos Virtuais). Formulário: Deslocamento obtido com trabalho virtual: Solução: Não há esforços fletores, cisalhantes ou torcionais na treliça, portanto a equação do deslocamento obtido com trabalho virtual é: Δ = nn dx EA O nó A não possui liberdade para movimentação vertical desta forma o deslocamento vertical no nó A é nulo. Os demais nós possuem liberdade vertical então podem se deslocar e devem ser analisados. Os diagramas de esforços virtuais dos nós B, C e D são: Carga virtual no nó B Carga virtual no nó C Carga virtual no nó D

8 Os diagramas da carga P1 são: Carga P1 no nó B Carga P1 no nó D Os diagramas das carga P2 são: Carga P2 no nó B Carga P2 no nó D Pode-se observar que a carga virtual no nó C apresenta esforço apenas na barra AC, e esta barra não possui esforço em qualquer combinação de aplicação das cargas P1 e P2, portanto o diagrama de esforço virtual do nó C pode ser desconsiderado (não há deslocamento vertical do no C). Pode-se concluir também que a carga P1 aplicada no nó B gera esforço adicional de compressão na barra BD quando comparada à sua aplicação no nó D, portanto a aplicação mais eficiente da carga P1 é no nó D. Com a decisão da aplicação da carga P1 em D podemos concluir que sua contribuição para deslocamento vertical nos nós B e D é equivalente, pois o valor da barra BD no diagrama axial da carga P1 no nó D é nula, e esta era a única barra que diferenciava os diagramas virtuais do nós B e D, assim o produto entre o diagrama da carga P1 no nó D e o diagrama virtual da carga no nó B ou D é:

9 Δ = nn ( 1, 2,5) + (1, ,2,77) = EA (2 1 6 =,91 m ) (,3,7) A escolha da aplicação da P2 no nó B não gera qualquer efeito para deslocamento vertical da treliça, já que os três diagramas virtuais possuem a barra AB com valor nulo e esta barra é a única com valor não nulo de esforço axial no diagrama da carga P2 no ponto B. A aplicação da carga P2 em D reduz a compressão de -2 para -5 da barra CD e assim pode reduzir o deslocamento vertical nos nós B e D, portanto é a melhor opção já que é a única combinação que reduz os deslocamentos. Desta forma o deslocamento vertical nos nós B e D são com ambas as cargas aplicadas no nó D é: Δ = nn EA = ( 1, 5,5) + (1, ,2,77) (2 1 6 ) (,3,7) =,73 m Resposta: As cargas P1 e P2 devem ser aplicadas no nó D e geram deslocamento vertical de,73 mm no nós B e D. Pode ser observado também que esta opção reduz o custo da treliça, já que as barras AB e BD não estão sendo solicitadas e poderiam ser descartadas. E ainda, esta condição também apresenta os menores deslocamentos horizontais da treliça, nulo em B e desprezível em D (se a carga P2 fosse igual a 2kN não haveria nenhum deslocamento horizontal nesta condição). 6) Para o pórtico abaixo determine: a) Deflexão horizontal, a deflexão vertical e a rotação no ponto B. b) O valor percentual que P2 deve majorado para o ponto B não ter deslocamento. Dados: Perfis A-36 W46x6, ambos posicionados para trabalhar no eixo de maior inércia conforme figura 4. Ix = cm4 (Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais). Figure 4 Esquema estrutural

10 Formulário: Deslocamento obtido com trabalho virtual: Solução: Tabela 4 Tabela Kurt Bayer A estrutura não possui cargas torcionais, portanto a parcela da equação do trabalho virtual devido à torção é nula. O efeito dos esforços de cisalhamento para vigas esbeltas podem ser desprezados, além disso o pilar possui altíssima rigidez axial (EA = 1524 kn), o que gera um deslocamento desprezível devido aos esforços axiais (,46 m), portanto em geral, o deslocamento em pórticos (e semipórticos como é o caso) pode ser calculado apenas com o efeito flexional da estrutura: A rigidez flexional é igual a: Δ = mm dx EI EI = 2 kn/m² m 4 = 5134 knm² Para realizar a multiplicação do diagrama virtual interno e do diagrama interno da peça devemos calcular os diagramas de momento fletor: M(x) p/ P1 e P2 m(x) p/ δvb m(x) p/ δhb m(x) p/ θb

11 Deslocamento horizontal do nó B (com tabela Kurt-Bayer): EIδ hb = ( 1 3,5 (2 ( 7, 32,5) + ( 7, 5) + ( 3,5 32,5) ( 3,5 5))) + ( 1 3,5 ( 3,5) ( 5)) 2 EIδ hb = 74, ,25 δ hb = 146, =,2 m Deslocamento vertical do nó B (com tabela Kurt-Bayer): O diagrama virtual da carga vertical no nó B é nulo, portanto não há deslocamento (desprezível). Rotação no nó B (com tabela Kurt-Bayer): EIθ B = ( 1 3,5 ( 1,) ( 32,5 5)) + (3,5 ( 1,) ( 5)) 2 EIθ B = 144, θ B = 312, Resposta a) δ hb = 2 cm e θ B =,6 rad =,6 rad Para determinarmos o valor percentual que P2 deve majorado para o ponto B não ter deslocamento devemos calcular qual o valor da coordenada do momento fletor no ponto D quando a deflexão é nula. Já que o valor da carga P2 altera a coordenada no ponto D do diagrama de momento fletor, então: = ( 1 3,5 (2 ( 7, y) + ( 7, 5) + ( 3,5 y) ( 3,5 5))) + ( 1 3,5 ( 3,5) ( 5)) 2 y = + 7 Portanto, um diagrama de momento fletor que apresenta em D o valor de +7 knm, não irá gerar deslocamento B:

12 Figura 5 Diagrama com majoração da carga P2 A partir do ponto C até o ponto D houve um aumento de 12 knm no diagrama de momento, então para determinar a carga P2 que gera esse esforço basta dividirmos pelo braço de alavanca: P 2 = 12 knm 3,5 m = 34,286 kn Assim, quando é aplicada uma carga P2 de 34,286 kn, não teremos deslocamento horizontal em B, portanto com um aumento de 29,286 kn em relação a carga de 5, kn atual. Aumento percentual = P 2 P 2 P 2 = 29,286 5, = 586 % Resposta b) A carga deve ser majorada em 586 % do valor atual.