Torção em eixos de seção circular Análise de tensões e deformações na torção Exercícios. Momento torsor. 26 de setembro de 2016.

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1 26 de setembro de 2016

2 Este capítulo é dividido em duas partes: 1 Torção em barras de eixo reto e seção transversal circular (cheia) ou anular (coroa circular). D = 2R d = 2r D = 2R 2 Torção em tubos de paredes finas T T τ T

3 Torção em eixos de seção circular 26 de setembro de 2016

4 Torção em eixos de seção circular Barras sujeitas à torção pura: somente o efeito do momento torsor (torque), sendo os demais esforços simples nulos. Barras de eixo reto e seção transversal circular (cheia) ou anular (coroa circular). Barras com estas características são comumente denominadas de eixos D = 2R d = 2r D = 2R

5 Eixos sujeitos à momento torsor constante. T A B T = A T T B A + DMT Pequenas deformações: as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas. As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em relação a outra. B

6 z y z.. P x df x T= A (τ xyz τ xz y)da df z df y y df T= ρτ da A

7 Figura : Mecanismo de deformação de um eixo solicitado por momentos torsores.

8 γ a distorção angular do retângulo abcd, contido em uma superfície cilíndrica de raio ρ e comprimento dx. dθ o deslocamento angular (ângulo de torção) elementar da seção Sd em relação à seção Se.

9 Igualando as equações 1 e 2 tem-se: bb = ρdθ (1) bb = γdx (2) γ=ρ dθ dx (3)

10 Da Lei de Hooke tem-se: τ=gγ (4) lembrando que G é o módulo de elasticidade transversal. Substituindo o valor deγda equação 3 na equação 4 tem-se: τ=ρ dθ dx G constante

11 dθ dx G = constante=k τ=kρ Pode-se concluir então que τ é função somente de ρ, não é função de θ, portanto constante em pontos de mesmo ρ ( 0 ρ R ), para qualquerθ(0 θ 2π ). Desta forma, a variação deτcomρé linear

12 Figura : Variação da tensão cisalhante em função deρpara uma seção cheia. Figura extraída de Hibbeler (2008).

13 Cálculo da constante K τ=kρ T= ρτ da A Logo: T= ρτ da= ρkρ da=(k ρ 2 da )=K.I 0 A A } A{{ } Momento de inercia polar: I o e: K= T I o τ= T I o ρ

14 τ= T I o ρ Tensão cisalhante máxima se dá paraρ=r: τ max = T I o R Razão entre I o e R é chamada de módulo de resistência à torção (W o ). Então: τ max = T W o Seção circular I o = π 32 D4 Seção anular, D e o diâmetro externo, D i o diâmetro interno do eixo e n=d i /D e I o = π 32 (D4 e D4 i )= π 32 D4 e (1 n4 )

15 Ângulo de torção Torção em eixos de seção circular Ângulo de torção é a rotação relativa entre duas seções distantes de L unidades de comprimento. θ= L 0 L dθ= 0 γ ρ dx }{{} γ=ρ dθ dx = L 0 Lei de Hooke {}}{ τ G 1 ρ dx

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17 Substituindo o valor deτ= Tρ I 0, a equação pode ser reescrita como: θ = L 0 T ρ I }{{} o τ= Io Tρ 1 Gρ dx θ= T L G I o

18 Torque Aplicado ao eixo na Transmissão de Potência

19 Em um eixo de tranmissão de potência, o trabalho executado pelo momento torsor T, constante, é: dw= Tdφ onde φ é o deslocamento angular, em radianos. Como potência é trabalho por unidade de tempo tem-se: ou: P= dw dt = T dφ dt = Tω P=Tω

20 P=Tω (5) Para se aplicar a expressão 5, que relaciona a pôtencia aplicada a um eixo que gira com uma velocidade angularω ao torque T, deve-se observar as unidades, que devem estar no SI, ou seja: Potência (P): Watt (1W=1Nm/s). Velocidade angularω=2πf : rad/s. Freqüência f : Hertz=Hz Torque (T): Nm. Se a potência for expressa em cavalos-vapor (CV) ou horse-power (hp), então os fatores de conversão para W são, respectivamente: 1 CV=736 W e 1 hp=746 W

21 Calcular o momento torsor máximo admissível e o correspondente ângulo de torção em um eixo de comprimento de 2 m dadosτ adm = 80 MPa e G=85 GPa e seção: (a) Circular, D = 250 mm; Resposta: T = 245,4 knm e θ = 0,01506 rad. (b) Anular, com d= 150 mm e D=250 mm; Resposta: T= 213,63 knm eθ=0,01504 rad.

22 A barra circular maciça BC, de aço, é presa à haste rígida AB, e engastada ao suporte rígido em C, como mostra a Figura. Sabendo-se que G=75GPa, determinar o diâmetro da barra, de modo que, para P=450N, a deflexão do ponto A não ultrapasse 2mm e que a máxima tensão de cisalhamento não exceda o valor de 100MPa. Resposta: d= 40,5mm.

23 O eixo ABCD da figura possui 20 mm de diâmetro e o módulo tangente do material que o constitui é de 80 GPa. Este eixo é submetido aos torques indicados. Pede-se: (a) O diagrama de momento torsor; (b) As tensões máximas em cada trecho; (c) O ângulo de torção da polia C em relação ao apoio A; (d) O ângulo de torção da polia D em relação ao apoio A.

24 Um eixo é composto por cinco polias que estão submetidas aos torques indicados na Figura. Os trechos (1) e (4) têm 25 mm de diâmetro e os trechos (2) e (3) têm 50 mm diâmetro. Dado G=80 GPa, determinar: (a) A tensão máxima no eixo; (b) o ângulo de rotação entre as polias D e B; (c) o ângulo de rotação entre as polias E e A.

25 A haste da figura tem diâmetro de 12mm e peso de 80N/m. Determine a tensão máxima de cisalhamento devido à torção na seção A provocada pelo seu peso próprio. Resposta: 159, 15MPa.

26 Dimensionar o eixo de uma máquina, de 9 m de comprimento, que transmite 200 CV de potência, dados τ = 21 MPa e G = 85 GPa a uma velocidade angular de 120 rpm, e calcular o correspondente deslocamento angular, adotando: Seção circular cheia. Resposta: D = 142 mm, θ = 0, rad. Seção anular com d/d=0,5. Resposta: D=145 mm,θ=0,03048 rad.

27 O eixo sólido ABC da Figura de 50 mm de diâmetro é acionado em A por um motor que transmite 50 kw ao eixo a uma freqüência de 10 Hz. As engrenagens B e C acionam maquinários que necessitam de potência igual a 35 kw e 15 kw respectivamente. Calcule a tensão máxima de cisalhamento no eixo e o ângulo de torção entre o motor em A e a engrenagem em C, sabendo-se que o módulo tangente é de 80 GPa. Figura : Figura extraída de Gere e Goodno (2009)

28 Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir W do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a uma freqüência 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissívelτ adm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm.