Universidade do Algarve, Portugal

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1 Universidade do Algarve, Portugal Faculdade de Ciências e Tecnologia ANÁLISE MATEMÁTICA I Cursos de EI, ESI, I, B, EA, EB Professor Stefan Samko

2 Pontos fundamentais do programa da disciplina Análise Matemática I:. Sucessões numéricas. 2. Limite de uma função e continuidade. 3. Derivadas. Aplicações de derivadas. 4. Séries numéricas e séries de funções. 5. Primitivas e regras de primitivação. Literatura. N.Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral, v. e v B.Demidovich. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. 3. J.Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática. 4. Hamilton Luiz Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, v.. Regras de avaliação. Será realizado um teste. 2. Os estudantes com classificações superiores ou iguais a 0 valores no teste referido no ponto anterior ficam dispensados da realização do exame da época normal. 3. Todas os estudantes serão admitidos ao exame da época normal. 4. Os estudantas com classificaçóes superiores a 6 valores serão submetidos a uma prova oral. Horário de atendimento Os estudantes que tiverem dúvidas sobre o conteúdo da disciplina Análise Matemática I ou que pretendem ver os testes ou exames realizados poderam comparecer no gabinete 3.4 (edificio novo) às terça-feiras e quinta-feiras a partir das.00 até às 2.30 horas PROGRAMA I. Introdução Definições fundamentais da teoria dos números reais e das suas propriedadas principais. Definição de uma função num conjunto arbitrário. Domínio de uma função. Coordenadas polares. Exemplos de funções definidas em coordenadas polares. Propriedades básicas de funções : Funções monótonas, itadas, iitadas, crescentes e decrescentes. Funções periódicas. Função inversa. Existência da função inversa de uma função monótona. Funções elementares. Noção de funções especiais. Desigualdades com valores absolutos. II. Sucessões numéricas 2

3 . Conceitos elementares: Sucessões numéricas. Sucessão como uma função definida no conjunto de números inteiros positivos. Supremos e ínfimos de uma sucessão. Sucessões monótonas. Sucessões itadas. Subsucessões. 2. Limite de uma sucessão e suas propriedadas principais. O número e. Critério de Cauchy para convergência de sucessões. III. Funções reais. Limite de uma função e continuidade. O ite de uma função num ponto finito e no infinito. Propriedades dos ites. O número e como o ite e = t ( + t )t e a função e x senx. O ite x 0. x Continuidade num ponto. Exemplos de funções descontínuas. Operações aritméticas com funções contínuas. A composição de funções contínuas. IV. Funções reais. Cálculo diferencial. Derivadas. Interpretação geométrica e mecânica da derivada. Funções diferenciáveis e as suas propriedadas básicas. Regras de derivação. Teorema de Lagrange (do valor médio). Aplicações da primeira derivada. Recta tangente e recta normal. Estudo da monotonia e cálculo de extremos. Cálculo de ites (regra de Cauchy-L Hôspital). Derivadas de ordem superior Cálculo da n-ésima derivada de certas funções elementares. Relação entre a segunda derivada e a concavidade. Aplicações das derivadas de ordem superior. Estudo completo do gráfico de uma função (monotonia, extremos, concavidade, inflexões, assímtotas). V. Séries numéricas e séries de funções. Séries convergentes e divergentes. Uma condição necessária para a convergência. Série geométrica. Princípio de Cauchy. Séries de termos não negativos. Critério de comparação. Critério de D Alambert. Critério de Cauchy. Sucessões e séries de funções arbitrárias. Séries de potências. Domínio de convergência. Raio de convergência. Fórmula de Cauchy. Séries de Taylor e de Mac-Laurin. Séries de Taylor de funções elementares. VI. Primitivas de funções. Propriedades básicas. Primitivas imediatas. Métodos de primitivação (por substituição, por partes, fracções racionais). 3

4 A disciplina de Análise I trata a teoria de funções de uma variável, nomeadamente Cálculo diferencial de funções de uma variável. Uma noção principal de cálculo diferencial é a noção de derivada. Consideraremos esta noção detalhamente nesta disciplina e daremos aplicações a problemas diversos. Particularmente, será possível desenhar gráficos de funções arbitrárias. Por exemplo, dada uma função f(x) = x3 + 2x 2 x 2 +, podemos no futuro desenhar o gráfico desta função por meio de cálculo diferencial. O gráfico desta função them mínimo e máximo local nos pontos x = e x = 0. I. Introdução. Noção de função. Definição. Dizemos que y é uma função de variável x e escrevemos y = f(x) se a cada valor da variável x pertencendo a um dado domínio, corresponde um único valor da variável y. A variável x diz-se variável independente. Mas y é variável dependente de x. Por D designamos o domínio da variável x. Este domínio chama-se também domínio de existência ou domínio de definição ou brevemente, domínio da função f(x). Por exemplo, a função y = x é definida para todo o x não negativo: x 0. Assim, o domínio desta função é a semirecta Outro exemplo: aqui temos: D = (, + ). Exercício. Achar o domínio da função D = [0, ). y = sen x y = log [x( x)] Resultado: D = (0, ). Outra noção importante é o contradomínio de uma função, que é o conjunto de todos os valores y = f(x) percorridos pelo y quando x percorre o domínio D. É claro que podemos escrever, pelo menos formalmente, Contradomínio = f(d). 4

5 Exemplos.. y = x, contradomínio = [0, ) 2. y = sen x, contradomínio = [, ] Exercício 2. Achar o contradomínio da função y = log [x( x)]. Resultado: Contradomínio = (, log 4]. Assim, a noção de função consta de três partes principais: ) domínio D, 2) contradomínio, 3) a regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento x D, um único elemento f(x) contradomínio. Usa-se também a notação x f(x) para indicar que a regra f faz corresponder a x o valor f(x). 2. Números reais. Representação dos números reais por meio do eixo numérico Vamos recordar que os números, 2, 3, 4,... são conhecidos como números inteiros positivos. Os números, 2, 3, 4,... dizem-se números inteiros negativos. Os números 0, ±, ±2, ±3, ±4,... chamam-se números inteiros. Um número da forma p q onde p e q são números inteiros, diz-se número racional. Por exemplo, 8 3 ou.25 = 5 4 são números racionais. Os números representados pelas fracções decimais iitadas não periódicas, chamam-se números irracionais. Por exemplo, π = 3, , 2 =, são números irracionais. Os números 7, 39,

6 são números irracionais também, etc. Nota. Cada número irracional pode ser aproximado por números racionais. Ou, por outras palavras, cada número irracional pode ser representado como o ite de números racionais. Por exemplo, o número irracional pode ser aproximado pelos números racionais x = 7, x = 7, 2 x 2 = 7, 28 x 3 = 7, 28 x 4 = 7, 283 x 5 = 7, 2835 x 6 = 7, É claro que a diferença x n x tende para zero quando n. Neste caso escrevemos x = n x n. Definição. O conjunto de todos os números racionais e irracionais chama-se conjunto de números reais. Este conjunto designa-se como O conjunto R = (, ) é ordenado: R ou R ou R x < y, x = y, x > y. Os números reais podem ser representados pelos pontos do eixo numérico. É uma recta infinita sobre a qual se escolheu: ) um ponto O chamado origem; 2) um sentido positivo; 3) uma unidade de medida. Cada número positivo x o é representado pelo ponto M o situado à direita da origem com distância da origem igual a OM o = x 0, etc 3. Conjuntos e subconjuntos de números reais. Seja C um conjunto qualquer de números reais: C R onde o símbolo significa que o conjunto C é uma parte do conjunto R. 6

7 Conjuntos importantes: N = {, 2, 3,...} o conjunto de todos os números inteiros positivos, N 0 = {0,, 2, 3,...} o conjunto de todos os números inteiros não negativos, Evidentemente, Z = {0, ±, ±2, ±3,...} o conjunto de todos os números inteiros. N N 0 Z Mas, geralmente, C pode ser um conjunto arbitrário de números reais. Ou, por outras palavras, um conjunto arbitrário na recta real. Outro exemplo de conjunto de números reais é um intervalo, aberto ou fechado. Definição. O conjunto [a, b] = {x : a x b} de todos os números reais compreendidos entre os números a e b chama-se intervalo fechado. Os pontos a e b dizem-se extremidades do intervalo [a, b]. Definição 2. O conjunto (a, b) = {x : a < x < b} chama-se intervalo aberto. Os conjuntos [a, b) = {x : a x < b}, (a, b] = {x : a < x b} chamam-se intervalos semi-fechados ou semi-abertos. É possível considerar conjuntos mais complicados. Por exemplo, o conjunto de todos os números irracionais entre 0 e. Notamos que entre dois números racionais existe sempre um número irracional, e vice-versa. 4. Conjuntos itados.. Seja C um conjunto arbitrário, C R. Definição 3. Um conjunto C diz-se itado superiormente ou itado à direita, se existe um número b tal que x b para todo o x C. Neste caso diz-se que o número b é um majorante para o conjunto C. Analogamente, um conjunto C diz-se itado inferiormente ou itado à esquerda, se existe um número a tal que a x para todo o x C e, neste caso, o número a chama-se um minorante do conjunto C. Finalmente, um conjunto C diz-se itado se for itado superiormente e inferiormente. Por outras palavras, o conjunto C é itado se tiver um majorante e um minorante. Definição 4. Um conjunto C chama-se iitado, se não for itado. 7

8 Por exemplo, cada um dos intervalos é um conjunto itado. Os conjuntos [a, b], [a, b), (a, b], (a, b), N, N 0, Z de números inteiros são conjuntos iitados. O conjunto de todos os números racionais no intervalo [0, ] é itado. Por R + = (0, ) = {x : x > 0} designamos o conjunto de todos os números positivos. À semelhança, R = (, 0) = {x : x < 0}. Os conjuntos R + e R são iitados. Mas podemos dizer que o conjunto R + é itado inferiormente e o conjunto R é itado superiormente. Podemos considerar tambem os conjuntos de tipo (a, ) ou [a, ) de todos os números reais maiores que a ou maiores ou iguais ao número a. Escrevemos: [a, ) = {x : x a}, (a, ) = {x : x > a}. Analogamente, é possível considerar conjuntos de tipo (, b] = {x : x b}, (, b) = {x : x < b}. 5. Supremo e ínfimo. Definição 5. Seja C um conjunto itado superiormente. O número M chama-se supremo do conjunto C se M é um majorante para o conjunto C e não existe um majorante menor que M. Isto significa que x M para todo o x C e para qualquer outro número M < M existe pelo menos um número x C tal que x > M. Definição 6. Seja C um conjunto itado inferiormente. O número m diz-se ínfimo do conjunto C, se m é um minorante para o conjunto C e não existe um minorante maior que m. Isto significa que x m para todo o x C e para qualquer outro número m > m existe pelo menos um número x C tal que x < m. Por exemplo, o que é o supremo ou ínfimo para intervalos? Para cada intervalo [a, b], (a, b], [a, b), ou (a, b), aberto ou fechado, o supremo do intervalo coincide com a extremidade direita b do intervalo: M = b. 8

9 No caso dos intervalos [a, b], (a, b] o supremo b pertence ao intervalo, mas no caso de intervalos [a, b), (a, b) o supremo b não pertence ao intervalo. Exemplo. Vamos considerar o conjunto de todos os números reais compreendidos entre e 2 e entre 4 e 5: C = {x : < x < 2 ou 4 < x < 5}. Neste caso m = e M = 5 e o supremo M e o ínfimo m não pertencem ao conjunto C. Usando a designação, podemos escrever para este exemplo: É a união de dois intervalos abertos. C = (, 2) (4, 5). 6. Propriedades dos valores absolutos. Vamos recordar a noção de valor absoluto de um número real. Seja x R um número real arbitrário. Valor absoluto do número x é a distância entre o ponto x na recta real e a origem. Usamos o símbolo x para designar o valor absoluto: x = { x, se x 0 x, se x 0. O valor absoluto x é sempre positivo se x 0. O valor absoluto x chama-se também módulo de x. Evidentemente, x = x e temos sempre x x, x x. () As seguintes Propriedades dos valores absolutos são válidas. Propriedade. O valor absoluto da soma de números reais não é superior à soma de valores absolutos: x + y x + y. Suponhamos que x + y 0. Então x + y = x + y x + y em virtude da primeira desigualdade em (). Analogamente, se x + y 0, obtemos em virtude da segunda desigualdade em (). x + y = x y x + y Propriedade 2. O valor absoluto da diferença de números reais não é inferior ao módulo da diferença de valores absolutos: x y x y. 9

10 Obviamente, Portanto, em virtude da Propriedade, Daqui, Podemos obter também que Para isso, escrevemos a igualdade Daqui, Como y x = x y, temos x = y + (x y). x y + x y. x y x y. (2) x y y x. y = x + (y x). y x + y x. x y y x. (3) Das desigualdades (2) e (3) decorre que x y x y. Propriedade 3. O valor absoluto do produto é igual ao produto dos valores absolutos: x y = x y. Propriedade 4. O valor absoluto do quociente é igual ao quociente dos valores absolutos: x y = x y, y 0. Propriedade 5. Sejam x um número real e a um número positivo fixo. A desigualdade dupla a x a é equivalente à desigualdade x a. A demonstração desta equivalência é clara geometricamente. 7. Funções monótonas; funções periódicas. Definição. Uma função f(x) chama-se crescente, se para todos x < x 2, e decrescente se f(x ) f(x 2 ) f(x ) f(x 2 ) para todos x < x 2. Se f(x ) < f(x 2 ) ou f(x ) > f(x 2 ), então dizemos que a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente, respectivamente. 0

11 Uma função chama-se monótona no domínio D, se ela é crescente em todo este domínio ou decrescente. Definição. Uma função f(x) chama-se par, no seu domínio D, se para todos x D, e ímpar, se f( x) = f(x) f( x) = f(x). Desta definição decorre imediatamente que o domínio de uma função par ou ímpar é um conjunto simétrico relativamente à origem. Exemplos. y = x 2, y = cos x funções pares, y = x 3, y = sen x funções ímpares. É claro que o gráfico de uma função par é simétrico relativamente ao eixo dos y, e o gráfico de uma função ímpar é simétrico relativamente à origem. Definição. Seja f(x) uma função definida em toda a recta real. Ela chama-se periódica, se existe um número T 0 tal que f(x + T ) = f(x) para todos x R. O número T chama-se período da função f(x). É fácil demonstrar que se um número T é período da função f(x), então 2T, 3T, 4T,... e T, 2T, 3T, 4T,... são períodos desta função tambêm. Portanto, dizendo sobre o período, subentendemos que consideramos o período positivo e minimal. Exemplo. A função y = sen x é periódica com o período 2π. Exercicio. Demonstre que a função y = A sen (ωx + ϕ) é periódica e tem período T = 2π ω. Observação. A função y = A sen (ωx + ϕ) caracteriza a oscilação harmónica. O número A chama-se amplitude desta oscilação, ω é a frequência e ϕ diz-se o deslocamento. 8. Função inversa. Em primeiro lugar, consideremos o exemplo Daqui podemos exprimir x como função de y: y = x, x 0. x = y 2.

12 Mudando designacões, isto é, designando x como y e y no lado direito como variável independente x, temos y = x 2. Dizemos que y = x 2 é função inversa para a função dada y = x. É claro que estas funções inversas estão relacionadas uma com outra pela igualdade ( x) 2 = x, x 0. E agora, tencionamos dar uma definição geral da função inversa no caso de uma função y = f(x) arbitrária. Seja y = f(x), x D uma função definida no seu domínio D. Definição. A função x = ϕ(y), onde y contradomínio da função f(x) chama-se inversa para a função y = f(x), se ϕ[f(x)] x, x D. A função inversa x = ϕ(y) nem sempre existe para uma dada função y = f(x). A função inversa, quando existe, designa-se também do modo seguinte: Obviamente, x = f (y). domínio de f = contradomínio de f, contradomínio de f = domínio de f. Habitualmente, para a função inversa x = f (y) mudamos as designações e escrevemos Diz-se que as funções y = f (x), y = f (x). y = f(x), x D, x contradomínio def são inversas uma em relação à outra. O teorema seguinte mostra que funções monótonas têm funções inversas. Para simplificar consideramos funções cujos contradomínio é um intervalo. Teorema. Seja f(x) uma função estritamente monótona no intervalo [a, b] (isto é, estritamente crescente ou estritamente decrescente). Então f(x) tem função inversa. Observação. Uma função não monótona não tem função inversa, uma vez que existem diferentes valores de x para um dado valor de y. Uma regra geométrica para a construção do gráfico da função inversa. 2

13 Dado o gráfico de uma função monótona y = f(x), para obter o gráfico da função inversa, basta desenhar a curva simétrica ao gráfico da função y = f(x) em relação da bissectriz y = x. Exemplos. As funções y = x 2 no intervalo [0, ) e y = 2 x em toda a recta real. 9. Funções elementares. As principais funções elementares são:. A função de potência y = x a. 2. A função exponencial y = a x. 3. A função logarítmica y = log a x. 4. As funções trigonométricas 5. As funções trigonométricas inversas y = sen x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. y = arcsen x, y = arcscos x, y = arctg x, y = arcctg x. Vamos considerar cada uma destas funções brevemente. A função de potência y = x a. O expoente a pode ser um qualquer número real. O domínio desta função depende da natureza do expoente. Em primeiro lugar vamos definir a função y = x a para expoentes não negativos.. Se a = n é um número inteiro positivo, então, por definição, x n = x x x, n vezes. Neste caso, D = R. 2. Se a = 0, então x a = e D = R\{0}. 3. Se a = m, onde m e n são números inteiros positivos sem divisores comuns, então n x m n = n x m. Neste caso D = R se n é um número ímpar e D = [0, ), se n é um número par. 4. Falta definir a função y = x a no caso quando a é número não racional, isto é, a é um número irracional. Como se sabe, cada um número irracional a pode ser aproximado por números racionais: a = n a n onde a n são números racionais. Como as potências x a n já estão definidas, podemos definir a potência x a com expoente irracional como o ite x a = n x a n, D = [0, ). 6. Finalmente, falta dar a definição no caso de expoentes negativos. Neste caso, também por definição, x a =, a < 0. x a 3

14 x: A função exponencial y = a x. A base a é um número qualquer positivo excepto a = : a > 0, a. De acordo com a definição anterior, a função exponencial é definida para todos valores de D = R. A função logarítmica y = log a x. Esta função é definida como a função inversa da função exponencial. Isto significa o seguinte: O número y = log a x é o número tal que a y = x. Desta definição decorre que temos de considerar só valores positivos de a diferentes de : a > 0, a. O número a chama-se a base da função logarítmica. Da definição decorre imediatamente que a logax x, x > 0. Esta igualdade é conhecida como principal identidade logarítmica. Notemos as propriedadas principais de logaritmos: ) log a (x x 2 ) = log a (x ) + log a (x 2 ), x > 0, x 2 > 0; No caso quando só sabemos que x x 2 > 0, mas pode ser x < 0 e x 2 < 0, então esta propriedade deve ser escrita na forma log a (x x 2 ) = log a x + log a x 2, x x 2 > 0; 2) log a x k = klog a x, x > 0, k R; 3) log a x = log bx log b, b > 0, b, x > 0, a particularmente, log a x = As funções trigonométricas. São as funções, a > 0, a, x > 0, x. log x a y = sen x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x. Como se sabe, estas funções são periódicas. As funções y = sen x, y = cos x, y = sec x, y = cosec x têm período 2π e as funções y = tg x, e y = ctg x, têm período π. Fórmulas principais para funções trigonométricas: ) tg x = sen x cos x, ctg x = cos x sen x 2) sen 2 x + cos 2 x =, 3) sen(x + y) = sen xcos y + cos x sen y, 4) cos(x + y) = cos xcos y sen x sen y, 5) tg(x + y) = 4 tg x+tg y tg xtg y.

15 Em particular, tomando y = x em 3)-5), obtemos 6) sen 2x = 2sen x cos x, 7) cos 2x = cos 2 x sen 2 x, 8) tg(2x) = 2 tg x. tg 2 x Das fórmulas 7) e 2) decorre também que 9) sen 2 cos 2x x =, 2 0) cos 2 +cos 2x x = As funções trigonométricas inversas. São as funções 2. y = arcsen x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.. A função y = arcsen x tem o domínio D = [, ] e o contradomínio [ π 2, π 2 ] ; 2. a função y = arccos x tem o domínio D = [, ] e o contradomínio [0, π]; 3. a função y = arctg x tem o domínio D = (, ) e o contradomínio ( π 2, π 2 ) ; 4. a função y = arcctg x tem o domínio D = (, ) e o contradomínio (0, π). Tinhamos considerado todas as principais funções elementares. E agora podemos dar a definição seguinte. Definição. Chama-se função elementar toda a função que pode ser dada por meio de uma fórmula y = f(x) onde a função f(x) é o resultado de combinações das principais funções elementares e o número destas combinações é finito. Por exemplo, a função y = x4 7x tg x x 4sec x 3log 2x (x + 5) 8arcsen x é complicada, mas é elementar segundo a nossa definição. Nota. Existem umas funções representáveis por meio de número infinito de operações com funções elementares. Se tal função não pode ser representada via funções elementares por meio de um número finito de operações, tal função diz-se função especial. Funçõe especiais, isto é, funções não elementares usam-se frequentemente em Física matemática. Se uma função elementar tem a forma y = a o x n + a x n a n x + a n onde a o, a,..., a n, a n são coeficientes constantes, chama-se polinómio ou função racional inteira. Se ela tem a forma y = a ox n + a x n a n x + a n b o x m + b x m b m x + b m, chama-se função racional. Por exemplo, y = 4x2 3x + 4 x 5 6x

16 é uma função racional. A função y = x 2 x x + 4 x 5 + 7x + é racional também. Mas, por exemplo, a função y = x2 + 7 x x 2 é irracional. Finalmente, introduzimos uma função que se usa frequentemente em Análise Infinitesimal: y = [x] que se chama a parte inteira do número real x. Isto é, o maior número inteiro N tal que N x. Por exemplo, [ ] [ ] [ ] [ 7 03 = 0, = 2, = 6, [7] = 7, 4 ] = etc Às vezes, esta função designa-se também como y = E(x) = [x]. 0. Sucessões como funções definidas no conjunto de números inteiros. Suponhamos que o conjunto, onde uma função está definida, é o conjunto N 0 = {0,, 2, 3,...} de números inteiros não negativos. Consideremos uma função y definida neste conjunto: y = f(x), x N 0. Como a nossa função está definida só para valores inteiros de x, podemos designar y = a n = f(n), n = 0,, 2, 3,... Temos uma sucessão de números reais. Estes números podem ser arbitrários, positivos ou negativos. Às vezes as sucessões designam-se da seguinte maneira: {a n } n=0 ou {a n } n= se o início de enumeração é o número. No futuro designaremos sucessões diferentes por a, a 2, a 3,... b, b 2, b 3,... 6

17 etc. Coordenadas polares x, x 2, x 3,... Quando usamos o referencial cartesiano, a posição de um ponto M é determinada pelos números x e y: M = (x, y) que se chamam coordenadas cartesianas do ponto M. Entretanto, é possível determinar a posição do ponto M de outra maneira. Escolhemos um ponto O no plano que se chama pólo e traçamos uma semirecta a partir deste ponto a que vamos chamar eixo polar. A posição do ponto M no plano pode ser determinada por dois números: ρ, que é a distância entre o ponto M e o pólo O e o ângulo ϕ formado por OM e o eixo polar. Os números (ρ, ϕ) chamam-se coordenadas polares do ponto M. É claro que temos sempre ρ 0. Podemos considerar 0 ϕ < 2π, mas às vezes tem sentido considerar todos os valores < ϕ <. Existem relações explícitas entre as coordenadas cartesianas e coordenadas polares: Daqui x = ρ cos ϕ y = ρ senϕ ρ 2 = x 2 + y 2 ϕ = Arctg y x. Por exemplo, o ponto M = (2, 2) tem coordenades polares ρ = 8 = 2 2 e ϕ = arctg = π 4. Portanto, M = ( 2 2, π 4 ) em coordenades polares. Nota. Para determinar o angulo ϕ é necessário tomar em linha de conta o quadrante onde se encontra o ponto M e escolher o valor apropriado de ϕ. Por exemplo, se M = ( 2, 2 3). então ρ = = 4, tg ϕ = y x = = 3. 7

18 É claro que ϕ = π + π 3 = 4π 3. Portanto, M = ( 4, 4π 3 ) em coordenadas polares. Podemos comparar com o ponto (2, 2 3). Neste caso ϕ = π 3. Observação. Como sabemos, a relação y = f(x) determina uma curva no plano. Analogamente, uma relação do tipo ρ = f(ϕ) determina uma curva em coordenadas polares. Por exemplo, ρ = 2 é a equação da circunferência de raio 2. A equação ϕ = c determine um raio no plano. A curva definida pela equação chama-se espiral de Arquimedes. Outro exemplo: ρ = ϕ ρ = 2a cos ϕ onde a é constante, dá origem à circunferência de raio a, centrada no ponto (a, 0).. Definições básicas II. Sucessões numéricas Seja {x n } n=0 uma sucessão arbitrária. Definição. Uma sucessão x n diz-se crescente, se x n x m para todos n < m e estritamente crescente se x n < x m para todos n < m. Definição 2. Uma sucessão x n diz-se decrescente, se x n x m 8

19 para todos n < m e estritamente decrescente se x n > x m para todos n < m. Exemplos. A sucessão x n = n+ é estritamente crescente. Com efeito, n < m = n+ 2 m+, isto é, x 2 n < x m. A sucessão x n = 2n + ( ) n é crescente, mas não estritamente. As sucessões 2 < x n = n +, x n = 4 n são (estritamente) decrescentes. Definição 3. Uma sucessão x n chama-se monótona, se é crescente ou decrescente. Exemplo de uma sucessão não monótona. A sucessão x n = ( )n, n =, 2, 3, 4,... n isto é,, 2, 3, 4,... não é monótona. Uma outra noção importante é a noção de sucessão itada. Definição 4. Uma sucessão x n chama-se itada, se existe uma constante B 0 não dependente de n tal que x n B para todo o n =, 2, 3,... Exemplos. As sucessões são itadas, mas as sucessões x n = ( )n +, x n = sen(n 2 + ) 2 x n = n +, x n = n 3 2n etc são iitadas. Definição 5. Suponhamos que n toma não todos os valores inteiros, mas só Então temos a parte da sucessão n = n, n 2, n 3,..., n k,... {x n, x n2, x n3,..., x nk,...} = {x nk } k=. 9

20 Esta nova sucessão chama-se subsucessão da sucessão {x n }. Por exemplo, a sucessão com indices pares {x 0, x 2, x 4, x 6,...} é subsucessão da sucessão total {x 0, x, x 2, x 3, x 4,...}. Teorema. Se uma sucessão {x n } n=0 é crescente ou decrescente, então cada sua subsucessão é crescente ou decrescente, respectivamente. Se a sucessão {x n } n=0 é itada, então cada sua subsucessão é também itada. A demonstração deste teorema é óbvia. isto é, 2. Limite de uma sucessão. Pretendemos dar a definição de sucessão convergente e a noção de ite de uma sucessão. Antes de dar a definição geral, vamos considerar um exemplo: x n =, n =, 2, 3, 4,... n, 2, 3, 4, 5, 6,... É claro que esta sucessão tende para zero. Assim, dizemos que zero é o ite desta sucessão. Outro exemplo: x n = ( )n n +. Neste caso a sucessão tende para zero também, mas em comparação com o exemplo anterior, x n tende para zero de lados diferentes. A sucessão x n = n+2 = +, isto é, n+ n+ + 2, + 3, + 4, + 5, + 6,... tende para e este número será chamado o ite da sucessão. Agora queremos saber o que pode ser chamado de ite de uma sucessão, no caso geral. No futuro, ε > 0 designará um número positivo que pode ser arbitrariamente pequeno. Definição de ite. O número a diz-se ite da sucessão x n, se para qualquer ε > 0 existe um número N > 0 tal que x n a < ε para todos os n N. Evidentemente, o número N depende de ε. Se tomarmos ε cada vez mais pequeno, N cresce. Vamos verificar esta definição no exemplo já considerado: x n =. É necessário demonstrar n que n 0 < ε para qualquer ε > 0 com n bastante grande. Para isso temos: < ε, isto é, n >. Assim, n ε basta tomar N = [ ε] +. 20

21 Outro exemplo: x n = n+2. Vamos verificar que o número é o ite desta sucessão: n+ n + 2 n + < ε. Daqui n + < ε = n + > ε = N = Se o número a é o ite de uma sucessão x n, escrevemos [ ]. ε ou a = n x n x n a quando n. Definição. Se uma sucessão tem um ite finito, ela diz-se convergente. Se uma sucessão não tem ite finito, ela chama-se divergente. É possível que algumas sucessões não tendam para um ite finito, mas tendam para infinito. Por exemplo, x n = n Definição. Dizemos que uma sucessão x n tende para infinito quando n, se x n é maior que um número M arbitrariamente grande x n > M para todos n N, onde a escolha do número N depende de número dado M. Uma sucessão que tem ite infinito, não se chama convergente. Ela é divergente. 3. Propriedades principais dos ites. Em primeiro lugar, vamos demonstrar que a noção de função é natural no sentido de que o ite é definido unicamente, isto é, uma sucessão não pode ter dois ites diferentes. e Teorema. Se uma sucessão {x n } tem ite, esse ite é único. Isto é, se x n = a () n x n = b, (2) n então a = b. Demonstração. Suponhamos que as igualdades () e (2) são válidas. É necessário demonstrar que a = b. Por definição de ite, para ε arbitrariamente pequeno existe um número N tal que x n a < ε se n N (3) 2

22 e analogamente existe um número N 2 tal que x n b < ε se n N 2 (4) Podemos escolher n máx(n, N 2 ). Então cada uma das desigualdades (3) e (4) é satisfeita. É claro que a b = a x n + x n b a x n + x n b < 2ε para n máx(n, N 2 ). Assim a b 2ε onde ε pode ser arbitrariamente pequeno. Tal desigualdade com ε arbitrariamente pequeno só pode ser válida se a b = 0. Realmente, se a b = 0, então a b > 0. Como ε é arbitrário, podemos tomar ε = a b 4. Obtemos a b < a b, 2 o que é impossível. Portanto, a b = 0 e então a = b. Teorema. (Critério da sucessão enquadrada). Sejam x n e y n duas sucessões que tendem para o mesmo ite a : x n = a, n Então cada sucessão z n contida entre x n e y n : y n = a. n x n z n y n tem o mesmo ite a: z n = a. n Demonstração. Por definição de ite temos x n a < ε, n N, y n a < ε, n N 2. Escolhemos n N = máx(n, N 2 ). Então ambas as desigualdades são satisfeitas. Portanto, ε < x n a < ε ε < y n a < ε para todos os n N. Como x n z n y n, obtemos z n a y n a < ε e ε < x n a z n a. 22

23 Portanto ε < z n a < ε ou z n a < ε para todos os n suficientemente grandes, n N. Isto significa que o número a é o ite da sucessão z n. Observamos que o teorema demonstrado se chama o critério da sucessão enquadrada. Teorema. Uma sucessão convergente é itada. Demonstração. É necessário provar que existe um número finito M tal que x n M para todos os n =, 2, 3,... Por definição de ite temos x n a < ε, n N, N = N(ε) para um ε qualquer. Tomamos particularmente ε = : Daqui x n a <, n N, N = N(). x n = x n a + a x n a + a < + a para todos os números inteiros n começando do número N: Assim, falta observar que os termos n = N, N +, N + 2, N + 3,... x, x 2,... x N são em conjunto itados porque temos um número finito de termos. Portanto, para todos os n =, 2, 3, 4,..., N, N, N +,... temos x n M onde Teorema. M = máx{ + a, x, x 2,..., x N }. Se duas sucessões x n e y n têm os ites a e b, respectivamente, a = n x n, b = n y n, então a soma e a diferença delas tendem para a + b e a b, respectivamente. Isto é, (x n ± y n ) = x n ± y n. () n n n Demonstração. Por definição de ite, temos x n a < ε 2, n N, 23

24 y n a < ε 2, n N 2. Escrevemos ε por conveniência, o que é possível, uma vez que ε ou ε 2 2 pequenos. Escolhemos, como de costume, são arbitrariamnte n > máx{n, N 2 }. Então ambas as desigualdades são satisfeitas. Portanto, ε 2 < x n a < ε 2, (2) Somando estas desigualdades, obtemos ε 2 < y n b < ε 2. (3) ε < x n a + y n b < ε. (Para obtermos ε simplesmente, acima foi tomado ε 2 ). Então, x n + y n (a + b) < ε, n N o que significa que a + b = n (x n + y n ). A demonstração do teorema para a diferença de sucessões é semelhante. Neste caso reescrevemos as desigualdades (2)-(3) na forma ε 2 < x n a < ε 2, Somando, obtemos ou ε 2 < b y n < ε 2. ε < x n a + b y n < ε, n N x n y n (a b) < ε, n N o que prova o teorema. Analogamente podemos demonstrar outras propriedades dos ites: n Ax n = A n x n, onde A é um factor constante qualquer, e, mais geral, (x n y n ) = n n x n n y n, (4) x n n y n = n x n n y n, (5) onde n y n e n y n. 0 no último caso e é subentendido que existe cada um dos ites n x n 24

25 Nota. As propriedades () e (4)-(5) chamam-se regras de operações aritméticas sobre ites de sucessões. Teorema. Se uma sucessão x n é itada superiormente: x n b e tem o ite a, então a b. Outra forma do teorema: n x n b se x n b para todos os n e o ite existe. Sem demonstração. Corolário. Se duas sucessões x n e y n têm ites e então x n y n, (7) x n y n. n n Demonstração. Sejam a e b os ites das sucessões x n e y n : a = x n, b = y n. n n Em virtude do Teorema sobre operações aritméticas, a diferença x n y n dessas sucessões tende para a b: (x n y n ) = a b. n De acordo com a condição (7), x n y n 0. Usamos o Teorema precedente em relação à diferença x n y n. Ela é itada superiormente: x n y n 0 e tem o ite a b. Então em virtude do Teorema anterior, a b 0 ou a b. Nota. Observamos que a afirmação do Corolário chama-se a possibilidade de passagem ao ite numa desigualdade. Teorema. Seja x n uma sucessão convergente. Então qualquer sua subsucessão tende para o mesmo ite: x n k = x n. k n Demonstração. Como sempre, por definição de ite, para qualquer ε > 0 existe um número N grande tal que x n a < ε, n N 25

26 onde a = x n. Como esta desigualdade é válida para todos os n N, ela é válida, n particularmente, para aqueles n k que são maiores que N : Portanto n k N. x nk a < ε, n k N ou k K onde K depende de ε Teorema (sobre a existência de ite das sucessões monótonas). Se uma sucessão x n é monótona e itada, ela tem ite finito. Demonstração. Seja x n uma sucessão crescente. Consideremos o conjunto E de todos os números x n, n =, 2, 3,... Este conjunto é itado e portanto tem supremo. Seja b esse supremo: b = sup x n, x n b. n Vamos mostrar que este supremo é o ite da sucessão x n. Como b é o supremo, por definição de supremo, para qualquer ε > 0 pequeno existe um x N tal que x N > b ε. A sucessão x n é crescente, assim x n > b ε para todos os n N. Assim, para qualquer ε > 0 existe um número N tal que Então, ou o que significa que b = n x n. b ε < x n b para todos n N. b ε < x n < b + ε, n N x n b < ε, n N, Teorema de Bolzano-Weierstrass. Uma sucessão itada tem uma subsucessão convergente. (Sem demonstração) Por outras palavras, o teorema de Bolzano-Weierstrass diz que uma sucessão pode não ter ite, mas se ela for itada, é sempre possível extrair dela uma subsucessão que tem ite. Critério de Cauchy para a convergência de sucessões Definição. Dizemos que uma sucessão {x n } satisfaz a condição de Cauchy se, para qualquer ε > 0 existe um número N (dependente de ε) tal que x n x m < ε para todos os n N e m N. As sucessões que satisfazem a condição de Cauchy, chamam-se também sucessões fundamentais. 26

27 Teorema (Critério de Cauchy). Uma sucessão x n tem ite se e só se ela satisfaz a condição de Cauchy. Demonstração. Demonstraremos só a necessidade da condição de Cauchy. Isto é, vamos provar que se {x n } tem ite, então x n satisfaz a condição de Cauchy. Assim, seja a o ite da sucessão x n. Por definição de ite, para qualquer ε > 0 existe um N tal que x n a < ε 2 para todos os n N. Então, para quaisquer n N e m N temos x n x m = x n a + a x m x n a + x m a < ε 2 + ε 2 = ε. Omitimos a demonstração da parte inversa do teorema. 5. Um ite famoso. O número e Consideremos um exemplo de uma sucessão que tem um papel importante na Análise Infinitesimal: ( x n = + n) n, n =, 2, 3,... Quando n, formalmente obtemos o que não tem sentido. Temos uma indeterminação. Mostraremos que, na realidade, o ite existe e é um número finito (diferente de ). Para isso usaremos o teorema precedente. Lema. A sucessão x n = ( + n) n é crescente e itada. Demonstração. Em primeiro lugar vamos demonstrar que a sucessão é crescente. Usamos a fórmula do binómio de Newton: ( + x) n = + nx + Usando o símbolo de somatório: n(n ) x 2 n(n ) n xn. n para a soma de n + números: k=0 n a k = a 0 + a + a a n k=0 escrevemos esta fórmula brevemente: ( + x) n = n k=0 ( ) n x k k onde ( ) n k = n(n )(n 2) (n k + ) 2 3 k = n! k!(n k)! 27

28 e k! = 2 3 k. Os coeficientes ( n k) chamam-se coeficientes binomiais. Por definição, ( ) n =. 0 Assim, ( ) n = n, ( ) n = 2 n(n ) 2, ( ) n n(n )(n 2) etc Aplicando a fórmula de Newton, obtemos ( + n) n n ( ) ( ) k n = = k n Daqui Então x n = x n+ = k=0 ( + n) n = n+ k=0 Queremos mostrar que x n+ Portanto porque x n+ = x n+ > > n k=0 n k=0 n k=0 ( n n(n )(n 2) (n k + ) 2 3 k ) ( 2 n k! ) ( ) k n ( ) ( 2 ) ( k ) k! n + n + n + > x n. k! + (n + )! n k! k=0 n k=0 k! É claro que ( n + ( ) n + ( ( n n + ) ( 2 n ) ( 2 n + ) ( 2 ) ) ( k ) + n + ( n ) n + ) ( k ) n + n + ( k n ). = x n n. k. () n + > n, 2 n + > 2 n, etc Assim, x n+ > x n, isto é, x n é crescente. Mostraremos que x n é itada. Da fórmula () vemos que x n ( = + n) n ( ) ( ) ( ) n n 2 n k n n = < k! k! (2) k=0 28 k=0. >

29 uma vez que cada factor no numerador é menor que. Assim x n < n k=0 k! = +! + 2! + 3! + + n! < n. A última soma é a soma da progressão geométrica: Portanto, n = 2 ) n ( 2) = <. 2 n ( 2 x n < 2 + = 3. Assim, x n é itada. Em virtude do lema demonstrado a sucessão x n = ( + n) n tem ite. Designamos este ite pela letra e: ( e = + n. n n) Este número é um número famoso na Análise Infinitesimal. Já foi demonstrado que x n < 3. Portanto, passando ao ite, temos e 3 Da desigualdade (2) vemos também que x n = + + ( ) + 2! n 3! ( ) ( 2 ) n n + > 2. Portanto, e 2. Assim, o número e está incluido no intervalo [2, 3]. É possível demonstrar que na realidade e = 2, Este número é irracional. No futuro usaremos este número importante como a base de logaritmos. III. Limite de uma função e continuidade. Consideremos funções reais y = f(x), x D, arbitrárias, onde D é o domínio da função f(x). Sabemos que uma função pode ser representada por meio do seu gráfico no referencial cartesiano (o gráfico pode ser descontínuo). 29

30 Posteriormente definiremos rigorosamente o que significa continuidade ou descontinuidade de uma função.. Noção de ite de uma função Seja f(x) uma função definida num intervalo (a, b) ou [a, b], aberto ou fechado, para todos os pontos desse intervalo, excepto, eventualmente, num ponto x 0. Pretendemos definir o ite da função f(x) quando a variável x tende para o ponto x 0. Geometricamente, continuidade de uma função significa que o gráfico da função é contínuo. Mas precisamos de uma definição mais rigorosa. a). Definição de ite. Definição. O número A chama-se ite da função f(x) quando x x 0, se a diferença f(x) A for arbitrariamente pequena para todos os valores de x perto do ponto x 0, ou, mais rigorosamente, se para qualquer ε > 0 existe um δ > 0 tal que para todos os x tais que x x 0 < δ. Se tal ite A existe, escreve-se f(x) A < ε A = x x0 f(x). Recordamos que a desigualdade f(x) A < ε é equivalente à desigualdade dupla b). Infinitésimos. Definição 2. Se A = 0, isto é, ε < f(x) A < ε. x x 0 f(x) = 0, dizemos que f(x) é infinitamente pequena ou um infinitésimo quando x x 0. Assim, a afirmação significa, por definição, que f(x) é um infinitésimo quando x x 0 para qualquer ε > 0 Agora é claro que, se existe o ite existe um δ > 0 tal que f(x) < ε para todo o x tal que x x 0 < δ. A = x x0 f(x), 30

31 então a diferença f(x) A é um infinitésimo quando x x Limites unilaterais. Vamos considerar o caso quando x 0 coincide com uma das extremidades do intervalo, x 0 = a ou x 0 = b. Seja x 0 = a. Neste caso, x pode tender para o ponto a só do lado direito. Escrevemos A = f(x) ou também A = f(x) x a+0 x a+ e dizemos que A é ite unilateral à direita, se para qualquer ε > 0 existe um δ > 0 tal que f(x) A < ε para todo o x tal que a < x < a + δ. Analogamente considera-se o caso quando x 0 = b. Neste caso, x pode tender para b só da esquerda. A designação A = significa, por definição, que f(x) ou também A = f(x) x b 0 x b para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que A f(x) < ε para todo o x tal que b δ < x < b. Os ites x a+0 f(x) e x b 0 f(x) chamam-se ites laterais ou unilaterais. É claro que é possível considerar também ites unilaterais para qualquer ponto x 0, não só para as extremidades a e b: Escreveremos A = f(x) o ite à esquerda x x 0 0 A = Pode acontecer que A B. f(x) o ite à direita. x x

32 É claro que o ite usual (bilateral) A = x x0 f(x) existe se e só se existem os ites unilaterais e coincidem um com outro: f(x) = f(x). x x 0 0 x x Limites quando x. Agora tencionamos definir a noção de ite quando x + ou x. Suponhamos que a função está definida no intervalo infinito (a, + ). Queremos definir f(x). x + Definição. O número A diz-se ite da função f(x), quando x +, se para qualquer ε > 0 existe um número positivo N tal que para todo o x > N. Analogamente podemos definir f(x) A < ε B = f(x). x Definição. O número B diz-se ite da função f(x), quando x, se para qualquer ε > 0 existe um número positivo N tal que f(x) A < ε para todo o x < N. Se A = 0, dizemos que f(x) é um infinitésimo quando x +. Se B = 0, diz-se que f(x) é infinitésimo em. Exemplos. Ex.. y = ( x 2). Demonstraremos que Temos ( ) x < ε, se 2 x + Assim, a desigualdade ( 2) x < ε é válida se onde N = [ log 2 ε]. ( ) x = < ε, ou x > log x 2 ε. x N, 32

33 Ex. 2. y = 2 x. = x 2 x = Limites infinitos. Muitas vezes, quando x x 0 (ou x ± ), temos f(x). Por exemplo, para a função f(x) = x temos: f(x) + quando x 0. Vamos definir esta noção rigorosamente. Definição. Dizemos que f(x) tende para +, quando x x 0, se para qualquer N > 0 existe um δ > 0 tal que f(x) > N para todo o x tal que x x 0 < δ. Neste caso escrevemos Analogamente se pode definir o ite f(x) = + x x 0 x x 0 f(x) = É possível considerar também ites infinitos unilaterais f(x) = ± x x 0 0 f(x) = ± x x 0 +0 Exemplo. y = tg x. É claro que tg x = +, x π 0 2 tg =. x π Propriedades de ites. Teorema. (Sobre operações aritméticas com ites). Suponhamos que existem os ites finitos f(x) e g(x). () x x 0 x x0 Então [f(x) ± g(x)] = f(x) ± x x 0 x x0 g(x), x x0 [cf(x)] = c f(x), onde c = const, x x 0 x x0 [f(x)g(x)] = f(x) g(x), x x 0 x x0 x x0 33

34 f(x) x x 0 g(x) = x x 0 f(x), g(x) 0. x x0 g(x) Este teorema demonstra-se de forma analoga ao teorema para os ites de sucessões. Nota. No Teorema, a suposição sobre a existência de cada um dos ites () é importante. É possível que no lado esquerdo das igualdades acima o ite exista, mas pode acontecer que os ites () não existam em separado. Por exemplo, se x + f(x) = x, e g(x) =, x os ites x 0 f(x) e x 0 g(x) não existem: são iguais ao infinito. diferença destas funções existe: Mas o ite da [f(x) g(x)] = x 0 x 0 x + x x = = 0. x 0 x + + Teorema 2. Suponhamos que uma função f(x) é um infinitésimo quando x x 0 e outra função g(x) é itada nalguma vizinhança do ponto x 0. Então o produto f(x)g(x) é um infinitésimo também quando x x 0. Isto é, Demonstração. Temos Queremos obter x x0 f(x) = 0 e = x x0 f(x)g(x) = 0. g(x) B < f(x)g(x) f(x) B. f(x)g(x) < ε. Para isso basta que f(x) B < ε ou f(x) < ε, o que é possível uma vez que f(x) é um B infinitésimo. Teorema 3. (Critério da função enquadrada). Suponhamos que f(x) y(x) g(x) numa vizinhança de um ponto x 0, isto é, para x 0 δ < x < x 0 + δ. (É possível considerar o caso quando x 0 = ; então consideraremos os valores de x na vizinhança do ponto infinito, isto é, x > N). Se existem os ites e são iguais: f(x) e g(x) x x 0 x x0 f(x) = g(x), x x 0 x x0 então existe também o ite para a função y(x) e y(x) = f(x) = g(x). x x 0 x x0 x x0 34

35 A demonstração é semelhante à demonstração do critério da sucessão enquadrada. Um exemplo de uma função que não tem ites unilaterais: y = sen x. Consideramos as duas sucessões de pontos e b k = a k = kπ, k =, 2, 3,... 2, k =, 2, 3,... π(4k + ) É claro que cada sucessão tende para o ponto zero quando k. É obvio também que e sen x = 0 sen x = quando x = a k quando x = b k Assim o ite da função sen x não existe quando x 0 nem à direita, nem à esquerda. 6. Os ites especiais. a) O ite x 0 sen x x. Pretendemos calcular este ite. Formalmente, obtemos 0 o que é absurdo. Mas na realidade este ite existe. 0 A fórmula seguinte é válida sen x =. x 0 x Demonstração. Previamente vamos demonstrar as seguintes desigualdades úteis Para tal, consideremos o desenho. Seja x a medida do ângulo AOB em radianos. sen x < x < tg x para 0 < x < π 2. (2) É claro que área do triângulo AOB < área do sector AOB < área do triângulo AOC. Calculando as áreas dos triângulos e do sector, obtemos Daqui decorre (2). 2 sen x < 2 x < tg x. 2 35

36 Figure : sen x < x < tg x Da desigualdade esquerda em (2) temos sen x x Da desigualdade direita obtemos cos x < sen x x. Então, cos x < sen x <, 0 < x < π x 2. Como cos x desde que x 0, podemos usar o critério da função enquadrada. Este critério diz que o ite da função enquadrada sen x deve ser também igual a : x x 0+0 sen x x Escrevemos o ite unilateral à direita, uma vez que o nosso raciocinio foi baseado nas desigualdades (2), demonstradas para valores x positivos. No entanto, é possível escrever o ite habitual, de cada lado, visto que a função sen x é x par e portanto o seu ite à esquerda deve ser igual ao ite à direita. b) Novamente o número e. <. =. O número e = 2, já foi introduzido como o ite da sucessão: ( e = + n. n n) É possível demonstrar que este número coincide com o ite de uma função: ( e = + x) x, x ± isto é, x pode tender para ± e, tendendo para infinito, pode percorrer todos os valores, não só valores inteiros. Nós omitimos a demonstração deste facto. 36

37 Vamos fazer uma modificação desta fórmula. Designamos y =. Então y 0 quando x x ±. Obtemos ( + y) y = e. (6) y 0 Isto é uma outra forma de ite que define o número e. c) O número e como a base de logaritmos. Consideramos a função logarítmica: y = log a x a log a x = x, x > 0. Na Análise Infinitesimal é conveniente escolher o número e como a base de logaritmos: log e x. Usa-se uma designação especial para logaritmos com esta base: y = ln x = log e x, e ln x = x, x > 0. (7) A razão para tal escolha da base será clara posteriormente. Os logaritmos (7) com a base e chamam-se logaritmos naturais. Teorema. A fórmula ln( + x) = (8) x 0 x é válida. Demonstração. Sabemos que ( + x) x = e, x 0 ver (6). Então, ou e ln (+x) x = x 0 e e x 0 x ln (+x) = e = e. Daqui decorre a igualdade (8). Nota. Muitas vezes, calculando ites de produtos, de quocientes ou de somas de funções, obtemos resultados do tipo 0 = 0, 0 =, 0 0 = 0, =, + + = +. Tudo é certo nestes casos. Mas encontram-se também expressões do tipo 0 0,, 0,,, 0, 0 0. Estas expressões não são definidas e chamam-se indeterminações. Por exemplo, calculando formalmente, temos sen x x 0 x = 0 0, sen 2x x 0 x = 0 0, 37

38 mas na realidade, como já sabemos, o ite é igual a no primeiro caso e a 2 no segundo caso. Outro exemplo: x 2 + x x =, 8x x x 3 + =, mas na realidade temos no primeiro caso e 8 no segundo caso. Quando conseguimos calcular o ite, dizemos que é possível levantar a indeterminação. No caso de indeterminação do tipo 0 0 temos o quociente de infinitésimos. Por esta razão, vamos considerar o problema de comparação de infinitésimos. 7. Comparação de infinitésimos. f(x) Definição. Se x x0 = 0, dizemos que f(x) é um infinitésimo de ordem g(x) superior em relação a g(x), o que significa que f(x) tende para zero mais rapidamente do que g(x) tende para zero. Neste caso, podemos dizer que a função f(x) vence a função g(x), uma vez que f(x) 0, g(x), mas f(x) g(x) 0. Para esta noção existe a designação especial: ( ) f(x) = o g(x) quando x x 0. f(x) Definição 2. Se x x0 g(x) inferior em relação a g(x) =, então a função f(x) chama-se infinitésimo de ordem f(x) Definição 3. Se existe o ite finito x x0 g(x) = A e A 0, então dizemos que os infinitésimos são da mesma ordem. No caso quando A =, os infinitésimos chamam-se equivalentes. Neste caso escrevemos o que significa que f(x) g(x) x x 0 f(x) x x 0 g(x) =. Exemplos. ) Consideremos as funções de potência: y = x α e y = x β, 0 < x <, onde α > 0, β > 0. Quando α > 0, β > 0, as funções y = x α e y = x β são infinitésimos quando x 0. É claro que x α x = α xα β 0 38

39 se α > β. Portanto, a função y = x α tem ordem superior em relação à função y = x β se α > β. 2). Consideremos as funções y = sen x e y = x. Como se sabe, x 0 sen x x =. Portanto, estes infinitésimos são equivalentes quando x 0. 3). Analogamente, as funções são equivalentes quando x 0, visto que y = ln ( + x) e y = x 4). As funções (infinitésimos) ln ( + x) x 0 x =. y = sen 2x e y = ln ( + 3x) são da mesma ordem quando x 0. Realmente, ( sen 2x sen 2x x 0 ln ( + 3x) = 3x x 0 2x ln ( + 3x) 2 ) = Teorema. Seja f(x) g(x) quando x x 0. Se existe um dos ites x x 0 f(x)h(x) ou x x0 g(x)h(x) para alguma função h(x), então existe o outro ite e eles são iguais: x x 0 f(x)h(x) = x x0 g(x)h(x). Demonstração. Suponhamos que existe o ite x x0 g(x)h(x). Mostremos que existe o outro ite. Obviamente, f(x)h(x) = x x 0 f(x) x x0 g(x) g(x)h(x). De acordo com o teorema sobre o ite do produto de funções, temos (porque f(x) x x0 g(x) f(x)h(x) = x x 0 =, ) como se pretendia. f(x) x x0 g(x) g(x)h(x) = g(x)h(x) x x 0 x x0 Por outras palavras, o teorema demonstrado diz que calculando o ite do produto f(x)h(x), onde f(x) 0, é possível substituir f(x) por qualquer outra função g(x) equivalente à função f(x) quando x x 0 x x 0. 39

40 sen x Exemplo. Determinar o ite. Como sen x x quando x 0, em virtude x 0 ln (+x) do teorema precedente obtemos de imediato x 0 Exemplo 2. Determinar o ite sen x ln ( + x) = x 0 sen 5x x 0 tg x. x ln ( + x) =. Como sen 5x 5x e tg x x quando x 0, em virtude do teorema precedente obtemos de imediato sen 5x x 0 tg x = 5x x 0 x = Noção de continuidade de funções. Podemos ter uma ideia de continuidade de uma função do ponto de vista geométrico: uma função diz-se contínua, se o seu gráfico for contínuo. Mas, o que significa o gráfico ser contínuo? Um gráfico pode ter saltos e neste caso não é contínuo. Mas a descontinuidade de uma função pode ter uma natureza mais complicada. Por exemplo, a função { sen y =, x 0 x 0, x = 0 não é contínua no ponto x = 0. Estes exemplos mostram que precisamos da definição geral e rigorosa de continuidade. Definição. Uma função f(x) chama-se contínua num ponto x 0, se neste ponto existir o ite f(x) da função f(x) e este ite coincidir com o valor da função f(x) nesse ponto: x x0 x x 0 f(x) = f(x 0 ). Por outras palavras, usando a linguagem das letras δ e ε, podemos dizer que continuidade da função f(x) no ponto x 0, significa o seguinte: Para qualquer ε > 0 existe um δ > 0 tal que para todo o x tal que x x 0 < δ. f(x) f(x 0 ) < ε A definição enunciada chama-se definição de Cauchy. Definição. Uma função f(x) diz-se contínua num conjunto E se ela é contínua em cada ponto desse conjunto. Por exemplo, a função f(x) = é contínua no intervalo semifechado (0, b] para qualquer x b > 0. Mas ela não é contínua no ponto x = 0, visto que x 0 =. 40