O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIMÉTRICOS. Marco Antonio Travassos 1, Fernando Pereira Sousa 2

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1 31 O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIMÉTRICOS Marco Antonio Travassos 1, Fernando Pereira Sousa 2 1 Aluno do Curso de Matemática CPTL/UFMS, bolsista do Grupo PET Matemática/CPTL/UFMS; 2 Professor do Curso de Matemática CPTL/UFMS. sr.marcotravassos@gmail.com RESUMO Neste presente trabalho trataremos sobre diagonalização de operadores, ou seja, dado um operador linear, queremos determinar uma base de, em relação a qual, a matriz de seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal. Aqui estaremos interessados num tipo particular de operadores, os operadores simétricos. Na álgebra linear existe um resultado importante conhecido como o teorema Espectral para operadores auto-adjuntos. O teorema Espectral para operadores simétricos é um caso particular deste resultado e apresentaremos uma demonstração, para esse caso particular, de uma maneira mais simples e rápida. Também, apresentaremos uma demonstração do teorema espectral para operadores simétricos, no contexto das matrizes reais. Palavras-chave: Autovetores, diagonalização, operador adjunto, operadores simétricos, teorema espectral. INTRODUÇÃO O presente trabalho é sobre o teorema Espectral para operadores simétricos. A teoria espectral tem como objetivo principal estudar espaços vetoriais e operadores lineares, buscando descrever de forma simples a atuação dos operadores. Os teoremas espectrais são fundamentais na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovetores para alguns tipos de operadores, isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os cálculos. O objetivo desse trabalho é fazer a prova do teorema Espectral para operadores simétricos de uma maneira simples e que possa ser compreendida integralmente por qualquer estudante que tenha concluído um curso introdutório de álgebra linear. O trabalho está organizado em duas secções, sendo que na primeira secção contém algumas definições para que o leitor possa se familiarizar com o texto e também uma condição necessária e suficiente para que seja um operador diagonalizável. Por fim, na segunda secção apresentaremos o teorema Espectral para operadores simétricos e uma demonstração do teorema Espectral para operadores simétricos no contexto das matrizes reais, que é o principal objetivo deste trabalho.

2 32 METODOLOGIA O trabalho é resultado de uma pesquisa teórica, desenvolvido através de discussões do tema com o orientador e apresentações de seminários como parte das atividades do programa PET - Matemática no estudo de Introdução à Álgebra Linear. O trabalho incluiu uma etapa de leitura e resoluções de exercícios, desenvolvimento das atividades propostas e a tabulação dos resultados obtidos. O estudo e as atividades desenvolvidas foram avaliados através da apresentação de seminários de discussão. RESULTADOS 1. Conceitos Básicos Para que a leitura posterior deste trabalho seja feita de maneira mais rápida, decidimos expor aqui os conceitos básicos que serão usados neste trabalho. Tais definições, proposições, lemas e teoremas podem ser encontrados em, -. Uma observação a ser feita é que neste trabalho estaremos considerando apenas espaços vetoriais de dimensão finita e munidos de produto interno. Definição 1. Seja um espaço vetorial de dimensão finita, munido de produto interno. Para cada operador linear existe um único operador linear tal que para quaisquer. O operador é chamado de operador adjunto de. Quando dizemos que é um operador simétrico. O resultado a seguir mostra como podemos obter a partir de uma representação matricial de. Proposição 1. Para toda base ortonormal de e para todo operador linear em, temos que, - (, - ) Para demonstrarmos a proposição acima, vamos precisar do seguinte resultado, cuja demonstração omitiremos. Lema 1. Seja * + uma base ortonormal de. Se, - é a matriz que representa um operador em, com relação à base, ou seja,, -, então, para todos. Demonstração 1. Considere as matrizes, -, - e, -, -. Pelo Lema 1, e, para todos. Logo,

3 33 para todos, provando o resultado. Pela Proposição 1, observamos que se é um operador simétrico em, então para toda base ortonormal de temos, - (, - ) Assim, é simétrico se, e somente se,, - é uma matriz simétrica. Observemos que o fato de um operador ser simétrico não depende da base ortonormal escolhida. Portanto, se, - for uma matriz simétrica em uma determinada base ortonormal, então, - será também simétrica para qualquer outra base ortonormal. Definição 2. Um operador linear é dito ser um operador ortogonal quando Em outras palavras, é um operador ortogonal quando é invertível e. Definição 3. Uma matriz é dita ser ortogonal quando Em outras palavras, é uma matriz ortogonal se é invertível e. Segue imediatamente da definição que uma matriz é ortogonal se, e somente se, a matriz. Proposição 2. Se e são bases ortonormais de, então a matriz mudança de base, - é uma matriz ortogonal. Proposição 3. Um operador linear admite uma base em relação á qual a matriz, - é diagonal se, e somente se, essa base for formada por autovetores de. Suponhamos que * + é uma base de tal que, - é diagonal, digamos,, - [ ] Como, para cada,, segue que é um autovalor de e é um autovetor de associado a. Portanto, é uma base formada de autovetores de.

4 34 Reciprocamente, suponhamos agora que * + é uma base de formada por autovetores de. Existem, então, números reais tais que, para cada,. Observamos que os 's não são necessariamente todos distintos. Pela definição de, -, temos, - [ ] ou seja,, - é uma matriz diagonal. Na demonstração da Proposição 3 fica claro que, se um operador linear tem uma representação por uma matriz diagonal, -, então as entradas da diagonal principal de, - são dadas pelos autovalores de. Mais ainda, a ordem em que os autovalores aparecem na diagonal principal da matriz é a mesma em que seus respectivos autovetores são dados na base. Se é um operador linear em um espaço de dimensão, a proposeção 3 nos diz que é diagonalizável se, e somente se, tem autovetores linearmente independentes. Em particular, se tem autovalores distintos, então é diagonalizável. Vimos que é um operador diagonalizável se, e somente se, existe uma base de formada por autovetores de. Veremos que se é um espaço com produto interno e se é um operador simétrico, então existe uma base ortonormal de formada por autovetores de. Em particular, todo operador simétrico é diagonalizável. Proposição 4. Seja um espaço vetorial de dimensão finita sobre. Se é um operador simétrico e uma base de, então, todas as raízes do polinômio característico, - são números reais. 2. O Teorema Espectral O próximo resultado nos garante que todo operador simétrico é diagonalizável. Este resultado é conhecido como Teorema Espectral e é um dos resultados mais importantes da Álgebra Linear. Teorema 1. Seja um espaço de dimensão finita sobre. Se é um operador simétrico, então existe uma base ortonormal de tal que, - é diagonal.

5 35 Demonstração. Faremos a prova por indução sobre a dimensão de. Denotaremos a matriz, - por. Se dim, o resultado é óbvio. Suponhamos que e que o resultado é válido para espaços de dimensão. Seja um espaço vetorial tal que dim. Seja uma base de e seja uma raiz complexa de polinômio. Pela Proposição 4,. Portanto, é um autovalor de. Seja um autovetor unitário de associado a. Consideremos o subespaço * + Note que. Afirmamos que. De fato, seja. Como é um operador simétrico, temos que, donde. Assim, podemos considerar o operador restrição, que é também um operador simétrico. Além disso, como dim, -, segue que dim. Assim, podemos aplicar a hipótese de indução ao operador para garantir a existência de uma base ortonormal * + de formada por autovetores de (logo de ). Consequentemente, * + é uma base ortonormal de formada por autovetores de. Daí,, - é diagonal. Reciprocamente, se é uma base ortonormal de formada por autovetores. Então, pela proposição 3 temos que, - é diagonal. Como, - é diagonal, então, - é simétrica. Logo, é um operador simétrico. O próximo resultado é a versão matricial do Teorema 1. Teorema 2. Se é simétrica, então existe uma matriz ortogonal tal que é diagonal. Demontração. Seja uma matriz simétrica. Então o operador também é simétrico. Pelo Teorema 1, existe uma base ortonormal de tal que, - é diagonal. Se é a base canônica de, então, -, -, -, -, sendo, -. Como e são bases ortonormais, segue da Proposição 2 que é uma matriz ortogonal, ou seja,. A recíproca deste resultado também é verdadeira. Para demonstra-la temos que provar que. Por hipótese, existe uma matriz tal que é diagonal. Entretanto, como é ortogonal então,

6 36 Portanto, como queríamos demonstrar. DISCUSSÃO O teorema espectral para operadores simétricos é fundamental na álgebra linear por garantir a existência de uma base ortonormal de autovetores para operadores simétricos. Isto implica que o operador seja diagonalizável o que facilita os cálculos. Desta forma podemos fazer o reconhecimento de cônicas, quádricas e tornar o cálculo de composição de funções reais mais simples entre outras aplicações. Neste trabalho estudamos operadores lineares em um espaço vetorial sobre os reais, mas poderíamos estender esses resultados para um espaço vetorial sobre. Nesse último caso os operadores são chamados de operadores hermitianos. O caso que tratamos aqui é um caso particular do teorema Espectral para operadores auto-adjuntos. Os operadores auto-adjuntos são compostos pelos operadores simétricos e os hermitianos. Também existem diversas generalizações do teorema Espectral, bem como para operadores unitários, operadores normais e operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert. CONCLUSÃO Neste trabalho abordamos o assunto, diagonalização de operadores, Vimos que é um operador diagonalizável se, e somente se, existe uma base de formada por autovetores de. Concluímos que se é um espaço vetorial de dimensão finita sobre e se é um operador simétrico, então existe uma base ortonormal de tal que a matriz de em relação à base é diagonal. Acreditamos que nosso objetivo principal foi atingido e como resultado obteve um texto claro, bem estruturado, acessível a diversos estudantes, mesmo que não possuam muito conhecimento sobre o assunto. Este trabalho foi muito importante para os meus estudos, pois me permitiu o aprofundamento neste tema bem como aperfeiçoar competências de investigação, organização e comunicação da informação.

7 37 REFERÊNCIAS 1. HEFEZ, Abramo. Introdução à Álgebra Linear/Abramo Hefez; Cecília de Souza Fernandez. Rio de Janeiro: SBM, p. (Coleção PROFMAT, 01). 2. Coelho, Flávio Ulhoa. Um Curso de Álgebra Linear/Flávio Ulhoa Coelho, Mary Lilian Lourenço.-2. ed. rev. e ampl., 2. reimpr.-são Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, (Acadêmica, 34).