1. Escreva aproximações com três e cinco algarismos significativos correctos para os números: π, 1 3, 1 11, e 3.

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1 Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Métodos Numéricos e Estatísticos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia, 29/2 a Parte: Métodos Numéricos Teoria de erros. Escreva aproximações com três e cinco algarismos significativos correctos para os números: π,,, e., 6 2, 2. Sejam x, y e z três quantidades exactas. Por arredondamento obtiveram-se as seguintes aproximações: x = 2, ȳ = 2. e z = 2.7. (a) Conte o número de casas decimais correctas nas aproximações e calcule limites superiores para o erro absoluto em cada uma delas. Compare os resultados e comente. (b) Conte o número de algarismos significativos correctos nas aproximações e calcule limites superiores para o erro relativo em cada uma delas. Compare os resultados e comente. ( ) 5. Utilizando o desenvolvimento em série de Taylor de ln( + x) em torno de x =, calcule ln com duas casas decimais correctas.. Quantos algarismos significativos pode garantir que existam no resultado do produto de.2 por.2579, supondo que os algarismos representados nestas aproximações são todos significativos correctos? Justifique. 5. Considere w = ln x y. Sendo x = 2., ȳ =.7 e z =. valores aproximados de x, y e z, respectivamente, z 2 obtidos por conveniente truncatura e arredondamento. Determine uma aproximação para w e uma estimativa do erro absoluto cometido nessa aproximação. 6. A reactância de um condensador é dada pela expressão X c = 2πfc onde X c = reactância capacitiva (Ω), f = frequência (Hz) e c = capacidade. Determine o erro absoluto máximo para X c se f = ± Hz, c = 7 ± % e π.. 7. Pretende-se calcular o volume de um cone de revolução ( V = πr2 h ) com um erro que não ultrapasse 5 cm, com r 2.5cm e h 2.cm. Com que rigor se deve medir o raio da base (r) e a altura (h), se usarmos π com três algarismos significativos correctos? 8. Para determinar a resistência de uma bobina utilizou-se a expressão R = ρ l Ω. Com que rigor se devem ler os s valores de ρ, l e s para garantir que o erro na medição de R não exceda 5 2 Ω, sabendo que ρ Ω, l 5.cm e s 9.7cm 2? 9. Pretende-se determinar a massa de uma esfera M = πr u com um erro inferior a %. Determine majorantes para os erros relativos do raio e da massa específica (u) por forma a garantir a precisão desejada, quando utiliza nos cálculos o valor π com duas casas decimais correctas.

2 . Um cilindro tem uma base de raio r 2m e uma altura h m. Com que erros absolutos devemos medir r e h de modo a que o volume V do cilindro seja obtido com uma precisão de.m?. Pretende-se calcular o valor de π 2 com três casas decimais correctas. Que valores aproximados de π e 2 se devem utilizar para garantir essa precisão? 2. A espessura de um depósito cilíndrico é dada pela fórmula ( E = ) V ρ k 2π h Pretende-se calcular E com um erro E.5cm usando V 25 6 cm, h 5cm, ρ 25cm, k.55 e k.. Qual o erro que se pode admitir nos valores de V, r e ρ supondo que nos cálculos tomámos π com quatro algarismos significativos correctos?. Sejam x = 9999 e q = Considerando mantissas normalizadas de dígitos: (a) Determine a diferença entre eles e majorantes para o erro relativo e absoluto; Comente os resultados; (b) Indique um processo de cálculo alternativo que evite o fenómeno de cancelamento subtractivo.. Considere a equação x 2 x + = cujas raízes são x = e x 2 = Usando notação de vírgula flutuante com 6 dígitos na mantissa, determine (a) As raízes da equação pela fórmula resolvente; Comente os resultados e explique o fenómeno que está na sua origem; (b) Indique um processo alternativo para o cálculo das raízes (sugestão: comece por mostrar que x x 2 = c a ). Equações não lineares 5. Um reservatório de comprimento L tem secção transversa semi-circular de raio r. Quando o nível da água está à distância h do topo, o volume é dado por [ ( ) h V (h) = L.5πr 2 r arcsin h ] r r 2 h 2. Determine, usando o método da bissecção, a distância h, com um erro inferior a, quando V =., L = 8 e r = Localize graficamente as raízes das seguintes equações e determine um valor aproximado de uma delas, utilizando o método da bissecção com erro que não exceda.5: (a) ln(x ) x = (b) x e x = 7. Determine o número de iterações necessárias para aproximar, pelo método da bissecção com uma precisão de, a solução de x x = no intervalo [, 2]. Determine tal aproximação com o grau de precisão indicado. 8. A concentração de um poluente num lago, no instante t é dada por: C = 7e 2t + 2e.t. Determine, pelo método da bissecção, o tempo necessário para a concentração atingir o valor. 9. Mostre que x = cos x tem uma solução α. Obtenha em seguida um intervalo [a, b] que contenha a referida raíz e 2 tal que para todo o x nesse intervalo a sucessão x n+ = 2 cos x n, n =,, 2,... convirja para α. Justifique. 2

3 2. Determine todos os zeros de f(x) = x 2 + cos x, com um erro inferior a, usando o método do ponto fixo. 2. Determine uma aproximação para a maior raíz de e x x 2 = usando o método do ponto fixo. Indique um majorante para o erro da aproximação obtida. 22. Num reactor batelado isotérmico com reacção de primeira ordem, verifica-se que o máximo rendimento global do produto é obtido quando o tempo de reacção t r satisfaz a equação kt r = ln ( + kt r + kt p ), onde k é a velocidade específica da reacção e t p é o tempo perdido entre bateladas (arrefecimento do produto, carga, descarga, limpeza, etc.). Usando o método do ponto fixo, determine t r quando k = e t p =.. 2. Derive um processo iterativo para calcular a raiz positiva de índice p de um número c >, aplicando o método de Newton à equação x p c =. 2. Pretende-se calcular a área limitada superiormente pela recta que passa pelos pontos de coordenadas (e, ) e (, 2) e inferiormente pela curva y = ln x. (a) Determine um intervalo de amplitude não superior a que contenha a menor abcissa dos pontos de intersecção das referidas curvas. (b) Calcule um valor aproximado do limite inferior do intervalo de integração necessário para calcular aquela área. 25. Use o método de Newton para aproximar, com erro inferior a o valor de x correspondente ao ponto do gráfico de y = x 2 mais próximo de (, ). 26. Localize graficamente todas as raízes reais das equações seguintes e aproxime a menor positiva usando os métodos de Newton e da bissecção: (a) 2 cos x cosh x = (b) x 2 ln(x + ) = (c) x cos x = (d) ln x e x + = Compare os resultados obtidos. 27. A equação da reacção química reversível 2A + B C pode ser caracterizada pela relação de equilíbrio K = C C CA 2 C, onde C A, C B B e C C são, respectivamente, as concentrações dos produtos A, B e C. Denotamos por x o número de moles de produto de reacção C obtidas. Usando a lei da conservação da massa podemos dar a seguinte formulação à relação de equilíbrio: K = C C, + x (C A, 2x) 2 (C B, x), onde o índice se refere às concentrações iniciais. Usando o método de Newton, determine x, supondo K =.25 2, C A, = 5, C B, = e C C, =. 28. Determine a distância mínima, na vertical, entre as curvas definidas por y = e x e y = ln(x). 29. Um objecto de massa m = Kg é largado de uma altura s = m, podendo o espaço percorrido após t segundos ser traduzido por s(t) = s + mg k t m2 g k 2 ( e kt/m ) onde k =.5Kg/seg representa a resistência do ar e g = 9.8m/seg 2. Use o método do ponto fixo para aproximar o tempo necessário para que o objecto atinja o solo.

4 . A fórmula de Colebrook para escoamentos turbulentos imcompressíveis num tubo relaciona o factor de atrito de Moody f com o número de Reynolds R: ( ) R f f ln = Use esta fórmula e o método da secante para determinar f quando R =. Sistemas de equações. Dadas as matrizes 5 A = 2 B = 2 C = 2 e B , calcule A, A, B 2. Calcule o raio espectral das seguintes matrizes 2 2 A = B = C = 2 2. Aplicando o método de Jacobi, determine a solução do sistema seguinte começando com uma aproximação inicial X () = [ ] T 6 2 x x 2 = 7 x. Considere o sistema x +5y +2u = 8 x +y +z = x y +z u = 2x y +z +8u = Conclua, a partir da matriz do sistema, se pode tirar conclusões sobre a convergência do método iterativo de Jacobi. Em caso negativo, reescreva o sistema de forma a ter essa garantia. 5. Considere o sistema de equações lineares 2x +2y +6z = 8 x +2y +9z = 2 2x 7y 2z = 57 a) Decomponha a matriz do sistema tendo em vista a utilização do método de Gauss-Seidel para a resolução aproximada do sistema. b) Aplicando a alínea anterior, verifique se o referido método é convergente. c) Calcule, aplicando o método de Gauss-Seidel, a solução do sistema em duas iterações. 6. Considere o sistema Ax = b, com α 2.7 A =, b = 2. 2 e x = x x 2 x a) Diga, justificando, que valores pode tomar o parâmetro α de modo a poder aplicar o método iterativo de Jacobi na aproximação da resolução do sistema dado. b) Da análise directa da matriz A (com α = ) que pode concluir a respeito da convergência da sucessão de aproximações geradas pelo método?

5 c) Mostre que a sucessão referida na alínea anterior é convergente para a solução do sistema e determine um valor aproximado da solução, aplicando duas vezes o método iterativo de Jacobi. 7. [ Pretende-se] resolver [ ] o sistema [ ] 2 /2 x 5/2 = a x 2 /2 aplicando um dos métodos iterativos estudados. a) Determine o menor valor inteiro positivo de a, por forma a poder garantir que a sucessão de aproximações geradas pelos referidos métodos convirja para a solução. b) A partir da aproximação [x, x 2 ] T = [5/, /] T, execute o número de aproximações necessárias para que o erro entre duas aproximações consecutivas não exceda 5 2, quando se utiliza o método de Jacobi. c) Nas condições da ałínea anterior, aplique o método de Gauss-Seidel e compare os resultados. 8. Considere o sistema Ax = b onde 2 A = /2 6, b = 6 e x = a) Construa a matriz de iteração, M, do método de Jacobi para o sistema dado. b) Escreva a equação característica da matriz M e mostre que ρ(m) <. x x 2 x c) Aproxime a solução do sistema, aplicando o método de Jacobi, indicando o valor da norma de Ax (2) b para essa aproximação. 9. Seja M = a) Determine a equação característica de M e, a partir dela, localize e separe os valores próprios de M, enunciando os teoremas que utilizou. b) Suponha que M é a matriz de iteração de um método iterativo que aproxima a solução dum sistema linear Ax = b. A partir das alíneas anteriores, que conclusões pode tirar quanto à convergência deste método iterativo? Justifique convenientemente a sua resposta. c) Determine o raio espectral de M, utilizando o método da potência.. [ Pretende-se resolver ] o sistema linear [ a x = b pelo método iterativo a a a) Para que valores de a é o método convergente? Justifique. ] [ a x (k+) = ] x (k) + b b) Considerando a = /2 e b = (, ) T determine a solução aproximada do sistema usando o método de Gauss- Seidel. Indique o erro obtido ao fim de duas iterações. [ ] 6. Seja A = 2 5 a) Determine o raio espectral de A. b) Pretende-se resolver o sistema Ax = b pelo método de Jacobi. Que conclusões pode tirar, do resultado da alínea anterior, acerca da convergência deste método? c) Suponha que ao resolver um sistema do tipo Cx = f, pelo método de Gauss-Seidel, a matriz de iteração resultante é a matriz A. Que pode afirmar sobre a convergência do mesmo método? 5

6 2. Considere o seguinte sistema de equações { x 2x 2 2x y = 2 x = y. Clacule uma aproximação da sua solução, usando o método de Newton, começando com a proximação inicial x () = y () =.. Determine uma aproximação da solução do seguinte sistema { xy 2 2x 2 y = 2 2x y + xy =. começando com a aproximação inicial x () =.5, y () =.. Considere a equação e x = tan x. a) Escreva a equação como um sistema de duas equações a duas incógnitas. b) Efectue três iterações do método de Newton, considerando como aproximação inicial um ponto do gráfico de uma das funções. 5. Num movimento oscilatório, o deslocamento de uma massa em relação à posição de equilíbrio, é dado por [ x(t) =.e βt cos(ωt) β ] ω sin(ωt). Medidas efectuadas durante o movimento, forneceram os seguintes valores t..8 x Use o método de Newton para determinar β e ω. Interpolação polinomial 6. Usando a fórmula interpoladora de Lagrange, determine o polinómio P (x) definido pelos pontos (, ), ( 2, 2), (, ) e (, ). 7. Determine uma aproximação de sin π 8 usando o polinómio interpolador (de Lagrange) de grau 2, no intervalo [, π 2 ]. 8. Considere a função f(x) = cos x, x [, π]. Determine o número de pontos a considerar no intervalo dado, para que o erro máximo da aproximação de f(x) por um polinómio interpolador nesses pontos seja inferior a Seja f(x) dada pela seguinte tabela: x i f(x i ) 2-2 a) Calcule o polinómio interpolador usando as diferenças divididas. b) determine uma aproximação para o valor de f(.5). 5. Considere a tabela x i -2-2 P (x i ) b + b + 2 a 6

7 referente a um polinómio de grau. a) Determine a e b, sem calcular o polinómio interpolador. b) Ampliando a tabela, determine o valor do polinómio em. c) Determine o polinómio interpolador. 5. De uma função f conhece-se a seguinte tabela. Determine x tal que f(x ) =. x i -2 f(x i ) Determine aproximadamente o zero da função f(x) = ln( + x 2 ) e x no intervalo [, ]. Calcule o erro cometido na aproximação. 5. Mostre que o polinómio P (x) que toma os valores P () = f, P () = f, P () = f e P () = f, é dado por P (x) = ( x) 2 ( + 2x)f + x( x) 2 f + x 2 ( 2x)f + x 2 (x )f 5. Considere a seguinte tabela referente a uma certa função f(x) x i 2 5 f(x i ) Construa o polinómio interpolador de maior grau de f(x) no intervalo [, 5], usando a tabela das diferenças divididas. 55. Usando interpolação segmentada, a) Construa um polinómio cúbico para aproximar f(x) = cos πx no intervalo [, ], considerando a seguinte partição,.25,.5,.75,. b) Integre o polinómio cúbico obtido no intervalo [, ] e compare o resultado obtido com cos πxdx =. c) Usando a primeira e a segunda derivadas do polinómio cúbico determinado na alínea a), aproxime os valores de f (.5) e f (.5). Não se esqueça de comparar o resultado obtido por aproximação com os valores reais. 56. Consideremos um automóvel que se desloca com um movimento rectilíneo e é cronometrado num determinado número de pontos. A seguinte tabela contém a informação recolhida nas cronometragen (o tempo está expresso em segundos, a distância em metros e a velocidade em m/s). tempo 5 8 distância velocidade a) Usando interpolação segmentada cúbica, preveja a posição e a velocidade ao fim de s. b) Use a primeira derivada do polinómio cúbico determinado em a) para saber se o automóvel excederá ou não a velocidade de 55mph. Caso tal aconteça indique o ponto onde tal se verifica pela primeira vez. c) Qual será a velocidade máxima prevista para o carro? Integração numérica 57. Determine um valor aproximado do integral a) a regra simples dos trapézios. b) a regra simples de Simpson. e x dx usando 7

8 c) Indique um limite superior para o erro cometido em cada um dos casos. 58. Dada a função f(x), definida no intervalo [, ] por { x, x.5 f(x) = x,.5 x, determine f(x)dx usando a regra simples dos trapézios e a regra simples de Simpson. 59. Pretende-se calcular um valor aproximado para o integral l = 2 ln x dx. a) Use a regra de Simpson para obter l com três casas decimais correctas. b) Sem calcular o valor exacto de l diga, justificando, se a aproximação da área foi calculada por defeito ou por excesso. 6. A função f(x) é dada pela seguinte tabela: x i..2. f(x i ) a) Obtenha uma aproximação para. f(x) dx pela fórmula trapezoidal composta. b) Calcule uma estimativa para o erro obtido com tal aproximação. 6. Considere a seguinte tabela da função f(x): x i f(x i ) a) Será possivel calcular f(x) dx usando a regra dos trapézios com um erro que não exceda? Justifique a sua resposta. b) Calcule uma aproximação para o valor do integral. 62. Use a fórmula dos trapézios composta para aproximar 2 x ln x dx considerando n =. 6. Seja l = 2 xe2x dx a) Qual o menor número de pontos que deve considerar em [ 2, ] por forma que o erro cometido no cálculo de l não exceda.5 quando utiliza a regra dos trapézios? b) Calcule o valor aproximado de l de acordo com a alínea anterior. 6. Aproxime π sin x dx com um erro absoluto inferior a.2, usando a regra de Simpson composta. 65. Pretende-se calcular o valor aproximado do integral π/2 π/ esin x dx pela regra dos trapézios com um erro de truncatura que não exceda eπ. a) Determine o menor número de subintervalos em que se deve dividir o intervalo de integração para obter o resultado obtido. b) Indique os pontos em que se deve conhecer o valor da função integranda e os cálculos a efectuar para obter o valor aproximado do integral usando a regra referida. 66. Calcule o valor aproximado do integral R e (x+y) dxdy onde R é a região definida pelas curvas y = x 2 e y = x. 8

9 67. Um fluido atravessa a secção de um tubo com a velocidade ) v(r) =. ( rr 7, com r = cm o raio da secção circular do tubo e r a distância radial ao centro da secção. Usando a regra dos trapézios composta, determine a quantidade Q de fluido que atravessa a secção por unidade de tempo, dada por Q = r 2πrv(r)dr. 68. Várias soluções de problemas da Física Clássica, como por exemplo, a distribuição de temperatura numa barra, ou a distribuição da velocidade de um fluido sobre uma superfície acelerada, incluem a função erf( ), definida por erf(x) = 2 x e t2 dt. π Utilize fórmulas com três pontos (trapézios e Simpson) para aproximar o valor de erf(.6). 9