Matemática I Conceito de Função Plano Cartesiano. Prof.: Joni Fusinato

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1 Matemática I Conceito de Função Plano Cartesiano Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com 1

2 Matemática, 1º Ano, Função: conceito Conceito de função: um pouco da história O conceito de função, presente em diferentes ramos da ciência, teve sua origem na tentativa de filósofos e cientistas em compreender a realidade e encontrar métodos que permitissem estudar e descrever os fenômenos naturais. Ao longo da História vários matemáticos contribuíram para que se chegasse ao conceito atual de função. Imagem : Christoph Bernhard Francke / Portrait of Gottfried Leibniz, c / Herzog-Anton-Ulrich-Museum, Braunschweig / Public Domain. Ao matemático alemão Leibniz ( ) atribui-se a denominação função que usamos hoje.

3 Matemática, 1º Ano, Função: conceito Conceito de função: um pouco da história A representação de uma função pela notação (x) (lê-se: de x) foi atribuída ao matemático suíço Euler ( ), no século XVII. O Matemático alemão Dirichlet ( ) escreveu uma primeira definição de função muito semelhante àquela que usamos atualmente. Peter G. L. Dirichlet

4 Noção intuitiva de função Em Joinville, um taxista cobra R$ 5,25 de bandeirada (comum) mais R$ 2,90 por quilômetro rodado (bandeira 1) ou R$ 3,80 (bandeira 2). Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, qual o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros na bandeira 1? Preço a pagar (p) = 5,25 + R$ 2,90 vezes o número de quilômetros rodados (x) p = 2,90.x + 5,25 (lei da função ou fórmula matemática da função)

5 O diagrama a seguir considera a quantidade de litros de gasolina e os seus respectivos preços a pagar em um posto de combustível na cidade de Joinville: Quantidade de litros (l) x Preço a pagar (R$) 3,77 7,54 11, ,50 3,77x O preço a pagar é dado em função da quantidade de litros que se coloca no tanque, ou seja o preço depende do número de litros comprados. Agora, responda: a) Qual é o preço de 10 litros de gasolina? b) Quantos litros de gasolina podem ser comprados com R$ 67,40? Preço a pagar (p) = R$ 3,77 vezes o número de litros (x) comprados p = 3,77.x (lei da função ou fórmula matemática da função)

6 A noção de função por meio de conjuntos 1) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão os números inteiros e em B, outros. Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B A Note que: - todos os elementos de A têm correspondente em B; - a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x. B

7 2) Dados A = {1, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B: A B Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 1 de A correspondem três elementos de B, e não apenas um único elemento de B.

8 Matemática, 1º Ano, Função: conceito 3) Dados A = {- 4, - 2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A aos elementos de igual valor em B A B Observe que há elementos em A que não têm correspondente em B. Nesse caso, não temos uma função de A em B.

9 Definição e notação Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma relação que indica como associar cada elemento x do conjunto A a um único elemento y do conjunto B. A x B f(x) : A B A cada elemento x de A corresponde um único elemento (x) de B, levado pela função.

10 Exemplo

11 Uma pausa para um vídeo... No link vamos assistir um vídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Vídeo: Descobrindo o algoritmo de Guido Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar as definições e exemplos de relação e de função. 2. Mostrar uma conexão histórica entre a música Gregoriana e a Matemática. Sinopse Um jovem aprende o segredo do monge Guido para compor músicas devocionais, no estilo Gregoriano. O segredo envolve relações entre um conjunto de notas musicais e um conjunto de letras do alfabeto.

12 Domínio, contradomínio e conjunto imagem O diagrama de flechas a seguir representa uma função f de A em B. Vamos determinar: a) D(f) b) CD(f) D(f) = 2, 3, 5 ou D(f) = A c) Im (f) d) f(3) Im(f) = 4, 6, 10 f(3) = 6 e) f(5) f) x para f(x) = 4 f(5) = 10 x = A B CD(f) = 0, 2, 4, 6, 8, 10 ou CD(f) = B

13 Uma pausa para um vídeo... No link vamos assistir um vídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Vídeo: Carro Flex Série Matemática na Escola Objetivos 1. Recordar conceitos básicos relacionados a funções; 2. Exemplificar o uso de funções no cotidiano. Sinopse Frentista ajuda cliente a descobrir quais são as proporções de álcool e gasolina que devem ser abastecidas em seu carro flex para que o custo tenha um valor preestabelecido.

14 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Sistema Cartesiano de Coordenadas Foi o matemático e filósofo francês René Descartes o criador da parte da Matemática que relaciona as ideias da Álgebra com a Geometria, chamada de Geometria Analítica. Em sua homenagem, o sistema de coordenadas foi denominado plano cartesiano.

15 Reta dos números reais Quando estudamos o conjunto dos números reais (R), verificamos que o número zero fica localizado entre os números reais positivos e os números reais negativos. -2,5 +2,

16 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Sistema Cartesiano de Coordenadas O plano cartesiano é formado por uma região geométrica plana, cortada por duas retas perpendiculares entre si. Eixo das ordenadas. Retas perpendiculares formam ângulos de 90 0 entre si. Eixo das abscissas. A reta horizontal é denominada de eixo das abscissas. Representada por x, x R. A reta vertical é denominada de eixo das ordenadas. Representada por y, y R.

17 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Sistema Cartesiano de Coordenadas As retas dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. Denomina-se par ordenado ao par (x, y), no qual o primeiro elemento pertence ao eixo das abscissas e o segundo elemento pertence ao eixo das ordenadas.

18 Exemplo Localizar no plano cartesiano xoy os pontos: a) A (2, -3) b) B (-5, 1) y B x -3 A

19 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplo Localizar no plano cartesiano xoy os pontos: a) A (-5, 0) b) B (0, -4) y A x - 4 B

20 Na figura a seguir, temos um recorte do layout de uma planilha do Excel. Nele, consta uma lista de compras feita por uma família pernambucana. Nessas condições, relacionando as linhas e colunas dessa planilha, indique as coordenadas da posição da célula do Excel em que está o AZEITE. Imagem: Vania Teofilo / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

21 Analisando o layout do recorte do Excel, podemos concluir que a posição do AZEITE é 3C.

22 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplo No mapa-múndi a seguir, temos a localização geográfica de alguns lugares, representados pelas letras A, B, C, D e E. Identifique as coordenadas geográficas dos lugares representados pelas letras A e B, a partir dos conceitos estudados sobre o plano cartesiano e utilizando também a latitude e a longitude, respectivamente, dos lugares propostos. Latitude: é distância medida em graus de um ponto qualquer da superfície terrestre em relação à linha do equador. Longitude: é distância medida em graus de um ponto qualquer da superfície terrestre em relação ao meridiano de Greenwich.

23 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Qual a localização desses dois pontos? Imagem: Roke / GNU Free Documentation License. A B

24 Solução N Imagem: Roke / GNU Free Documentation License. W A B L Longitude: linhas verticais. S Traçando o plano cartesiano, temos: A (Latitude: 40 0 N; Longitude: 80 0 W) B (Latitude: 20 0 S; Longitude: 40 0 W) Latitude: linhas horizontais.

25 Atividades No plano cartesiano a seguir, estão localizados alguns pontos. Determine as coordenadas desses pontos. A(3, 2), B(-3, 3), C(0, 0), D(-3, -2) e E(1, -3) B y A D C E x

26 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos Desenhe no plano ocartesiano/pares plano cartesiano ordenados no caderno e, em seguida, localize os pontos abaixo. Indique também seus respectivos quadrantes. a) P (-3, 4) b) M (0, -5) c) N (-4, -6) d) K (5, 0)

27 Solução P y K x P(-3, 4) - 2º Quadrante M(0, -5) - Ordenada N (-4, -6) - 3º Quadrante K(5, 0) Abscissa N M

28 Gráfico de uma função O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que tenham x pertencente ao domínio da função e y = f(x). Reconhecimento do gráfico de uma função Um gráfico representa uma função se para cada elemento do domínio existe apenas um único correspondente no contradomínio. Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular ao eixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto.

29 Reconhecimento do gráfico de uma função y y y x x x Qualquer reta perpendicular ao eixo Ox intercepta o gráfico em um único ponto; portanto, o gráfico representa uma função de x em y. Existem retas perpendiculares ao eixo Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y. Existem retas perpendiculares ao eixo Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y.

30 Domínio e imagem a partir do gráfico y f(b) Imagem: f(a) y f(b) ou [f(a), f(b)] f(a) a b x Domínio: a x b ou [a, b]

31 Matemática, 1º Ano, Função: conceito Atividade (ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar a vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absoluta foram Imagem: INEP-MEC a) março e abril. b) março e agosto. c) agosto e setembro. d) junho e setembro. e) junho e agosto. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas foram junho e agosto. Portanto item E. Agora analise os intervalos onde aconteceram crescimento (aumento) ou decrescimento (queda) das vendas do medicamento em questão.

32 A função y = f(x) é crescente para 1 x < 3, decrescente para 3 x < 4 e é constante para x 4. O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x) é: Imagem: SEE-PE

33 Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [ 5, 6]. Essa função é decrescente em: Imagem: SEE-PE a) [ 5, 3] U [3, 5] b) [ 3, 0] U [0, 3] c) [ 3, 1] U [5, 6] d) [ 3, 0] U [5, 6] e) [ 1, 2] U [2, 4]

34 Matemática, 1º Ano, Função: conceito Aplicação de função na Biologia... (ENEM) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana. Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? Imagem: INEP - MEC a) Terça-feira. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira. d) Sexta-feira. e) Domingo.

35 Matemática, 1º Ano, Função: conceito Imagem: INEP - MEC Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? a) Terça-feira. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira. d) Sexta-feira. e) Domingo. A quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima na terça feira, num total de = 1900, pois nos demais dias, temos: Segunda: = 1600; Quarta: = 1750; Quinta = = 1500; Sexta: = 1700; Sábado: = 1290 e Domingo: = Portanto a resposta é o item A.

36 Função do 1º grau Prof.: Joni Fusinato 36

37 Função do 1º Grau Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer função f: IR IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a 0. O número a é chamado de coeficiente angular de x. O número b é chamado de coeficiente linear ou termo independente. Exemplos: f(x) = 2x + 5 f(x) = x 4 y = 5x + 8

38 Matemática, 1º Ano, Função: conceito Função crescente e decrescente Todos os dias nos deparamos com notícias como: Dólar fecha em queda após quatro altas seguidas; Com mercado de carros novos em queda, cresce a venda de veículos usados; Previsão de inflação para 2018 é de queda; Taxa de desemprego recua em todo o país.

39 Matemática, 1º Ano, Função: conceito Função crescente Função decrescente Quando o valor de y aumentar conforme o de x aumentar, temos uma função crescente. Quando o valor de y diminuir conforme o de x aumentar, temos uma função decrescente.

40 Gráficos da Função do 1º Grau 40

41 Raiz da Função: valor que anula a função

42 Construção Gráfica y = 2x -1 Atribui-se valores para x e calcula-se o valor de y. x y

43 Dado o gráfico, responda: a) O gráfico representa uma função do 1º grau? b) Qual a raiz da função? c) Descubra a função que gerou esse gráfico. d) A função é crescente ou decrescente? 43

44 Dado o gráfico, responda: a) O gráfico representa uma função do 1º grau? b) Qual a raiz da função? c) Descubra a função que gerou esse gráfico. d) A função é crescente ou decrescente? 44

45 Exemplo 1 Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à função C = 400.t, em que C é o consumo em KWh e t é o tempo em dias. a) Quantos dias são necessários para que o consumo atinja kwh? b) Construa um gráfico que represente o consumo através do tempo.

46 Exemplo 2 Para produzir uma quantidade de peças, uma empresa deve investir R$ ,00 em máquinas e, além disso, gastar R$ 0,50 na produção de cada peça. a) Determine a função que relaciona o custo (C) com a produção das peças. b) Qual o custo para se produzir peças?

47 Exemplo 3 Uma técnica em Informática foi contratada para resolver problemas de configuração de um computador. Em seus honorários a técnica cobra R$ 30,00 por hora trabalhada e mais uma taxa de visita de R$ 80,00. Nestas condições, pode-se afirmar que a função que representa o ganho da técnica para executar seus serviços e o valor gasto por uma pessoa que usa os serviços dessa técnica por 5 horas será: a) y = x e R$ 250,00 b) y = 80x + 30 e R$ 350,00 c) y = 80x + 30x e R$ 150,00 d) y = 80x e R$ 200,00 e) y = x e R$ 230,00

48 Exemplo 4 O gráfico relaciona o custo de produção de uma substância em função do volume produzido. Nestas condições, pergunta-se: a) A função que relaciona o custo de produção com a quantidade de substância produzida. a) O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? b) Qual o custo de 25 litros dessa substância?

49 Exemplo 5 O preço de uma máquina nova é R$ ,00. Após 3 anos de uso seu valor de mercado é de R$ 7.300,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 11 anos e sofra depreciação linear com o tempo, encontre: a) A função que relaciona o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento. b) Seu valor após 6 anos de uso.

50 Plano Cartesiano e pares ordenados Função do 1º grau Gráfico da função do 1º grau 50

51 Referências BALESTRI, Rodrigo. Matemática: Interação e Tecnologia. 2ª edição São Paulo: LeYa, DANTE, Luiz Roberto Dante. Matemática: contexto & aplicações. 2ª edição São Paulo: Ática, BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, volume 1: versão beta / Edwaldo Bianchini, Herval Paccola. 2. ed. Ver. E ampl. São Paulo: Moderna BUCCHI, Paulo. Curso prático de matemática. São Paulo: Moderna, STOCCO SMOLE, Kátia. Matemática: ensino médio 1 / Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz ed. São Paulo: Saraiva LIMA, Elon Lages. A Matemática do ensino médio volume 1 / Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado. 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.