INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO. Prof. Ade1000son

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1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO Prof. Ade1000son

2 CONCEITO DE FUNÇÃO 2

3 Sistema Cartesiano de Coordenadas Foi o matemático e filósofo francês René Descartes o criador da parte da Matemática que relaciona as ideias da Álgebra com a Geometria, chamada de Geometria Analítica. Em sua homenagem, o sistema de coordenadas foi denominado plano cartesiano.

4 Reta dos números reais Quando estudamos o conjunto dos números reais (R), verificamos que o número zero fica localizado entre os números reais positivos e os números reais negativos. -2,5 +2,

5 Sistema Cartesiano de Coordenadas O plano cartesiano é formado por uma região geométrica plana, cortada por duas retas perpendiculares entre si. Eixo das ordenadas. Retas perpendiculares formam ângulos de 90 0 entre si. Eixo das abscissas. A reta horizontal é denominada de eixo das abscissas. Representada por x, x R. A reta vertical é denominada de eixo das ordenadas. Representada por y, y R.

6 Sistema Cartesiano de Coordenadas As retas dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. Denomina-se par ordenado ao par (x, y), no qual o primeiro elemento pertence ao eixo das abscissas e o segundo elemento pertence ao eixo das ordenadas.

7 EXEMPLOS Localizar no plano cartesiano xoy os pontos: a) A (2, -3) b) B (-5, 1) y B x -3 A

8 EXEMPLOS Localizar no plano cartesiano xoy os pontos: a) A (-5, 0) b) B (0, -4) y A x - 4 B

9 Na figura a seguir, temos um recorte do layout de uma planilha do Excel. Nele, consta uma lista de compras feita por uma família pernambucana. Nessas condições, relacionando as linhas e colunas dessa planilha, indique as coordenadas da posição da célula do Excel em que está o AZEITE. Imagem: Vania Teofilo / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

10 SOLUÇÃO Analisando o layout do recorte do Excel, podemos concluir que a posição do AZEITE é C3.

11 Exemplo No plano cartesiano a seguir, estão localizados alguns pontos. Determine as coordenadas desses pontos. A(3, 2) B(-3, 3) C(0, 0) D(-3, -2) E(1, -3) B D y C E A x

12 Desenhe o plano cartesiano no caderno e, em seguida, localize os pontos abaixo. Indique também seus respectivos quadrantes. P a) P (-2, 3) b) M (0, -5) c) N (-2, -4) d) K (5, 0) K P(-2, 3) - 2º Quadrante M(0, -5) - Ordenada N (-2, -4) - 3º Quadrante K(5, 0) Abscissa N M

13 FUNÇÕES INTRODUÇÃO ANÁLISE GRÁFICA INTUITIVA [Exemplo] Ao acionar o freio de um automóvel, a distância para que ele pare é denominada espaço de frenagem. Este depende de vários fatores, entre eles, a velocidade em que o carro se encontra quando o freio é acionado. Através da análise do gráfico acima, determine: a) Quais as variáveis envolvidas Velocidade [km/h] e Espaço de Frenagem [m]. b) Qual a variável independente? Velocidade; que identificaremos por x. c) Qual a variável dependente? Espaço de Frenagem; que identificaremos por y ou por f(x).

14 d) Qual o intervalo de variação da velocidade no experimento em questão? Trata-se do Domínio da função, que é: D = { x R 0 x 120 }. e) Qual o intervalo de variação do espaço de frenagem no experimento em questão? Trata-se do Conjunto Imagem da função, que é: Im = { y R 0 y 70 }. f) Quantos metros o automóvel ainda deverá percorrer quando freado a uma velocidade de 60 km/h? E a 80 km/h? E a 100 km/h? x = 60 km/h y 18m / x = 80 km/h y = 30 m / x = 100 km/h y 49 m

15 g) A que velocidade deve estar o veículo para que o espaço de frenagem seja de 40 m? Se o espaço de frenagem é y = 40 m então a velocidade é de x x 90km/h. h) Quando aumentamos a velocidade de 80 para 120 km/h, em quantos metros aumentará o espaço de frenagem? Para tal situação, o espaço de frenagem aumentará em 40 m. i) O espaço de frenagem aumenta ou diminui quando aumentamos gradativamente a velocidade? O espaço de frenagem [y] aumenta. Para tal comportamento, dizemos que a função é crescente

16 Relação entre grandezas variáveis: A função é um modo especial de relacionar grandezas físicas (variáveis). A função pode aparecer em forma de tabela ou gráfico, através de diagramas e também como equação matemática (fórmula ou lei de associação). Exemplo: Um indivíduo pretende abastecer o seu carro com gasolina. O tanque de combustível do seu veículo possui capacidade máxima de (aproximadamente) 50 litros. Considerando que o litro de gasolina custa R$ 3,80 em um determinado posto, pode-se montar a seguinte tabela (veja ao lado): Gasolina Preço a pagar a) Quais as variáveis envolvidas no problema? Quantidade de Gasolina e Preço a pagar 1 3,8 2 7,6 3 11,4 : : c) Qual é a variável independente? Quantidade de Gasolina (dada em litros). Representaremos esta grandeza por x d) Qual é a variável dependente? Preço a pagar (dado em reais). Representaremos esta grandeza por y. e) Neste caso, qual é a lei de associação? A lei de associação ou fórmula matemática é: y = 3,80x ou ainda: f(x) = 3,80x

17 Exemplo: Um indivíduo pretende abastecer o seu carro com gasolina. O tanque de combustível do seu veículo possui capacidade máxima de (aproximadamente) 50 litros. Considerando que o litro de gasolina custa R$ 3,80 em um determinado posto, pode-se montar a seguinte tabela (veja ao lado): Gasolina Preço a pagar f) Quanto pagará para abastecer 35 litros de gasolina? y = 3,80x y = 3,80.35 y = 133,00 Pagará R$ 133,00 para abastecer 35 litros de gasolina. 1 3,8 2 7,6 3 11,4 : : g) Quantos litros abastecerá, pagando R$ 98,80? y = 3,80x 98,80 = 3,80x 98,80/3,80 = x x = 26 Poderá abastecer 26 litros pagando R$ 98,80.

18 Definição e notação Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma relação que indica como associar cada elemento x do conjunto A a um único elemento y do conjunto B. Usamos a seguinte notação: A x B f(x) : A B A cada x de A corresponde um único (x) de B, levado pela função.

19 Gráfico de função O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que tenham x pertencente ao domínio da função e y = f(x). Reconhecimento do gráfico de uma função Para saber se um gráfico representa uma função é preciso verificar se cada elemento do domínio existe apenas um único correspondente no contradomínio. Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular ao eixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto. y y y 0 x 0 x 0 x É função Não é função É função y y y 0 x 0 x 0 x É função Não é função Não é função

20 Domínio e imagem a partir do gráfico y f(b) Imagem: f(a) x f(b) ou [f(a), f(b)] Imagem projeção ortogonal do gráfico sobre o eixo das ordenadas [y] f(a) a b x Domínio: a x b ou [a, b] Domínio projeção ortogonal do gráfico sobre o eixo das abscissas [x].

21 D = { x R 4 x < 5 } Im = { y R 3 y < 2 } D = { x R x < 0 Im = { y R y > 2 } D = { x R x < 7 } Im = { y R y = 3 ou 2 < y 6 }

22 D = R Im = { y R y < 1 ou 0 < y < 3 } D = { 3, 1, 1, 3 } Im = { 0, 1, 2, 3 } D = R Im = R

23 Exemplo 1: O Domínio da função y = x D = R Exemplo 2: O Domínio da função y = 1/x D = R* Exemplo 3: O Domínio da função f x = 4 x D = R+ Exemplo 4: O Domínio da função g x = 5x 5 5x 5 0 5x 5 D = {x R x 1} x 5 5 x 1 Exemplo 5: O Domínio da função h x = 3 x 8 12 D = {x R}

24 Exemplo 6: O Domínio da função T x = x 3 4x+6 4x x 6 D = {x R x 3/2} x 3 2 x 6 4 Exemplo 7: O Domínio da função f x = 7x 2 9x 2 9x > 0 9x > 2. ( 1) 9x < 2 x < 2/9 D = {x R x < 2/9}

25 Função crescente Função decrescente aumenta o valor de x aumenta o valor de y aumenta o valor de x diminui o valor de y

26 Função constante aumenta o valor de x permanece o valor de y

27 [Exemplo] Vamos considerar que uma Litorina [Automotriz] fará uma pequena viagem partindo de uma estação A até uma estação B. Veja abaixo, a representação gráfica da velocidade pelo tempo de viagem.

28 (ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar a vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absoluta em 2011 foram Imagem: INEP-MEC a) março e abril. b) março e agosto. c) agosto e setembro. d) junho e setembro. e) junho e agosto. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram junho e agosto. Portanto item E.

29 1) A função y = f(x) é crescente para 1 x < 3, decrescente para 3 x < 4 e é constante para x 4. O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x) é Imagem: SEE-PE 2) Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [ 5, 6]. Imagem: SEE-PE Essa função é decrescente em a) [ 5, 3] U [3, 5] b) [ 3, 0] U [0, 3] c) [ 3, 1] U [4, 6] d) [ 3, 0] U [5, 6] e) [ 1, 2] U [2, 4]

30 x 2 ( UFC - CE ) O domínio da função real y = é x 7 : a) {x R x > 7} b) {x R x 2} c) {x R 2 x < 7} d) {x R x 2 ou x > 7} x x x numerador 0 x 7 x 7 x 7 denominador 0 Logo, o domínio da função deve ser maior que 7