Instituto de Matemática - UFRGS - Mat Cálculo Numérico Primeira Verificação 2011/2

Transcrição

1 Primeira Verificação 2011/2 Instruções: (1) Essa prova tem duração de 1h40min. Calculadoras não podem ser usadas. (2) A correta Questão 1. (trajetória de escape) Para encontrar as equações de DUAS retas tangentes a curva y = e x + cos(πx) que passam pelo pelo P (0, π): (a)(1.5pt) Escreva como um problema de raízes específico, localize, enumere e separe suas soluções; (b)(1.5pt) encontre a solução da parte (a) com 5 casas significativas corretas, apresentando as respectivas sequências de aproximações; apresente a solução do problema. Questão 3. (a)(1.0pt) Localize, enumere e separe as raízes de 3 2 e x = 2x + 3/2. (b)(1.5pt) Encontre aproximações numéricas para as raízes da parte (a), com 5 casas significativas corretas, registrando (abaixo) as sequências que validam suas respostas Questão 2. Para u > 0, seja a sequência (recursão) x0 = 1 x n+1 = u/xn n = 0, 1, 2,... (a)(1.5 pt) Avalie a recursão para u = 17, preencha a tabela abaixo e classifique a convergência quanto ao aumento da exatidão, seja δ n = digse(x n 1, x n ). n x n δ n n x n δ n Questão 4. (a)(1.0pt) Localize, enumere e separe TO- DAS as raízes de x 3 + 2x = 8. (b)(1.5pt) Encontre aproximações numéricas para as raízes da parte (a), com 5 casas significativas corretas, registrando (abaixo) as sequências que validam suas respostas (b) (0.5 pt) Para quê função de u essa sequência converge?? Mostre seus cálculos. Suas observações sobre a prova:

2 Segunda Verificação 2011/2 Instruções: (1) Essa prova tem duração de 1h40min. Calculadoras não podem ser usadas. (2) A correta Questão 1.(2.5pt) Encontre aproximação numérica, com Questão 3.(1.5pt) Encontre solução para o sistema x 2y + z w = casas significativas corretas, para todos os pontos estacionários de z = 12y 2 ln(y) (x 1) 3 12x 3 (y 2 2x + 2y 3z = 5.7 1). 3y + z 2w = 0.4 Apresente sequência convergindo a cada resposta encontrada, na tabela abaixo. x + 4z + 3w = 0.3 usando Eliminação Gaussiana com Pivotamento Parcial e n x n y n substituição reversa. Registre, abaixo, os pivots usados a 11 a 22 a 33 a 44 Questão 4. Abaixo relacionamos a temperatura T (Celsius) com a pressão de vapor P (Psig) do gás R134-A T P APROXIME P para T = 5 graus Celsius, usando: (a) (1.5pt) fórmula de Newton via Diferenças Finitas Ascendentes. Apresente a respectiva tabela de diferenças: (b) (1.0pt) Spline Cúbico Natural que interpola a tabela. Qual o valor das inclinações d 0,..., d n? Questão 2.(1.0pt) Encontre, usando método desenvolvido em aula, o autovalor de menor magnitude de A = com 3 casas corretas. Registre suas aproximações: n α n n α n 1 (c) (1.0pt) curva P = que melhor aproxima a A + BT tabela no sentido dos Min Quad., via fatoração QR Q = R = (d) (1.5pt) curva P = αe βt que melhor aproxima a tabela no sentido dos Mín Quad, via fatoração QR Q = R =

3 Terceira Verificação 2011/2 Instruções: (1) Essa prova tem duração de 1h40min. Calculadoras não podem ser usadas. (2) A correta Questão 1. Encontre aproximação numérica para 4 e 2x dx I = e x usando (a)(1.5pt) Quadratura de Gauss-TChebyshev e 5 pontos; (b)(1.5pt) Quadratura Composta Recursiva do Trapézio com aceleração de Richardson. Sua resposta deverá ter 5 casas corretas. Preencha a tabela abaixo: n s n n s n Questão 4. Encontre a solução numérica dos problemas diferenciais de segunda ordem abaixo, usando t = 0.1, preenchendo a tabela e indicando o método usado y (a)(1.5 pt) = t 2 (1 + e y ), t > 0 y(1) = 2, y (1) = 3 Descreva o esquema usado: Questão 2.(1.0pt) Encontre aproximação numérica para I = 3 exp(3 3 3 t )dt usando Quadratura de Gauss-Laguerre e 4 pontos. Questão 3. Uma importante aplicação de Quadratura Numérica é a avaliação da Fórmula de Duhammel (ou da convolução) t y(t) = y 0 e a(t t0) + e at e as g(s)ds t 0 para solução exata do PVI y + ay = g(t), t > t 0, a R. y(t 0 ) = y 0 Encontre aproximação numérica para a solução de y t + 3y = 1 + 2t 2, t > 0 y(0) = 1/2 (b)(1.5 pt) y = t 2 (1 + e y ), t > 0 y(1) = 2, y(3) = 1 Descreva o esquema usado: em t = 2, usando: (a)(1.0pt) Quadratura de Gauss-Legendre, e 3 pontos; (b)(pt) método de Runge-Kutta de quarta ordem, e t = 0.1;

4 Segunda Recuperação 2011/2 Instruções: (1) Essa prova tem duração de 1h50min. Calculadoras não podem ser usadas. (2) A correta Questão 1. (2.5pt) Considere o sistema de equações x y z 1.08 = 3 2x 3y + 2z = 1. x + y + z = 1 Encontre uma aproximação para a solução fazendo conveniente aproximação na primeira equação e usando \. Encontre a solução com 5 casas corretas, pelo método de Newton. Registre suas aproximações na tabela abaixo: x n y n z n Questão 2. (2.5pt) Encontre, com 5 casas corretas, e usando o método de Newton, as coordenadas de pontos P e Q que distam 5 unidades do ponto (0, 1) e 4 unidades do ponto (2, 0). Faça um esboço para localizar soluções. Registre as aproximações a cada raiz encontrada x n y n x n y n Questão 3 Os valores de duas variáveis x e y são apresentados na tabela abaixo, com exceção de uma medição perdida. Aproxime a medição que está faltando x * y * (a)(1.5pt) usando polinômio interpolador no formato de Lagrange; (b)(1.0pt) usando Spline cúbico armado e diferenças divididas de primeira ordem nos extremos. (c)(1.5pt) usando a curva y = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D que melhor aproxima a tabela no sentido dos Mínimos Quadrados. Questão 4.(1.0pt) Encontre, usando método desenvolvido em aula, o autovalor de menor magnitude de A = com 3 casas corretas. Registre suas aproximações: n α n n α n

5 Terceira Recuperação 2011/2 Instruções: (1) Essa prova tem duração de 1h50min. Calculadoras não podem ser usadas. (2) A correta Questão 1. Encontre aproximação ( numérica ) para 3 e x2 I = + e x3 dx usando (a)(1.5pt) Quadratura de Gauss-Legendre e 3 pontos; (b)(1.5pt) Quadratura Composta de Simpson, e 4 intervalos. Questão 2.(a)(1.0pt) Os valores de duas variáveis x e y são apresentados na tabela abaixo. x y aproxime 3 1 ydx. Mostre seu desenvolvimento. cos(t + 1) dt (b)(1.0pt) Aproxime 1 + t 4 usando quadratura de Gauss-Hermite e 4 pontos. Questão 3.(pt) Encontre aproximação numérica para a solução de y + y 2 = t 3/2, t > 0 y(1) = 2 no intervalo [1, 3], com t = 0.1, usando método Previsor-corretor de ordem 2 de Adams, e preenchendo a tabela abaixo: Questão 4. Encontre aproximação numérica para a solução de y (a)(1.5 pt) = 1 2 sin(y), t > 0 t y(1) = 1, y (1) = 1/10 y (b)(1.5 pt) = 1 2 sin(y), t > 0 t y(1) = 1, y(3) = 1

6 Recuperação Geral 2011/2 Instruções: (1) Essa prova tem duração de 1h50min. Calculadoras não podem ser usadas. (2) A correta Questão 1. (3.0pt) Encontre, com 5 casas corretas, as soluções não nulas de x/2 + cos(x 2 ) = 1. Registre, abaixo, suas aproximações para cada resposta. Questão 3.(1.5pt) Encontre, usando método desenvolvido em aula, o autovalor de menor magnitude de A = com 3 casas corretas. Registre suas aproximações: n α n n α n Questão 2.(pt) Encontre aproximação numérica para a solução de y + y 2 = t 3/2, t > 0 y(1) = 2 no intervalo [1, 3], com t = 0.1, usando método Previsor-corretor de ordem 2 de Adams, e preenchendo a tabela abaixo: Questão 4. Os valores de duas variáveis x e y são apresentados na tabela abaixo. Aproxime x y (a)(1.0pt) y(2.2) usando Spline cúbico armado e diferenças divididas de primeira ordem nos extremos. (b)(1.0pt) y(2.2) usando a curva y = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D que melhor aproxima a tabela no sentido dos Mínimos Quadrados. (c)(1.5pt) aproxime 3 1 y dx e justifique sua resposta.