NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA ANALÍTICA: VETORES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA - IMEF FABÍOLA AIUB SPEROTTO DAIANE SILVA DE FREITAS NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA ANALÍTICA: VETORES 1 Edição Rio Grande 2017

2 Universidade Federal do Rio Grande - FURG NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA ANALÍTICA: VETORES Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Fabíola Aiub Sperotto Daiane Silva de Freitas site: i

3 Sumário 1 Vetores Vetores e Escalares: Noção Intuitiva Vetor Operações entre Vetores Métodos Geométricos Agora tente resolver! Propriedades da Adição Propriedades da multiplicação de um escalar por um vetor Agora tente resolver! Vetores no Plano Expressão Analítica Agora tente resolver! Agora tente resolver! Vetores no Espaço Agora tente resolver! Lista Produtos de Vetores Produto Escalar Definição do Produto Escalar Propriedades do Produto Escalar Interpretação Geométrica do Produto Escalar Agora tente resolver! Vetor Projeção Agora tente resolver! Produto Vetorial Definição do Produto Vetorial Propriedades do Produto Vetorial Agora tente resolver! Interpretação Geométrica do Produto Vetorial Agora tente resolver! Produto Misto ii

4 2.3.1 Definição do Produto Misto Propriedades do Produto Misto Agora tente resolver! Interpretação Geométrica do Produto Misto Agora tente resolver! Lista Gabaritos Gabarito - Lista Gabarito - Lista A Estudo da Reta 63 A.1 Conceito de Produto Cartesiano A.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta A.1.2 A Equação da Reta no plano B Geometria 72 B.1 Geometria B.1.1 Área de um paralelogramo B.1.2 Área de um triângulo B.1.3 Tetraedro C Fórmulas Trigonométricas 74 C.1 Fórmulas C.1.1 Definição iii

5 Capítulo 1 Vetores 1.1 Vetores e Escalares: Noção Intuitiva As grandezas vetoriais, ou simplesmente vetores, são entes abstratos que possuem módulo (também chamado de comprimento ou magnitude), direção e sentido. Alguns exemplos dessas grandezas são deslocamento, velocidade, aceleração, força entre outros. Sendo assim, essas grandezas são usadas por matemáticos e cientistas para lidar com quantidades que não podem ser descritas ou representadas por um único número. As grandezas escalares são representadas apenas por um número e uma unidade, não precisando ser especificado um sentido e uma direção. Temperatura, massa, trabalho são alguns exemplos destas grandezas. Os vetores são representados, geometricamente, por segmentos de reta orientados (segmentos de reta com um sentido de percurso), que podem ser representados tanto no plano como no espaço. Pela Figura 1.1, observamos o sentido do percurso do segmento orientado, onde o ponto A é chamado de ponto inicial ou origem e a seta localizada no outro extremo do segmento é o ponto final ou extremidade que nomeamos de B. Desta forma, podemos representar o vetor como AB e usamos uma seta acima das letras para indicar o sentido do percurso. Assim, temos a ideia de deslocamento, ao lançar uma partícula do ponto A para o ponto B, o seu deslocamento pode ser representado por um vetor ligando os pontos inicial e final. E para determinarmos o deslocamento de tal partícula precisamos conhecer o quanto ela se deslocou e também em que direção ela se deslocou. Para isso precisamos ter uma ideia do conceito de direção, como veremos a seguir. 1

6 1.1. VETORES E ESCALARES: NOÇÃO INTUITIVA Figura 1.1: Segmento orientado. Direção: A direção de um segmento é da origem para a extremidade. Dois segmentos orientados não nulos têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou se são coincidentes, conforme Figuras 1.2 e 1.3: Figura 1.2: Segmentos orientados paralelos com mesma direção. 2

7 1.2. VETOR Figura 1.3: Segmentos paralelos de sentidos opostos e mesma direção. Segmentos equipolentes: Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Conforme Figura 1.4. Figura 1.4: Segmentos Equipolentes. 1.2 Vetor Por definição, um vetor é um segmento de reta orientado, que em linguagem habitual chamamos de seta. Cada vetor tem uma origem (também denominada ponto inicial) e uma extremidade (também denominada ponto terminal), sua direção é da origem para a extremidade. Invertendo a seta obtemos um vetor com direção contrária. Observe a Figura 1.5: 3

8 1.2. VETOR Figura 1.5: Definição de vetor. Notação: AB. O vetor também costuma ser indicado por letras minúsculas v ou em negrito v, então v = B A. Ou algumas vezes por letras maiúsculas em negrito, por exemplo, F, para denotar força. Quando escrevemos v = AB, significa que o vetor v é determinado pelo segmento de reta orientado AB. Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. As características de um vetor v são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. Conforme a Figura 1.6. Figura 1.6: Representantes do vetor u. Vetores iguais: Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB= CD. Ou se, u = AB e v = CD, então u = v. 4

9 1.2. VETOR Vetor Nulo: Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero ou vetor nulo, e é indicado por 0 ou AA isto é, a origem coincide com a extremidade. Este vetor não possui direção e sentidos definidos. A 1 B 1, é o ve- Vetores Opostos: Pela Figura 1.7 observamos que o vetor tor oposto de AB e, podemos indicar por -A 1 B 1. Figura 1.7: Vetores opostos. Vetor Unitário: Um vetor v é unitário se, seu módulo (ou comprimento) for igual a 1, isto é, v = 1. Por exemplo, os vetores da base canônica padrão no espaço (R 3 ) dados por: i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1) são vetores unitários. Versor: Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v. Sempre que v 0, seu comprimento não é zero. u = 1 v = 1 v v = 1 Conclui-se que u = v, é um vetor unitário na direção de v chamado v versor do vetor não-nulo v. Por exemplo, tomemos um vetor v de módulo 3, v = 3. v u u 5

10 1.3. OPERAÇÕES ENTRE VETORES O vetor u que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v. Vetores Colineares: Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Sendo assim, u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. Figura 1.8: Vetores colineares. Vetores Coplanares: Se os vetores não nulos u, v e w (não importa o número de vetores) possuem representantes EF, HG e IJ pertencentes a um mesmo plano π, diz-se que eles são coplanares. Figura 1.9: Vetores coplanares. Dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de u e v pertencendo a um plano π que passa por este ponto. Já no caso de três vetores, esses poderão ou não ser coplanares. 1.3 Operações entre Vetores Duas operações que envolvem vetores são a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Como ainda não estamos trabalhando com a expressão 6

11 1.3. OPERAÇÕES ENTRE VETORES analítica de um vetor, vamos aprender dois métodos geométricos para realizar as operações entre vetores Métodos Geométricos - Método da Triangulação: Consiste em colocar a origem do segundo vetor coincidente com a extremidade do primeiro vetor e o vetor soma (resultante) é o que fecha o triângulo (origem coincide com a origem do primeiro, extremidade coincide com a extremidade do segundo). Figura 1.10: Método da Triangulação. - Método do Paralelogramo: Consiste em colocar a origem dos dois vetores coincidentes e construir o paralelogramo. O vetor soma é a diagonal cuja origem coincide com a origem dos dois vetores. A outra diagonal é a diferença entre os vetores. Figura 1.11: Método do paralelogramo. 7

12 1.3. OPERAÇÕES ENTRE VETORES Agora tente resolver! 1. Usando os métodos anteriores, copie os vetores u, v, w o que for necessário para esboçar os vetores resultantes abaixo: a) u + v + t b) u t + w c) u + v + w d) u w + t 2. Dados os vetores u, v, w, de acordo com a figura, construir o vetor t = 3 u 2 w v. 8

13 1.3. OPERAÇÕES ENTRE VETORES Observação: 1. Quando os vetores tem o mesmo sentido: 2. Quando os vetores tem sentidos opostos: Propriedades da Adição Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição, admite as seguintes propriedades: Comutativa: u + v = v + u 9

14 1.3. OPERAÇÕES ENTRE VETORES Figura 1.12: Propriedade Comutativa. Associativa: ( u + v) + w = u + ( v + w) Figura 1.13: Propriedade Associativa. Elemento neutro: u + 0 = u Elemento oposto (ou simétrico): u + ( u) = 0 se u = AB, o seu simétrico é BA e escrevemos AB= BA ou u = u A diferença entre os vetores u e v, é definida como soma de u com o oposto de v, u + ( v) = u v. Multiplicação de um número real por um vetor: Dado um vetor não nulo v e um número real a 0 chama-se produto do número real a pelo vetor v, o vetor a v tal que: 10

15 1.3. OPERAÇÕES ENTRE VETORES Módulo: a v = a v. -O vetor tem comprimento a vezes o comprimento de v. Direção: a v é paralelo a v. -Isto é, tem a mesma direção de v. Sentido: a v e v tem o mesmo sentido se a > 0, e contrário se a < 0. -Se a = 0 ou v = 0 então a v = 0, ou se a > 1 podemos dizer que dilata o vetor, ou se 0 < a < 1 podemos dizer que contrai o vetor. Observe que se o escalar a percorrer todo o conjunto R dos números reais, podemos obter todos os infinitos vetores colineares a um dado vetor u. Então, significa que qualquer um deles é múltiplo escalar (real) do outro, neste caso u = a v Propriedades da multiplicação de um escalar por um vetor Considere v e u vetores e a, b R, temos: i. a(b v)=(ab) v - Associativa ii. (a+b) v=a v+b v - Distributiva em relação a adição de escalares. iii. a( u+ v)=a u+a v - Distributiva em relação a adição de vetores. iv. 1 v= v - Identidade. Por exemplo: Para a=2, temos, pela propriedade iii: 11

16 1.3. OPERAÇÕES ENTRE VETORES 2 v 2 u v u 2 u + 2 v u + v Ângulo entre vetores: É o ângulo formado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O, este ângulo é indicado por θ. 1. Se u v e têm mesmo sentido e direção, então θ = 0. u v 2. Se eles têm sentidos contrários, então θ = π. v u 3. Se θ = π/2, os vetores são ortogonais. u v Observação:O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. Exemplo 1. 12

17 1.3. OPERAÇÕES ENTRE VETORES Figura 1.14: Exemplos de ângulos entre vetores Agora tente resolver! 1. Dados os vetores u, v e w, da figura abaixo, construir os vetores: a) x = 2 u 1 3 v b) r = 1 2 v w u 2. Dada a figura a seguir, onde M, N e P são os pontos médios de AB, BC, CA, respectivamente, represente os vetores BP, AN e CM em função de AB e AC. 13

18 1.4. VETORES NO PLANO 1.4 Vetores no Plano Expressão Analítica De modo geral, dados dois vetores v 1 e v 2 quaisquer não colineares, partindo de um mesmo ponto de origem, um vetor v, representado no mesmo plano, e dados uma dupla de números reais a 1 e a 2, podemos representar o vetor como v = a 1 v 1 + a 2 v 2. Quando isto acontece, podemos dizer que o vetor v pode ser escrito como combinação linear de v 1 e v 2. E o conjunto B formado pelos vetores { v 1, v 2 } é chamado de base do plano. Os números a 1 e a 2 são chamados de componentes ou coordenadas do vetor v na base B. As bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base representada por {e 1, e 2 } é ortonormal, se seus vetores e 1 e e 2 são perpendiculares e unitários, isto é, e 1 = e 2 = 1. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os vetores do plano sempre poderão ser escritos como uma combinação linear de vetores { i, j} que formam uma base ortonormal no plano xoy. A base { i, j} também é conhecida como base canônica. A direção do vetor i indica o sentido positivo do eixo Ox e a direção do vetor j a direção do sentido positivo do eixo Oy, já que suas coordenadas são respectivamente i = (1,0) e j = (0,1). Observação: Qualquer vetor v = (a 1,a 2 ) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base em R 2 : v = (a 1,a 2 ) = (a 1,0) + (0,a 2 ) = a 1 (1,0) + a 2 (0,1) = a 1 i + a 2 j Desta forma, o par (x,y) é chamado de expressão analítica do vetor v. E, fixada a base { i, j}, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre 14

19 1.4. VETORES NO PLANO os vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de números reais. Assim, a cada vetor v do plano associamos um par (x,y) de números reais que são suas componentes na base dada. Figura 1.15: Vetores da base canônica do plano cartesiano. Um vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais onde: x é a primeira componente, e é chamada abscissa de v, y é a segunda componente, e é chamada ordenada de v. Para as operações algébricas de adição e multiplicação de um vetor por um escalar são válidas as propriedades vistas anteriormente (comutativa, associativa, elemento neutro, elemento oposto, distributivas em relação a adição de vetores e a adição de escalares). Igualdade de vetores: v = (x 1,y 1 ), e j = (x 2,y 2 ), são iguais se x 1 = x 2, y 1 = y 2 (coordenadas correspondentes iguais). Vetor definido por dois pontos: Dado o vetor AB onde a origem é o ponto A(x 1,y 1 ) e extremidade B(x 2,y 2 ), onde OA= (x 1,y 1 ), e OB= (x 2,y 2 ), então: AB= OB OA= (x 2,y 2 ) (x 1,y 1 ) = (x 2 x 1,y 2 y 1 ) Exemplo 2. Dados os pontos A(5,3) e B(2,7) determine o vetor v = AB. Solução: AB=B A = (2,7) (5,3) = ( 3,4). 15

20 1.4. VETORES NO PLANO Figura 1.16: Vetor dados dois pontos. Observação: lembre-se que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que melhor representa é aquele que tem origem em O(0,0) e extremidade em P (x 2 x 1,y 2 y 1 ). O vetor v = AB é o vetor posição ou representante natural de AB. Operações: Adição: u + v = (x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (x 2 + x 1,y 2 + y 1 ) = v + u Exemplo 3. Se u = (1,2) e v = ( 2,2), então: u + v = (1,2) + ( 2,2) = (1 + ( 2),2 + 2) = ( 1,4) 16

21 1.4. VETORES NO PLANO Figura 1.17: Adição de vetores. Multiplicação de um vetor por um escalar: α u = (αx 1,αy 1 ) Exemplo 4. Se α = 2, então: α u = 2(1,2) = (2,4) u = ( 1) u = ( x 1, y 1 ) Exemplo 5. u = (1,2) = ( 1, 2) u v = (x 1 x 2,y 1 y 2 ) Exemplo 6. u v = (1,2) ( 2,3) = (1 ( 2),2 3) = (3, 1) Módulo de um vetor: O módulo ou comprimento do vetor v = (a,b) é um número real não negativo, definido por: u = a 2 + b 2 Isso é facilmente demonstrado pelo Teorema de Pitágoras. Pela Figura 1.18, percebemos que aplicando o teorema de Pitágoras: u 2 = a 2 + b 2, onde os catetos a e b do triângulo são as coordenadas do vetor no plano e a hipotenusa c é exatamente a medida do vetor u. Logo, u = a 2 + b 2. 17

22 1.4. VETORES NO PLANO Figura 1.18: Comprimento de um vetor. Exemplo 7. Encontre as componentes e o módulo (ou comprimento) do vetor de origem A( 3,4) e extremidade B( 5,2). Solução: v = AB= B A = ( 5,2) ( 3,4) = ( 2, 2) AB = ( 2) 2 + ( 2) 2 = 8 = 2 2u.c Agora tente resolver! 1. Sejam u = (3, 2) e v = ( 2,5) encontre as componentes dos vetores: a) 3 u b) u + v c) 2 u 3 v d) 3 5 u v 2. Sendo A(1, 2), B(2,1), C(3,2), D( 2,3) decompor os vetores BD e AD + DC tomando como base os vetores AB e AC. Condição de Paralelismo de dois vetores: Dois vetores u = (x 1,y 1 ), e v = (x 2,y 2 ), são paralelos se, u = α v, ou seja o vetor u é múltiplo escalar de v. Portanto, (x 1,y 1 ) = α(x 2,y 2 ), que pela condição de igualdade x 1 = αx 2, e y 1 = αy 2, temos x 1 = y 1 (= α) x 2 y 2 Assim, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. 18

23 1.4. VETORES NO PLANO Exemplo 8. Os vetores u = (12,8) e v = (6,4) são paralelos pois, 12 6 = 8 4 = 2 = α. u = 2 v. Exemplo 9. Dados u = (3,2), v = ( 1,4). Encontre w na igualdade: Solução: 4 w ( u + 2 v) = 3( w 2 u) 4 w ( u + 2 v) = 3( w 2 u) Agora tente resolver! 4 w u 2 v = 3 w 6 u 4 w 3 w = 6 u + u + 2 v w = 5 u + 2 v w = 5(3,2) + 2( 1,4) w = ( 15, 10) + ( 2,8) w = ( 17, 2) 1. Dados os vetores u = (2, 4), v = ( 5,1) e w = ( 12,6). Determinar a 1, a 2 tais que w = a 1 u + a 2 v. 2. Marcar os seguintes pontos no plano cartesiano A(6,2), B(8,6), C(4,8), D(2,4) e responder as seguintes questões: a) O vetor AB é ortogonal ao vetor CD? Justifique. b) O vetor DA é paralelo ao vetor BC? 3. Determine o ponto C tal que AC = 3 AB sendo A(0, 4) e B(1,2). 4. Verdadeiro ou Falso: a) Se u = v então u = v. b) Se u = v então u = v. c) Se u v então u = v. 5. Dados os vetores u = (4,5) e v = (3,4), calcular u + v, 2 u e 2 v. Faça a representação geométrica dos vetores resultantes no plano. 19

24 1.4. VETORES NO PLANO 6. Para resolver o próximo exercício, lembrar das seguintes notações: - ( ) - Condição de perpendicularismo - ângulo é igual a ( ) - Condição de paralelismo. A figura abaixo representa um retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: a) AF CB b) BA CA c) AD DF d) AF = EC Aplicações Exemplo 10. Considere o vetor v = i + 2 j, um vetor velocidade, vamos escrever a velocidade como uma multiplicação do escalar v por um vetor unitário na direção e no sentido do movimento. Solução: O módulo do vetor v é o seu comprimento, então v = = 5. O vetor v (versor de v) tem a mesma direção do vetor velocidade, e além v disso, é um vetor unitário, portanto v v = i + 2 j = 1 i j 5 v = i + 2 j = ( ) 1 i 5, 2 j

25 1.4. VETORES NO PLANO Observe que ( ) 1 i 5 é o comprimento do vetor e, 2 j é a direção do 5 5 movimento. Sendo assim, mostramos que é possível expressar qualquer vetor não nulo em termos de suas características: módulo e direção escrevendo: v = v v v. Exemplo 11. Suponha que uma pessoa está puxando uma caixa por uma alça cuja força de magnitude é de F = 8lb, que forma um ângulo de 45 com a superfície horizontal. Encontre as componentes do vetor F = (a,b). Solução: F = (8cos(45 ),8sen(45 )) F 2 2 = (8 2,8 2 ) F = (4 2,4 2). Exemplo 12. Uma pessoa puxa um carrinho ao longo de uma superfície horizontal lisa com uma força F de 30lb que forma um ângulo de 30 com a superfície. Qual é a força efetiva que move o carrinho para frente? Solução: Observe que neste caso a força efetiva é a componente horizontal de F = (a,b). Assim, a = F 3 cos(30 ) = 30 2 = ,98lb. 21

26 1.5. VETORES NO ESPAÇO 1.5 Vetores no Espaço O produto cartesiano R R R ou R 3 é o conjunto R 3 = {(x,y,z)/x,y,z R} e sua representação geométrica é o espaço cartesiano determinado pelos três eixos cartesianos Ox, Oy e Oz, ortogonais dois a dois. Portanto, x, y, z formam o sistema cartesiano ortogonal Oxyz. Um vetor v pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base ortonormal representados por { i, j, k}, onde, i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1), estes vetores são representados com a origem no mesmo ponto O. Assim, temos: O eixo dos x ou eixo das abscissas corresponde a reta com direção do vetor i. O eixo dos y ou eixo da ordenadas corresponde a reta com direção do vetor j. O eixo dos z ou eixo das cotas corresponde a reta com direção do vetor k Figura 1.19: Representação do Espaço Tridimensional. Observação 1: Representação da base é no sentido positivo. Esta base obedece à regra da Mão direita. A base canônica representada pelo conjunto B = { i, j, k} é formada por 22

27 1.5. VETORES NO ESPAÇO Figura 1.20: Base Ortonormal. vetores unitários, portanto i = j = k = 1, e dois a dois ortogonais com origem em O. O vetor v = x i + y j + z k também pode ser expresso por v = (x,y,z) que é a expressão analítica de v. Exemplo 13. v = 2 i 3 j + k=(2,-3,1) Figura 1.21: Vetor. 23

28 1.5. VETORES NO ESPAÇO Observação 2: Nos eixos coordenados em R 3 cada dupla de eixos determina um plano: a) o plano xoy ou simplesmente xy; b) o plano xoz ou xz; c) o plano yoz ou yz. Figura 1.22: Planos coordenados. Estes três planos dividem o espaço em oito partes, chamadas de octantes: 1. Primeiro octante: (x,y,z) 2. Segundo octante: ( x,y,z) 3. Terceiro octante: ( x, y,z) 4. Quarto octante: (x, y,z) 5. Quinto octante: (x,y, z) 6. Sexto octante: ( x,y, z) 7. Sétimo octante: ( x, y, z) 8. Oitavo octante: (x, y, z) Observação 3: Para marcar um ponto no espaço tridimensional, traçamos pelo ponto P planos paralelos aos planos coordenados formando um paralelipípedo retângulo, a interseção destes planos forma a terna (a,b,c) de números reais, chamadas coordenadas de P. 24

29 1.5. VETORES NO ESPAÇO Na prática, também podemos marcar um ponto P (x,y,0) no plano xy e deslocamos este ponto paralelamente ao eixo z tantas unidades para cima se z for positivo ou para baixo caso seja negativo. No gráfico a seguir, por exemplo, A 1 (3,5,0) e A(3,5,4), marcamos A 1 no plano xy e deslocamos 4 unidades para cima no sentido do eixo z positivo. Figura 1.23: Pontos no espaço tridimensional. Observem que as operações entre vetores, definição de vetor dados dois pontos, definição de ponto médio, módulo são análogas às vistas no plano. Exemplo 14. Dados os pontos P = (2, 3,4) e Q = (4,5,2), calcule o ponto médio. Solução: M é o ponto médio entre P e Q, então M = ( 2+4 (3,1,3) 2, 3+5 2, ) = Exemplo 15. Calcule o módulo do vetor P Q, onde P e Q são os pontos do exemplo anterior. Solução: P Q= Q P = (4,5,2) (2, 3,4) = (2,8, 2) P Q = ( 2) 2 = = 72 = 6 2 Exemplo 16. Dados os vetores u = (1,0,3), v = (2,2, 2) e w = ( 4,0,4) verificar se existem números a 1, a 2, a 3 tais que: 25

30 1.5. VETORES NO ESPAÇO Solução: ( 4, 10,6) = a 1 u + a 2 v + a 3 w ( 4, 10,6) = a 1 (1,0,3) + a 2 (2,2, 2) + a 3 ( 4,0,4) ( 4, 10,6) = (a 1,0,3a 1 ) + (2a 2,2a 2, 2a 2 ) + ( 4a 3,0,4a 3 ) ( 4, 10,6) = (a 1 + 2a 2 4a 3,2a 2,3a 1 2a 2 + 4a 3 ) a 1 + 2a 2 4a 3 = 4 2a 2 = 10 3a 1 2a 2 + 4a 3 = 6 Resolvendo o sistema chegamos em: a 1 = 1 2, a 2 = 5 e a 3 = Condição de Paralelismo: Dois vetores u = (x 1,y 1,z 1 ) e v = (x 2,y 2,z 2 ) são paralelos se u = k v, onde k R, e (x 1,y 1,z 1 ) = k(x 2,y 2,z 2 ) (x 1,y 1,z 1 ) = (kx 2,ky 2,kz 2 ) Mas, pela definição de igualdade: x 1 = kx 2, y 1 = ky 2, z 1 = kz 2, ou: x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = k Sendo assim, se suas componentes forem proporcionais então os vetores são paralelos. Exemplo 17. Dados os vetores u = ( 2,3, 4), v = ( 4,6, 8) são paralelos? Solução: Logo, eles são paralelos. 2 4 = 3 6 = 4 8 = 1 2 u = 1 2 v. 26

31 1.6. LISTA Agora tente resolver! 1. Sendo u = 2 i 3 j + 6 k, determinar u. 2. Determinar z tal que o vetor v = (1, 2,z) tenha módulo igual a Se w = (k,k,k) é um vetor unitário, determinar k. 4. Se c = (2,1, 3) e d = (m,n, 9), determinar m e n tal que c seja paralelo a d. 5. Traçar os triângulos de vértices: (a) A(3,5,5), B(5,7,0), C(0,7,3). (b) A(6, 5,4), B(2, 2,5), C(5, 4,0). 1.6 Lista 1 1. Determine o vetor w, sabendo que 2( u + 3 w ) + v = 2 v w, onde u = (6,4) e v = (3, 2). 2. Sabendo que 2 u + v = (13,4, 1), determinar a, b e c, sendo u = (2, 1,c), v = (a,b 2,3). 3. Nos itens abaixo encontre os seguintes vetores e represente os vetores resultantes no gráfico: (a) Dados os pontos O(0,0), A(3,6), B(4, 8), C( 1,3), determine OA, AB, CB, OA + CB, AB OA. (b) Dados os pontos O(0,0,0), A(2,3,4), B( 1,1,3), C(3,2,1), determine OA, BC, OA + CB. 4. Dados os vetores u = (1, 1,5), v = (2,4, 1), w = (3, 2), t = (5,7), determine os seguintes módulos: a. u b. v c. w d. t e. É possível calcular u + w? 5. Dados os vetores u = (0,1,2), v = ( 2,4, 6), calcule: a. u + v b. u 3 v 27

32 1.6. LISTA 1 6. Sabendo que u = (2,a 1,6), v = (c,2,4b), determinar a, b e c, tal que 3 u + v = O. 7. Representar no gráfico os vetores: (a) No R 2 : represente os vetores AB correspondentes A(6, 10), B(4,5); A(10,3), B( 2, 1); A(3,3), B(6, 2). (b) No R 3 : represente: AB = (3,4,5), CD = ( 4,6, 9), EF = (3, 4,7), GH = (4,4, 6). 8. Apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: (a) Representado no eixo dos y. (b) Paralelo ao plano xz. (c) Ortogonal ao eixo dos x. (d) Ortogonal ao plano yz. 9. Suponha que A,B e C sejam os vértices de um placa triangular onde A(4,2,0), B(1,3,0) e C(1,1,3) então: (a) faça um esboço da placa triangular. (b) encontre o vetor com origem no vértice C e extremidade no ponto médio do lado AB. (c) encontre o vetor com origem no vértice C cujo comprimento é dois terços do vetor do item anterior. 10. Uma reta no plano tem equação r : y = 6x + 2. Determine um vetor paralelo a reta r. 11. Encontre as coordenadas da extremidade de um segmento orientado que representa o vetor u = (4,5, 2), sabendo que a origem é o ponto A(3,6,9). 12. Uma partícula foi lançada do ponto inicial A(4, 3,6), no espaço e tem como ponto final B(6,8,5). Encontre o vetor que representa o deslocamento da partícula e determine seu módulo. 13. Encontre as coordenadas do ponto A simétrico ao ponto A(4,3,2) em relação ao ponto P (2,1, 1). 14. Encontre o vetor u, tal que 6 u = 2 v + 4 w, sendo v = (1, 1,3) e w = (0, 4,2). 15. Encontre os escalares a,b e c que satisfaçam a expressão a u+b v +c w = (0,1,4). Sabendo que u = (1,4,0), v = (0, 1,2) e w = (3,1,4). 28

33 1.6. LISTA Determine b, sabendo que os vetores u = (2,6,5) e w = (6,b,15) são paralelos. 17. Obter um ponto P do eixo das ordenadas cuja distância ao ponto A(2,4,6) é No espaço cartesiano os vetores diretores indicam a direção de uma reta. Se o vetor u = (3,2, 1) indica a inclinação da reta r, encontre as componentes do vetor v = (a,18,c) da reta s, sabendo que as retas são paralelas. 29

34 Capítulo 2 Produtos de Vetores 2.1 Produto Escalar Neste capítulo vamos desenvolver algumas ideias e conceitos relacionados a ângulos e ortogonalidade entre vetores tanto no plano como no espaço. Para ilustrar a ideia desta grandeza escalar, podemos usar uma aplicação da Física: imagine um objeto se deslocando em uma trajetória retilínea e que está sujeita a uma força F constante, na direção e sentido do deslocamento. Dados dois pontos e considerando o sentido do deslocamento de A para B, podemos considerar que o vetor AB é a distância do deslocamento. Sendo F um vetor paralelo ao deslocamento com intensidade constante F, o trabalho realizado pelo vetor F no deslocamento é dado por ± F AB. O sinal negativo significa que a força está atuando no sentido oposto ao deslocamento. Mas se a força F não tiver direção paralela ao deslocamento, θ é o ângulo que a força F faz com o deslocamento AB, então o trabalho realizado por essa força será dado F AB = F AB cosθ. Neste caso, quando a força é medida em N (Newton) e a distância em metros, o trabalho é uma grandeza escalar medida em J (Joules)=N m. Conhecendo as componentes dos vetores, facilmente podemos calcular o ângulo entre eles como veremos na seção Definição do Produto Escalar O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores, como o próprio nome diz, resulta em um escalar. Considere os seguintes vetores u = x 1 i + y 1 j + z 1 k e v = x2 i + y 2 j + z 2 k, representamos u v, ao número real u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. Esta operação entre vetores gera como resultado sempre um número real e o produto escalar vale tanto no R 2 (no plano) como no R 3 (no espaço). 30

35 2.1. PRODUTO ESCALAR Exemplo 18. u v = (1, 2, 1).( 6,2, 3) = 1( 6)+( 2)(2)+( 1)( 3) = = 7 Representamos o produto escalar por u v, lê-se u escalar v Propriedades do Produto Escalar Dados três vetores, u = (x 1,y 1,z 1 ), v = (x 2,y 2,z 2 ) e w = (x 3,y 3,z 3 ) R 3 e um escalar m R, temos: 1. u u 0, será nulo se u for nulo. Observe que u u 0, será positivo porque a soma de quadrados sempre resulta em valores positivos e será igual a zero somente se u = 0. u u = (a,b,c) (a,b,c) = a 2 + b 2 + c 2 0 u u = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 0 a = b = c = 0 u = (0,0,0) = u v = v u (O produto escalar é comutativo). É fácil mostrar que, u v = (x 1,y 1,z 1 ) (x 2,y 2,z 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 + z 2 z 1 = v u. 3. u ( v + w) = u v + u w (Distributiva em relação a adição). u ( v + w) = (x 1,y 1,z 1 ) (x 2 + x 3,y 2 + y 3,z 2 + z 3 ) = (x 1 x 2 + x 1 x 3 ) + (y 1 y 2 + y 1 y 3 ) + (z 1 z 2 + z 1 z 3 ) = (x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) + (x 1 x 3 + y 1 y 3 + z 1 z 3 ) = u v + u w. 4. m( u v) = (m u) v (Associativa da multiplicação de um escalar por um vetor). m( u v) = m(x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) 5. u u = u 2 = (mx 1 )x 2 + (my 1 )y 2 + (mz 1 )z 2 = (m u) v. Note que u u = (x, y, z) (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 e u = x 2 + y 2 + z 2 então, u 2 = x 2 + y 2 + z 2 = u u 31

36 2.1. PRODUTO ESCALAR Interpretação Geométrica do Produto Escalar Quando os vetores são apresentados em função de suas componentes não sabemos diretamente o ângulo entre eles. Por definição podemos representar o produto escalar entre os vetores u e v como: u v = u v cosθ, onde θ é o ângulo formado entre u e v. Dados dois vetores não nulos, o ângulo procurado é o menor ângulo formado por dois representantes destes vetores, com origem em um mesmo ponto, observe a Figura 2.1. Figura 2.1: Ângulo entre dois vetores. Desta forma, podemos obter o ângulo θ entre dois vetores genéricos u e v partindo desta definição. Assim, então, u v = { 0 se u ou v for nulo u v cosθ 0 θ 180 (2.1) cos(θ) = desde que nenhum deles seja nulo. u v u v, Demonstração: Sabendo que a lei dos cossenos da geometria plana, estabelece c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(θ) e além disso, se o triângulo é retângulo com os catetos a e b e a hipotenusa c, a lei acima se reduz ao Teorema de Pitágoras c 2 = a 2 + b 2, então pela Figura 2.2: 32

37 2.1. PRODUTO ESCALAR Figura 2.2: Lei dos cossenos. se c = w, b = u e a = v, temos: em notação vetorial w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos(θ) 2 u v cos(θ) = u 2 + v 2 w 2 Uma vez que w = u v, a forma de w é (u 1 v 1,u 2 v 2,u 3 v 3 ) Assim, u 2 = ( u u2 2 + u2 3 )2 = u u u 2 3 v 2 = ( v1 2 + v2 2 + v2 3 )2 = v1 2 + v2 2 + v3 2 w 2 = ( (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 + (u 3 v 2 ) 2 ) 2 = (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 + (u 3 v 3 ) 2 e u 2 + v 2 w 2 = 2(u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) portanto, 2 u v cos(θ) = u 2 + v 2 w 2 = 2(u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) u v cos(θ) = (u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) cos(θ) = (u 1v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) u v = u v u v 33

38 2.1. PRODUTO ESCALAR assim, ( ) u v θ = arccos. (2.2) u v Observação 1: Em relação ao ângulo θ: θ é agudo se (0 θ < 90 ), se e somente se, u v > 0. θ é reto (θ = 90 ), se e somente se, u v = 0. θ é obtuso (90 < θ 180 ), se e somente se, u v < 0. Observação 2: u + v 2 = ( u + v)( u + v) = u u + u v + v u + v v = u u v + v 2. Se θ = 90, os vetores u e v são ortogonais = u + v 2 = u 2 + v 2. Do mesmo modo u v 2 = u 2 2 u v + v 2 e u + v u v = u 2 v 2 Exemplo 19. Encontre o ângulo entre u = 2 i j + k e v = i + j. Solução: cos(θ) = cos(θ) = u v u v ( 2, 1,1) (1,1,0) ( 2) 2 + ( 1) cos(θ) = 3 12 = 3 2 θ = 120 Exemplo 20. Encontre o ângulo θ entre u = i 2 j 2 k e v = 6 i + 3 j + 2 k. 34

39 2.1. PRODUTO ESCALAR Solução: cos(θ) = cos(θ) = u v u v (1, 2, 2) (6,3,2) (1) 2 + ( 2) 2 + ( 2) cos(θ) = 4 21 = θ 100,95 Vetores Ortogonais: Dois vetores u e v são ortogonais se, o produto escalar deles é nulo: u v = 0. Exemplo 21. u = 3 i 2 j + k é ortogonal a v = 2 j + 4 k pois u v = (3)(0) + ( 2)(2) + (1)(4) = 0. Observação: O vetor nulo 0 é ortogonal a todo vetor u, pois 0 u = (0,0,0) (3, 2,1) = Agora tente resolver! 1. Encontre{ as coordenadas do vetor v = (a,b,c), resolvendo o seguinte v ( i sistema: k) = 3 v j = 5 2. Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oy que satisfaz as condições: v a = 12 e v b = 6, onde a = (1,2, 4) e b = ( 1,2,6). 3. Determine z tal que u = (1, 3,2) e v = (5, 3,z) sejam ortogonais. 4. Encontrar o vetor m ortogonal aos vetores u = (3,2, 2) e v = ( 1, 3, 4), de módulo igual a Calcule o ângulo entre os vetores u = (3,2,1) e v = (4,5, 3). 6. Sabendo que u = 4, v = 6 e 30 o ângulo entre eles, calcule u v. 35

40 2.1. PRODUTO ESCALAR Figura 2.3: Ângulos diretores. Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor: Considere o vetor v = x 1 i + y 1 j + z 1 k. Chamamos de ângulos diretores de v os ângulos α, β e γ que v forma com os vetores i, j, k como podemos observar pela figura 2.3. Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, cos(α), cos(β), cos(γ). Assim, por exemplo, cos(α) = os demais seguem de mesma forma. v i v i = x v Exemplo 22. Dados A(2,2,-3), B(3,1,-3) calcular os ângulos diretores v = AB. Solução: Ou seja AB= B A = (3,1, 3) (2,2, 3) = (1, 1,0) AB= 1 i 1 j + 0 k Agora vamos calcular seus ângulos diretores: cos(α) = AB i AB i Então α = 45 = x AB = ( 1) = 1 2 =

41 2.1. PRODUTO ESCALAR cos(β) = y AB = Então β = 135 cos(γ) = z AB = Então γ = ( 1) = 1 = ( 1) = Vetor Projeção Dados dois vetores u e v, com u 0 e v 0, queremos determinar um vetor que é a projeção do vetor u sobre o vetor v. As figuras ilustram duas situações, Figura 2.4: Vetor projeção. Observando a Figura 2.5, traçando uma reta r paralela ao vetor u e considerando um vetor ortogonal a reta r, com origem no ponto C, percebe-se que vetor a, é a projeção ortogonal de v sobre u. Note que b = v a, é ortogonal a u e a a. Com a ideia geométrica em mente, vamos enunciar a seguinte propriedade: Dados dois vetores u O e v, existe um único vetor a que verifica: 1. a u 2. v a u ( v a ) u = 0. 37

42 2.1. PRODUTO ESCALAR Figura 2.5: Vetor projeção 2. O vetor a é chamado de projeção ortogonal de v sobre u, e indicamos: a = proj u v. Pela condição (1): a = α u, e, pela condição (2) ( v a ) u = 0, se a = α u, temos v u α u u = 0, então proj u v = v u α = u 2 ( v u u 2 ) u Exemplo 23. Encontre a projeção ortogonal de u = 6 i + 3 j + 2 k em v = i 2 j 2 k. Solução: ( ) u v a = proj v u = v 2 v = ( ) (1, 2, 2) = ( 4 9 ) (1, 2, 2) = ( ) (6,3,2) (1, 2, 2) ( 2) 2 + ( 2) 2 (1, 2, 2) = ( 4 9,8 9,8 9 ) 38

43 2.2. PRODUTO VETORIAL Exemplo 24. Encontre a projeção ortogonal de uma força F = 5 i + 2 j em v = i 3 j. Solução: ( ) ( ) w = proj v F u v (5,2) (1, 3) = v 2 v = ( 3) 2 (1, 3) = ( ) ( 1 1 (1, 3) = 10 10, 3 ) Agora tente resolver! 1. Dados os vetores u = (4,7,3), v = (2,2,1) e w = (0, 5,2) calcule: a) ( u + v) w b) proj u v c) u ( v 2 w) d) proj u w e) proj w v f) proj v w g) proj v u 2. Dados os vetores m = (1, 3,4), n = (3, 4,2) e o = ( 1,1,4), calcular a projeção do vetor m na direção do vetor n + o. 2.2 Produto Vetorial Dados dois vetores u e v, estamos em busca de um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos vetores u e v, denotado por u v que denominamos de produto vetorial de u e v. Para definirmos o produto vetorial, devemos lembrar da orientação de base positiva no espaço. Considere três vetores u, v e w, como mostra a Figura

44 2.2. PRODUTO VETORIAL Figura 2.6: Orientação. O conjunto { u, v, w} nesta situação geométrica forma uma base de vetores do espaço, pois os vetores são não coplanares. Considere a rotação em torno do menor ângulo, em torno de O, assim o vetor u é o primeiro vetor da base, que terá o mesmo sentido do vetor v, que será definido como o segundo vetor da base. Se a rotação for no sentido anti-horário a base é positiva. Sendo assim { u, v, w}, é positiva. Vale lembrar que a base canônica é representada no sentido positivo, assim { i, j, k} nessa ordem é positiva. Observação 1: Usando um dispositivo prático da figura 2.7, observamos a ordem circular dos vetores da base canônica. Pelo dispositivo temos: 40

45 2.2. PRODUTO VETORIAL Figura 2.7: Sentido Positivo. i j = k, de maneira análoga, temos que: j k = i e k i = j. Já no sentido horário, pela figura 2.8, observamos a ordem circular no sentido negativo. Figura 2.8: Sentido Negativo. j i = k, de maneira análoga, temos que: i k = j e k j = i. Pelo sentido anti-horário temos o sentido positivo da base: { j, k, i} e { k, i, j}. { i, j, k}, No sentido horário { j, i, k}, { i, k, j} e { k, j, i} o sentido da base é negativo. 41

46 2.2. PRODUTO VETORIAL Definição do Produto Vetorial Ao contrário do produto escalar, que resulta em um escalar, e pode ser definido tanto como vetores do espaço como vetores do plano, o produto vetorial só pode ser definido em vetores do espaço já que está ligado essencialmente ao conceito de orientação no espaço. Representamos o produto vetorial por u v, lê-se u vetorial v. Observação 2: u v = 0 Se o produto vetorial resultar em um vetor nulo 0 significa que um dos vetores é nulo ou os vetores são colineares. o vetor resultante tem: i. módulo w = u v = u v sen(θ). ii. a direção do vetor resultante w é simultaneamente ortogonal a u e v. iii. o sentido é tal que { u, v, w} é dado pela base positiva orientada do espaço. Cálculo do Produto Vetorial Considere a base canônica de R 3, { i, j, k}. Usando a definição de produto vetorial, a observação 1 e sabendo que: i i = 0 j j = 0 k k = 0 O produto vetorial entre u = x 1 i + y 1 j + z 1 k e v = x2 i + y 2 j + z 2 k, representado por ( u v) será expresso em coordenadas. Vamos obter as coordenadas, estendendo por linearidade, assim: u v = (x 1 i + y 1 j + z 1 k) (x2 i + y 2 j + z 2 k) = (x 1 x 2 )( i i) + (x 1 y 2 )( i j) + (x 1 z 2 )( i k) + (y 1 x 2 )( j i) + (y 1 y 2 )( j j) + (y 1 z 2 )( j k) + (z 1 x 2 )( k i) + (z 1 y 2 )( k j) + (z 1 z 2 )( k k) = (x 1 x 2 )(0) + (x 1 y 2 )( k) + (x 1 z 2 )( j) + (y 1 x 2 )( k) + (y 1 y 2 )(0) + (y 1 z 2 )( i) + (z 1 x 2 )( j) + (z 1 y 2 )( i) + (z 1 z 2 )(0) 42

47 2.2. PRODUTO VETORIAL Portanto, u v = (y 1 z 2 z 1 y 2 ) i (x 1 z 2 z 1 x 2 ) j + (x 1 y 2 y 1 x 2 ) k, que corresponde ao determinante i j k [ ] [ u v = x 1 y 1 z 1 y1 z = 1 x1 z i 1 y 2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 z 2 ] [ ] x1 y j + 1 k x 2 y 2 O símbolo que utilizamos acima não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores e não escalares. No entanto, é uma forma de calcular semelhante ao desenvolvimento do determinante. Esta representação simbólica auxilia apenas o cálculo de u v em coordenadas. Exemplo 25. Determine o produto vetorial entre u = (2,3,1) e v = (1,4, 1), da seguinte forma u v e v u. Solução: i j k u v = = [ ] [ ] i u v = ( 7,3,5) E, v u = (7, 3, 5). Observe que o produto vetorial não é comutativo Propriedades do Produto Vetorial [ ] 2 3 j + k 1 4 Algumas propriedades do produto vetorial estão relacionadas com as propriedades dos determinantes. i. u u = 0 Pela definição de produto vetorial, temos que u v = u v sen(θ) então u u = u u sen(0 ) = 0. ii. u v = ( v u) Observe que aqui a ordem dos fatores é importante, significa que o produto vetorial não é comutativo. Os vetores resultantes serão opostos. iii. u ( v + w) = u v + u w. Sendo u = (x 1,y 1,z 1 ), v = (x 2,y 2,z 2 ) e w = (x 3,y 3,z 3 ): 43

48 2.2. PRODUTO VETORIAL u ( v + w) = (x 1,y 1,z 1 ) (x 2 + x 3,y 2 + y 3,z 2 + z 3 ) = (y 1 (z 2 + z 3 ) z 1 (y 2 + y 3 ),z 1 (x 2 + x 3 ) x 1 (z 2 + z 3 ), x 1 (y 2 + y 3 ) y 1 (x 2 + x 3 )) = (y 1 z 2 z 1 y 2 + y 1 z 3 z 1 y 3, x 1 z 2 + z 1 x 2 x 1 z 3 + z 1 x 3, x 1 y 2 y 1 x 2 + x 1 y 3 y 1 x 3 ) = (y 1 z 2 z 1 y 2, x 1 z 2 + z 1 x 2,x 1 y 2 y 1 x 2 ) + (y 1 z 3 z 1 y 3, x 1 z 3 + z 1 x 3,x 1 y 3 y 1 x 3 ) = u v + u w Comparando com as propriedades dos determinantes, observamos que se cada elemento de uma linha é uma soma de parcelas, o determinante pode ser expresso sob a forma de uma soma de determinantes. iv. (m u) v = m( u v) (m u) v = (m(x 1,y 1,z 1 )) (x 2,y 2,z 2 ) = (mx 1,my 1,mz 1 ) (x 2,y 2,z 2 ) = (my 1 z 2 mz 1 y 2, mx 1 z 2 + x 2 mz 1,mx 1 y 2 my 1 x 2 ) = m(y 1 z 2 z 1 y 2, x 1 z 2 + x 2 z 1,x 1 y 2 y 1 x 2 ) = m( u v) Se multiplicarmos uma linha por um número real, o resultado final fica multiplicado por esse número. v. u v = 0 se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se u e v são colineares. Se um dos vetores é nulo, teremos no produto vetorial uma linha nula, então o vetor resultante é nulo. De mesma forma, se os vetores são colineares temos duas linhas múltiplas, logo o vetor resultante também é nulo. vi. u v é ortogonal simultaneamente aos vetores u e v. Pelo produto escalar: u ( u v ) = v ( u v ) = 0. Veja pela base canônica { i, j, k} como o resultado do produto vetorial de cada par de vetores, resulta sempre no terceiro de tal maneira que este é ortogonal aos outros dois. 44

49 2.2. PRODUTO VETORIAL vii. u v 2 = u 2 v 2 ( u v) 2 Identidade de Lagrange. viii. se u 0 e v 0 e se θ é o ângulo entre os vetores u e v, de fato: u v 2 = u 2 v 2 ( u v) 2 = u 2 v 2 ( u v cosθ) 2 = u 2 v 2 (1 cos 2 (θ)) = u 2 v 2 sen 2 (θ) Portanto, o comprimento ou norma é u v = u v sen(θ). ix. u ( v w) ( u v) w x. Sentido de u v : regra da mão direita: Figura 2.9: Regra da Mão Direita Agora tente resolver! 1. Dados os vetores abaixo, esboce os eixos coordenados e represente os vetores u, v e u v: (a) u = (3,4,3), v = (0,0,6) (b) u = (2,6,0), v = (0,4,3) (c) u = (2, 3,4), v = (1,4,0) 2. Para cada item, determine u v e v u: (a) u = (2,3,0), v = (4,1, 1) 45

50 2.2. PRODUTO VETORIAL (b) u = (0,1,2), v = (2,0,3) (c) u = (1, 1,1), v = (3,1,2) 3. Sabendo que u = (1,2,3), v = (2,1, 1) e w = (3,1,0), calcule: (a) 3 u ( v + 2 w) (b) ( u v) ( v u) (c) u ( v w) (d) ( u v) w (e) u ( v w) (f) ( u v) w Interpretação Geométrica do Produto Vetorial A área de um paralelogramo determinado pelos vetores u e v é numericamente igual ao módulo do produto vetorial u v como podemos observar pela figura. Cálculo da área do paralelogramo: Área(ABCD) =(AB)h, onde (AB) = AB = u. Temos que h=(ad)sen(θ), em que (AD) = AD = v. Logo, Área(ABCD)= u v senθ = u v. Exemplo 26. Dados os vetores u = (2,1, 1), v = ( 1,1,3), calcular a área do paralelogramo formado por u e v. Solução: 46

51 2.2. PRODUTO VETORIAL u v = i j k = i(3 ( 1)) j(6 (1)) + k(2 ( 1)) = 4 i 5 j + 3 k = (4, 5,3) = ( 5) = = 50 = 5 2 u.a. Exemplo 27. Calcular a área do triângulo formado pelos pontos A(-1,1,0), B(2,1,-1), C(-1,1,2). Solução: Primeiramente, calcularemos os vetores AB e AC. AB= B A = (2,1, 1) ( 1,1,0) = (3,0, 1) AC= C A = ( 1,1,2) ( 1,1,0) = (0,0,2) Agora vamos calcular a área do paralelogramo formado por estes vetores: AB AC = i j k = i(0 0) j(6 0) + k(0 0) = 0 i 6 j + 0 k = (0, 6,0) Portanto, a área do paralelogramo é AB AC = ( 6) 2 = 36 = 6u.a. Mas, o exercício pergunta qual o valor da área do triângulo formado pelo pontos A, B e C. Conforme a figura a seguir, a área do triângulo é exatamente a metade da área do paralelogramo, ou seja 3 u.a. 47

52 2.2. PRODUTO VETORIAL Agora tente resolver! 1. Obtenha o vetor x tal que x ( i j ) = 0 e x ( i +2 k ) = i 1 2 k. 2. Dados os vetores u = 3 i 2 j + 4 k e v = i 3 j 2 k. Calcule u v e u v. 3. Nos itens abaixo, encontre u v, o módulo (comprimento) e a direção do vetor unitário resultante de : a) u = 2 i 2 j k, v = i k. b) u = 2 i + 3 j, v = i + j. c) u = 2 i 2 j + 4 k, v = i + j 2 k. 4. Determine o vetor w, simultaneamente ortogonal aos vetores u = (2,1,1) e v = (5,3, 1). 5. Encontre o vetor ortogonal ao plano dos vetores u = (3,1, 1) e v = (4,2,3). 6. Considerando os vetores a = (1,2,3), b = ( 1,1,2), c = (2, 4,3) e d = (2, 1,0), calcular ( a b) ( c d). Uma Aplicação na Física O Torque é o produto entre a intensidade da força pela distância d de um ponto P. Nesta situação, quando giramos, por exemplo, um parafuso aplicamos uma força F sobre a chave para apertarmos o parafuso, assim, o torque que estamos produzindo age ao longo do eixo do parafuso para girá-lo. A magnitude do torque depende da distância entre o eixo do parafuso e o ponto sobre a chave no qual estamos aplicando a força e quanto da força é perpendicular à chave no ponto de aplicação. O número que usamos para medir o torque é a magnitude do vetor d F senθ ou d F, onde d é o comprimento do braço da alavanca. Exemplo 28. Calcular o módulo do torque sobre uma barra P Q, onde P Q = 4 j(em metros) e F = 15 i (em newtons) e o eixo de rotação é o eixo z. 48

53 2.3. PRODUTO MISTO Solução: Torque = P Q F = 60 k. Assim, o módulo pode ser calculado como T orque = ( 60) 2 = 60mN. 2.3 Produto Misto Definição do Produto Misto Dados três vetores u = x 1 i + y 1 j + z 1 k, v = x2 i + y 2 j + z 2 k e w = x 3 i + y 3 j + z 3 k, o produto misto tomado nesta ordem, é o número real u ( v w). Observe que o produto vetorial v w é um vetor, e portanto, é possível formar seu produto escalar u ( v w). Estes três vetores formam três arestas adjacentes de um paralelepípedo. Por isso, o produto misto representa o volume do paralelepípedo gerado por estes vetores. Representamos o produto misto de u, v e w por ( u, v, w). Cálculo do Produto Misto Do resultado do produto vetorial: v w = (y 2 z 3 z 2 y 3 ) i (x 2 z 3 z 2 x 3 ) j + (x 2 y 3 y 2 x 3 ) k Temos que: u ( v w) = (x 1 i+y 1 j+z 1 k) [(y2 z 3 z 2 y 3 ) i (x 2 z 3 z 2 x 3 ) j+(x 2 y 3 y 2 x 3 ) k]. Sabendo que o produto escalar de dois vetores ortogonais é nulo, só teremos resultados quando houver produto escalar entre o mesmo vetor unitário 49

54 2.3. PRODUTO MISTO da base canônica. u ( v w) = x 1 (y 2 z 3 z 2 y 3 ) i i + y 1 (x 2 z 3 z 2 x 3 ) j j + z 1 (x 2 y 3 y 2 x 3 ) k k Logo, o que temos é: = x 1 y 2 z 3 x 1 z 2 y 3 + y 1 x 2 z 3 y 1 z 2 x 3 + z 1 x 2 y 3 z 1 y 2 x 3 = x 1 y 2 z 3 + y 1 x 2 z 3 + z 1 x 2 y 3 (x 1 z 2 y 3 + y 1 z 2 x 3 + z 1 y 2 x 3 ) x 1 y 1 z 1 u ( v w) = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z Propriedades do Produto Misto As propriedades do produto misto decorrem das propriedades dos determinantes. i. ( u, v, w) = 0 Se um dos vetores é nulo, teremos uma linha nula no determinante, portanto, seu resultado é nulo. Se dois deles são colineares, temos linhas proporcionais, gerando um resultado nulo. E considerando que u ( v w) = 0, significa que u e v w são vetores ortogonais e sabendo que v w é ortogonal a v e w, então v w é ortogonal a u, v, w. Portanto, u, v, w são coplanares. ii. O produto misto independe da ordem circular dos vetores: ( u, v, w) = ( v, w, u) = ( w, u, v). Mas troca de sinal se trocarmos as posições de dois vetores consecutivos: ( u, v, w) = ( v, u, w). iii. ( u, v, w + r) = ( u, v, w) + ( u, v, r) Comparando com as propriedades dos determinantes, observamos que se cada elemento de uma linha é uma soma de parcelas, o determinante pode ser expresso sob a forma de uma soma de determinantes. iv. ( u, v, m w)=( u, m v, w)=(m u, v, w)=m( u, v, w) Se multiplicarmos uma linha por um número real, o resultado final fica multiplicado por esse número. 50

55 2.3. PRODUTO MISTO v. ( u v) w = u ( v w) O produto misto é comutativo, pois o produto escalar também é comutativo. Exemplo 29. Encontre o produto misto ( u, v, w), onde u = (3,2,1), v = (1,1,1), w = (2,1,1). Solução: u ( v w) = ( ) = 8 7 = Agora tente resolver! 1. Calcule o produto misto dos vetores a seguir, na ordem que eles aparecem: (a) u = (1,2,3), v = (2,1,0), w = (3,0, 1) (b) u = (0,0,2), v = (2, 1,0), w = (1,1, 1) (c) Verificar se os vetores abaixo são coplanares: i. u = (1,2,3), v = (0,0,2), w = ( 1,0,3) ii. u = (2,4,6), v = (1,1,3), w = (6,12,18) Interpretação Geométrica do Produto Misto O volume de um paralelepípedo é definido como área da base pela sua altura (A b h). Observando a figura 2.10 a área da base do paralelepípedo é u v. Seja θ o ângulo entre os vetores e u v e w. Sendo u v um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto, h = w cos(θ). Assim, Fazendo u v = n, V = u v w cos(θ) V = n w cos(θ) Sabendo que n w = n w cos(θ). O volume do paralelepípedo é definido pelo módulo do produto misto determinado pelos vetores u, v e w. V = n w = ( u v) w Exemplo 30. Encontre o volume da caixa determinada por u = (1,2, 1), v = ( 2,0,3), w = (0,7, 4). 51

56 2.3. PRODUTO MISTO Figura 2.10: Interpretação Geométrica do Produto Misto. Solução: V = ( u, v, w) = = ( ) = = 23 = 23 u.v. Observação 3: O Tetraedro é uma figura geométrica espacial. Um Tetraedro Regular é formado por quatro triângulos equiláteros. O volume do tetraedro ABCD é 1 6 do volume do paralelepípedo. Pois, V T = 1 3 A bt h T. Sabendo que a área da base é A bt = 1 2 A bp e a altura do tetraedro é igual a altura do paralelepípedo h T = h P. Então, V T = A bp h P = 1 6 A bp h P = 1 6 V P. Exemplo 31. Calcule o volume do tetraedro sabendo que as arestas são determinadas pelos vetores u = ( 1,1,0), v = ( 1,0,1) e w = (3,2,7). Solução: V = ( u, v, w) = = = 2u.v. Exemplo 32. Verificar se os pontos A(0,1,1), B(1,0,2), C(1, 2,0) e D( 2,2, 2) são coplanares. 52

57 2.3. PRODUTO MISTO Figura 2.11: Tetraedro. Solução: Os pontos pertencem ao mesmo plano se os vetores AB = (1, 1,1), AC = (1, 3, 1) e AD = ( 2,1, 3) são coplanares, isto acontece se o produto misto entre eles é zero. Assim, det = 0. Duplo Produto Vetorial: Dados os vetores u = x 1 i + y 1 j + z 1 k, v = x 2 i + y 2 j + z 2 k e w = x3 i + y 3 j + z 3 k, chama-se duplo produto vetorial dos vetores u, v e w ao vetor u ( v w). Observação: O produto vetorial não é associativo: u ( v w) ( u v) w. Decomposição do Duplo Produto Vetorial: É possível decompor o duplo produto vetorial na diferença de dois vetores com coeficientes escalares: u ( v w) = ( u w) v ( u v) w Esta fórmula pode ser escrita sob a forma de determinantes: u ( v w) = v w u v u w Agora tente resolver! 1. Dados os vetores a = (3, 1,1), b = (1,2,2) e c = (2,0, 3), calcule ( a, b, c). 53

58 2.4. LISTA 2 2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2,m,0), v = (1, 1,2) e w = ( 1,3, 1) sejam coplanares? 3. Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u = (0, 1,2), v = ( 4,2, 1) e w = (3,4, 2). 2.4 Lista 2 1. Encontre as coordenadas do vetor v = (a,b,c), resolvendo os seguintes sistemas: (a) (b) (c) v ( i + j) = 2 v ( i + 2 k) = 4 v ( i) = 3 v (2 i + j + k) = 2 v ( i k) = 0 v (3 j) = 9 v (3 i + 2j k) = 3 v ( j k) = 2 v (3 i k) = 1 2. Dados os vetores u = (2,3, 1), v = (4, 2, 3), determinar x de modo que 4 x 2 v = x + ( u v ) u. 3. Dados os vetores u = (3, 2,4), v = (1,2, 4), calcular (a) (3 u v) ( v 4 u) (b) ( u + 3 v) ( u v) 4. Sabendo que u = 2, v = 3 e u v = 1, calcular: (a) (2 u 3 v) u (b) ( u + v) ( v 4 u) 5. Qual o comprimento do vetor projeção de u = (2,4,5) sobre o eixo x? 6. Qual o comprimento do vetor projeção de a = (4,5, 3) sobre o eixo y? 7. Determinar o vetor v paralelo ao vetor u = (1,3, 1) tal que v u = Determine x para que os vetores sejam ortogonais: (a) u = (x + 2,2,1) e w = (4, x,2) 54

59 2.4. LISTA 2 (b) u = (4,x + 1,3) e w = (x,3, 2x) 9. Encontre o vetor proj v u: (a) u = (2,2, 3) e v = (5,3,0) (b) u = 7 i + 8 j + 9 k e v = i + 2 j + 3 k (c) u = (3, 6,7) e v = (0,1,1) (d) u = 2 i + 7 j 6 k e v = 3 i + 2 j (e) u = (2,3,4) e v = (1, 1,0) 10. Encontre os ângulos entre os vetores: (a) u = (2,7, 6) e v = (3,2,0) (b) u = 2 i + 4 j + 6 k e v = 6 j (c) u = (1,2, 8) e v = (3,1,0) (d) u = (5, 6,4) e v = (0,0,7) 11. Encontre a medida dos ângulos do triângulo cujos vértices são A(-1,0), B(2,1), C(1,-2). 12. Marque os pontos A(4,5,3), B(6,2,0) e C(0,6,2) no espaço tridimensional, desenhe a placa triangular e calcule o ângulo interno ao vértice A. 13. Usando a definição de trabalho (W ) realizado por uma força constante W = F AB = F AB cosθ. Encontre o trabalho realizado por uma força que atua no deslocamento de um objeto de A para B, sabendo que F = 30N (newtons) e AB = 2m e θ = Encontre o trabalho realizado por uma força que atua no deslocamento de um objeto de A para B, sabendo que F = 25N (newtons) e AB = 4m e θ = Encontre as coordenadas do vetor w de módulo 27 que é ortogonal ao vetor u = (3,2, 2) e ao vetor v = (1, 2, 6). 16. Determine o vetor u = (a,b,c) sabendo que u v = 1 e u w = 1 e que u = 22, onde v = (1,1,0) e w = (2,1, 1). 17. Dados os vetores u = (2,3,1) e v = (1,2,3), encontre: (a) w = 2 u v (b) w = (3 u + 2 v) v (c) w = u ( v u) 18. Se u = 2 i j + 4 k, v = 2 i + 6 j 2 k e w = 2 i + 2 k, determinar: 55

60 2.4. LISTA 2 (a) u w (b) (2 v) (3 u) (c) ( u w) + ( w v) 19. Dados os pontos P (3,2,1), Q(3,0,5) e R(2, 1, 1), determinar o ponto S tal que ( P S) = ( QR) ( P R). 20. Dados os vetores u = (6, 2,1) e v = (2, 2,0): (a) Desenhe o paralelogramo e determine sua área. (b) Encontre a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v. 21. Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB= (1, 1,3) e AD= (3, 3,2). 22. Marque os pontos a seguir no espaço cartesiano, encontre a área dos triângulos formados pelos vetores AB e AC e o comprimento das alturas baixadas pelo vértice B: (a) A(2,6,0), B(4,4,6), C(5,2, 1) (b) A(4, 3,4), B(4,4,4), C(5,3, 4) (c) A(4, 3,0), B(5,6,4), C(5,5, 2) 23. Dados os vetores u = (2,3,0) e v = (3,4,4), encontre a área do paralelogramo sabendo que ele é formado por 2 u e v. 24. Encontre um vetor perpendicular ao plano dos pontos A(4,6,1), B(5, 3,4) e C(5,5, 2). 25. Conhecendo as coordenadas dos vetores v = (1,1,3) e w = (1,2, 1). Encontre as coordenadas do vetor u sabendo que ele é ortogonal ao eixo x e v = u w. 26. Determinar a distância do ponto A( 4, 3,5) à reta que passa pelos pontos P (2,7,0) e Q(5, 4, 2). 27. Encontre o vetor u tal que u ( i j) = 2( i + j k), tal que o módulo de u seja Sabendo que os pontos A(4,0,2), B(6,2,5), C(5,5,3) e D(3,3,0) são vértice de uma placa, marque os pontos no espaço cartesiano, determine a área e o ângulo interno ao vértice C. 29. Determine o vetor v, ortogonal ao eixo Oy, sabendo que v (0,3,2) = 8 e v (1,2,0) =

61 2.4. LISTA Dados os vetores u = (2, 1,3) e v = (2,3,3) e w = (2,0, 4), calcular: (a) ( u, v, w) (b) ( w, u, v) (c) ( v, u, w) 31. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: (a) u = (2,2,k) e v = (2,0,1) e w = (k,4,k). (b) u = (2,k,2) e v = (1,0,k) e w = (3, 1,1)). 32. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u = (3,1,0), v = (2,1,0) e w = (2,1,5). Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u e v. 33. Sejam A(2,4,0), B(2, 2,0), C( 4,0,0) e D(0,0,6) vértices de um tetraedro. Calcular o volume deste tetraedro. 34. Sejam A(2,1,6), B(4,1,3), C(1,16,2) e D(3,1,1) vértices de um tetraedro. Calcular o volume deste tetraedro. 35. Represente no espaço cartesiano o tetraedro dos itens abaixo e calcule seu volume: (a) A(7,6, 3), B(5, 1,1), C(0,6,0), D(5,5,5) (b) A( 3,4,0), B(4,0,1), C(4,8,0), D( 1,0,3) 36. Sejam os vetores u = (2,1,0), v = (1,0,2) e w 1 = 2 u v, w 2 = 3 v 2 u, e w 3 = i + j + 2 k. Determinar o volume do paralelepípedo definido por w 1, w 2, w Quatro vértices de um paralelepípedo são A(1, 4, 12), B(6, 8, 14), C( 5, 12, 6) e D(9, 18, 15). Calcule o volume desse paralelepípedo. 38. Do tetraedro de arestas OA, OB e OC, sabe-se: OA = (x,3,4), OB = (0,4,2), OC = (1,3,2). Calcule x para que o volume desse tetraedro seja igual a 2u.v. 39. Dados os pontos A(3,4,0), B(0, 2,0) e C(1,2,4), determinar o ponto D do eixo Oy, tal que o volume do tetraedro determinado por AB, AC e AD seja 12u.v. 40. Determine o valor de a para que os vetores sejam coplanares u = (2,4,0), v = (3,2, 1) e w = (a,0,1). 41. Sendo os vetores u = (4,4,0), v = ( 3,5,0) e w = (1,3,z) vértices de um paralelepípedo de volume 192u.v., determinar o valor de z. 57

62 2.4. LISTA Determinar o vetor m = (a,b,c), tal que: m (2,3,4) = 9 m ( 1,1, 1) = ( 2,0,2) 43. Determinar o vetor u = (a,b,c), tal que: u (2,0,4) = 4 u (3, 1,0) = (0,0,3) 44. Encontre os valores de b e c de modo que (2,b,c) ((1,2,3) (1,0, 1)) = Encontre os valores de b e c de modo que (2,b,c) (1, 2,2)) = (2,2,1). 58

63 Capítulo 3 Gabaritos 3.1 Gabarito - Lista 1 1. w = ( 9 7, 10 7 ) 2. a = 9, b = 8, c = 2 3. a. OA = (3,6), AB = (1, 14), CB = (5, 11), OA + CB = (8, 5), AB OA = ( 2, 20) 4. u = 27, v = 21, w = 13, t = 74, u + w 5. u + v = 45, u 3 v = a = 1 3, b = 18,c = gráficos. 8. (0,y,0), (x,0,z), (0,y,z), (x,0,0) 9. CP m = ( 3 2,3 2, 3), u = 2 CP m = (1,1, 2) v = (1,6) 11. B(7,11,7) 12. v = (2,11, 1) 13. A (0, 1, 4) 14. u = ( 1 3, 9 3,7 3 ) 15. a = 1, b = 8 3, c = b = 18 59

64 3.2. GABARITO - LISTA Gabarito - Lista 2 1. a) v = ( 3, 1, 7 2 ); b) v = ( 1 3,3, 1 3 ); c) v = ( 2,1, 3) x = ( 18 3,11 3, 11 3 ) , , u.c. 6. 5u.c. 7. v = (4,12, 4) 8. x = 5; x = 3 9. a)( 40 17,24,0), b)( ,50 7,75 7 ), c)(0,1 2,1 ), d)( ,40 13,0); e)( 1 2,1 2,0) θ = arcos( ); θ = arcos( 2 5 ); θ = arcos( ); θ = arcos( 4 ) θ = arcos( ) 13. W = 30 3J 14. W = 50J 15. w = (18, 18,9) ou w = ( 18,18, 9) 16. u = (3, 2,3), u = ( 16 6,20 6, 14 6 ) 17. w = (14, 10,2); w = (21, 15,3); w = (7, 5,1) ; (132, 72, 84); ( 14, 12, 14) 19. ( 13,6,3) u.a.; 3u.c = 7 2u.a u.a

65 3.2. GABARITO - LISTA (0, 3,1) (1,1,2) a = 5 ou a = 5, b = 0 e c = , 56, a) k = 4 3 ; b) k = 2 3 ou k = V = 5u.v u.v. 328 u.v.; 22u.v u.v u.v , , a = z = 6, z = (1,1,1) 43. (2, 5 3,0) 44. b = c 45. b = 5, c = 6 61

66 3.2. GABARITO - LISTA 2 Bibliografia 1. Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Analítica, São Paulo: Pearson Makron Books, Winterle, P. Vetores e Geometria Analítica, São Paulo: Makron Books, 2 ed., Boulos, P. Geometria Analítica: um tratamento vetorial, São Paulo: McGraw-Hill, Weir, Maurice D. Cálculo (George B. Thomas), Volume II, São Paulo: Addison Wesley,

67 Apêndice A Estudo da Reta A.1 Conceito de Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, (A B) é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que a A e b B: A B = {(a,b) a A; b B} Exemplo 33. Considere os seguintes conjuntos: A = {1,3,5} e B = {2,3}. A B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)} Produtos cartesianos importantes: Sendo R - conjunto dos reais. Indica-se por R 2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), em que x e y são números reais. O produto cartesiano: R R = R 2 = {(x,y) x R; y R}. O número x é a primeira coordenada (abscissa) e o número y a segunda coordenada (ordenada) do par (x,y). Indica-se por R 3 o conjunto formado pelos ternos ordenados (x,y,z), em que x,y e z são números reais. O produto cartesiano: R R R = R 3 = {(x,y,z) x R, y R, z R}. O número x é a primeira coordenada (abscissa) e o número y a segunda coordenada (ordenada) e z é a terceira coordenada (cota) do terno (x,y,z). 63

68 A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO A.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta Uma reta orientada é uma reta na qual tomamos um sentido positivo de percurso (flecha). Figura A.1: Reta Orientada. Como vimos, cada ponto no plano (R 2 ) possui uma abscissa e uma ordenada, portanto, o ponto P é um par ordenado (x,y). Note que o plano cartesiano é formado a partir de duas retas mutuamente perpendiculares. O eixo x é perpendicular ao eixo y. Figura A.2: Plano cartesiano. Exemplo 34. Pontos no plano cartesiano. Suponha que deseja-se marcar o ponto A(1, 3) no plano cartesiano. Para isso, imagine uma reta vertical passando pelo ponto 1 do eixo x e uma 64

69 A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO Figura A.3: Ponto no plano cartesiano. reta horizontal passando pelo ponto 3 do eixo y. A interseção dessas duas retas é o ponto A. Distância entre dois pontos Para falar em distância entre dois pontos devemos lembrar do Teorema de Pitágoras, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Os lados que formam um ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Assim, temos a 2 = b 2 + c 2. Pela figura abaixo, considere os pontos P (x 1,y 1 ) e Q(x 2,y 2 ) Figura A.4: Distância entre dois pontos. P Q 2 = x 2 x y 2 y 1 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 65

70 A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO P Q = (x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Ponto Médio Considere três pontos sobre uma reta A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ), P (x,y), onde P é o ponto médio entre A e B, então AP = P B. Portanto, x = (x 1 + x 2 ), y = (y 1 + y 2 ) 2 2 ( x1 + x 2 P =, y ) 1 + y Figura A.5: Ponto médio. A.1.2 A Equação da Reta no plano É fácil perceber que dois pontos distintos definem uma única reta. Considere a reta definida por A(x 0,y 0 ) e B(x 1,y 1 ). Um ponto P (x,y) está sobre a reta desde que A, B e P sejam colineares, como podemos observar pela figura abaixo. Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e AP N forem semelhantes, P N AN = BM AM Portanto, y y 0 x x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0. Onde, x 0,y 0,x 1,y 1 são números conhecidos. Tal constante é o coeficiente angular da reta a e pode ser calculado dividindo-se a variação y das ordenadas dos pontos conhecidos da reta pela variação x de suas abscissas. 66

71 A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO Figura A.6: Definição da equação da reta. a = y x = y 1 y 0 x 1 x 0. Então, y 1 y 0 x 1 x 0 = a ou y y 0 = a(x x 0 ) é a equação na forma ponto coeficiente angular. Isolando y, temos y = ax ax 0 + y 0, onde ax 0 + y 0 = b, então a forma da equação reduzida da reta é dada por y = ax + b. Sendo assim, a é o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. Dizer que y = ax+b é uma equação de uma dada reta significa que todo ponto da reta tem coordenadas que satisfazem sua equação. Reciprocamente, todo par ordenado que satisfaz sua equação é um ponto da reta. Declividade ou coeficiente angular Considere uma reta r não paralela ao eixo Oy e α sua inclinação, o coeficiente angular a é o número real que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação α. a = tgα Observe a seguir os casos com 0 α < 180 : A equação da reta horizontal é y = b. 67

72 A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO Figura A.7: Reta horizontal. Figura A.8: Reta com coeficiente angular negativo. Figura A.9: Reta com coeficiente angular positivo. 68

73 A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO Figura A.10: Reta vertical. A equação da reta vertical é x = c. Observamos que uma reta com coeficiente angular positivo dirige-se para cima e para direita, e, uma reta com coeficiente angular negativo dirige-se para baixo e para direita. Exemplo 35. Como calcular o coeficiente angular: Dados dois pontos da reta, por exemplo, A(2,3) e B(4,7), então: a = = 4 2 = 2 Equação da reta conhecidos um ponto e a declividade: Considere P (x,y) um ponto genérico sobre a reta e a a declividade (coeficiente angular), temos tgα = a = y y 1 x x 1 y y 1 = a(x x 1 ) Exemplo 36. Se o ponto A(3,2) pertence a reta r e o coeficiente angular da reta é 2, usando a equação (y y 1 ) = a(x x 1 ), temos: (y 2) = 2(x 3) (y 2) = 2x 6 y = 2x 4. Equação Geral da reta: Toda reta possui uma equação na forma ax + by + c = 0 na qual a,b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos, chamada de equação geral da reta. Retas paralelas 69

74 A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO Duas retas são paralelas quando não existe um ponto comum a elas. Portanto, duas retas são paralelas se, e somente se, possuem a mesma inclinação a e cortam o eixo Oy em pontos diferentes. Figura A.11: Retas paralelas. Retas concorrentes Figura A.12: Retas concorrentes. Exemplo 37. Dadas as retas r : 3x + 2y 7 = 0 e s : x 2y 9 = 0, determinar o ponto P de interseção das retas r e s. Solução: Resolver o seguinte sistema: { 3x + 2y 7 = 0 x 2y 9 = 0 70

75 A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO Temos: 4x 16 = 0 4x = 16 x = 4, substituindo na segunda equação, y = 5. Portanto, P (4, ). Retas perpendiculares Duas retas são perpendiculares quando o ângulo entre elas é 90. Sejam, r : y = ax + b e s : y = mx + n, r e s são perpendiculares se ma = 1. Figura A.13: Retas perpendiculares. 71

76 Apêndice B Geometria B.1 Geometria B.1.1 Área de um paralelogramo A área de um paralelogramo é igual ao produto do comprimento de um lado pelo comprimento da altura, relativa àquele lado. B.1.2 Área de um triângulo A área de um triângulo é igual a metade do produto do comprimento de um lado pelo comprimento da altura, relativa àquele lado. 72

77 B.1. GEOMETRIA B.1.3 Tetraedro O tetraedro regular é um sólido platônico, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices, 4 faces e 6 arestas. É um caso particular de pirâmide regular de base triangular. 73