Aritmética.

Transcrição

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2 1. (Puccamp 2017) Para desbloquear a tela de um aparelho celular, o usuário deve digitar uma senha de três algarismos quaisquer. Note que também são válidas senhas, por exemplo, 088 ou 000. Se a pessoa digita duas vezes a senha errada, o mecanismo de segurança do aparelho trava a tela por uma hora. Rafael esqueceu sua senha, mas lembra que ela formava um número que era: quadrado perfeito, menor do que 900 e múltiplo de 3. Usando corretamente suas três lembranças, as chances de Rafael conseguir desbloquear a tela do seu celular, sem que ela trave por uma hora, são iguais a a) 2. 9 b) c) d) 1. 3 e) (Fuvest 2017) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b. Constituem dois inteiros positivos equivalentes: a) 8 e 9. b) 9 e 11. c) 10 e 12. d) 15 e 20. e) 16 e (Fatec 2017) Os números naturais de 0 a foram dispostos, consecutivamente, conforme a figura, que mostra o começo do processo. 2

3 Nessas condições, o número está na a) 1ª linha. b) 2ª linha. c) 3ª linha. d) 4ª linha. e) 5ª linha. 4. (Fgv 2017) O dono de uma papelaria comprou uma grande quantidade de canetas de dois tipos, A e B, ao preço de R$ 20,00 e R$ 15,00 a dúzia, respectivamente, tendo pago na compra o valor de R$ 1.020,00. No total, ele saiu da loja com 777 canetas, mas sabe-se que, para cada três dúzias de um mesmo tipo de caneta que comprou, ele ganhou uma caneta extra, do mesmo tipo, de brinde. Nas condições descritas, o total de dúzias de canetas do tipo B que ele comprou foi igual a a) 52. b) 48. c) 45. d) 41. e) 37. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto publicado em maio de 2013 para responder à(s) questão(ões) a seguir. Os Estados Unidos se preparam para uma invasão de insetos após 17 anos Elas vivem a pelo menos 20 centímetros sob o solo há 17 anos. E neste segundo trimestre, bilhões de cigarras (Magicicada septendecim) emergirão para invadir partes da Costa Leste, enchendo os céus e as árvores, e fazendo muito barulho. Há mais de 170 espécies de cigarras na América do Norte, e mais de 2 mil espécies ao redor do mundo. A maioria aparece todos os anos, mas alguns tipos surgem a cada 13 ou 17 anos. Os visitantes deste ano, conhecidos como Brood II (Ninhada II, em tradução livre) foram vistos pela última vez em Os moradores da Carolina do Norte e de Connecticut talvez tenham de usar rastelos e pás para retirá-las do caminho, já que as estimativas do número de insetos são de 30 bilhões a 1 trilhão. Um estudo brasileiro descobriu que intervalos baseados em números primos ofereciam a melhor estratégia de sobrevivência para as cigarras. < Acesso em: Adaptado. 3

4 5. (Fatec 2017) Suponha a existência de uma espécie C 1 de cigarras, emergindo na superfície a cada 13 anos, e de uma espécie C 2 de cigarras, emergindo a cada 17 anos. Se essas duas espécies emergirem juntas em 2016, elas emergirão juntas novamente no ano de a) b) c) d) e) (Espm 2016) Um garoto está construindo uma sequência de polígonos formados por 8 palitos de fósforo cada um, como mostra a figura abaixo: Sabendo-se que ele dispõe de 225 palitos, ao formar a maior quantidade possível desses polígonos, o número de palitos restantes será igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. (Espm 2015) O número natural N X possui 47 algarismos e é múltiplo de 9. O valor do algarismo X é: a) 4 b) 7 c) 3 d) 8 e) 5 4

5 8. (Fuvest 2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é a) R$ 0,85 b) R$ 1,15 c) R$ 1, 45 d) R$ 2,50 e) R$ 2,80 9. (Enem 2015) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, devera ser descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres (Figura 2). 5

6 De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada. Após o empilhamento total da carga e atendendo a norma do porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é a) 12,5 m. b) 17,5 m. c) 25,0 m. d) 22,5 m. e) 32,5 m. 10. (Enem 2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano, serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é a) 2. b) 4. c) 9. d) 40. e) 80. 6

7 11. (Fgv 2015) Um álbum de figurinhas possui 35 páginas, cada uma com 25 figurinhas, distribuídas em 5 linhas e 5 colunas. As figurinhas estão ordenadas e numeradas de 1 até 875. Nesse álbum, são consideradas figurinhas especiais a 7ª, 14ª, 21ª, 28ª e assim sucessivamente. A figura ilustra a primeira página desse álbum. Depois que o álbum for completado com todas as figurinhas, a última página que se iniciará com uma figurinha especial é a de número a) 27. b) 28. c) 32. d) 33. e) (Enem 2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir a) 105 peças. b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243 peças. e) 420 peças. 13. (Espm 2016) As soluções inteiras e positivas da equação x y z 30, com x y z são 7

8 dadas por ternas ordenadas (a, b, c). Essas soluções são em número de: a) 4 b) 6 c) 12 d) 24 e) 48 8

9 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Os quadrados perfeitos menores que 900 e múltiplos de 3 são aqueles cujas raízes também são múltiplas de 3. Como 900 é o quadrado perfeito de 30, os possíveis quadrados perfeitos são aqueles de raízes menores que 30, portanto de 0 a 29. Destes, são serão múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 e 27. Logo, Rafael terá um total de 9 combinações possíveis, de acordo com as informações que lembrava. Para que Rafael não trave seu celular, ele deve acertar a senha na primeira ou na segunda tentativa, ou seja: 1 Acerta 1ª Erra 1ª /Acerta 2ª Ptotal Resposta da questão 2: [E] Calculando os divisores: Divisores de 8 1, 2, 4, 8 Soma 15 Divisores de 9 1, 3, 9 Soma 13 Divisores de 10 1, 2, 5, 10 Soma 18 Divisores de 11 1, 11 Soma 12 Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Soma 28 Divisores de 15 1, 3, 5, 15 Soma 24 Divisores de 16 1, 2, 4, 8, 16 Soma 31 Divisores de 25 1, 5, 25 Soma 31 Logo, 16 e 25 são dois inteiros positivos equivalentes. Resposta da questão 3: [B] 9

10 Na primeira linha se encontra todos os números que quando divididos por 4 deixam resto zero e apresentam um quociente par. Sabendo que , podemos concluir que 2016 encontra-se na primeira linha, portanto 2017 encontra-se na segunda linha. Resposta da questão 4: [B] Sejam x e y, respectivamente, o número de dúzias compradas de canetas do tipo A e o número de dúzias compradas de canetas do tipo B. Tem-se que 20x 15y x 3y 204. Ademais, sendo , podemos concluir que ele ganhou 21 canetas e, portanto, comprou dúzias de canetas. Em consequência, vem 4 (63 y) 3y 204 y 48. Resposta da questão 5: [B] Elas emergirão juntas depois de M anos, onde M é o mínimo múltiplo comum entre 13 e 17. M Portanto, estas espécies emergirão juntas novamente no ano de Resposta da questão 6: [C] Para montar mais um conjunto de dois polígonos um padrão de 11 palitos é usado. Assim, o número de palitos restantes será igual a: , ,

11 Porém, para o último conjunto do padrão de 11 palitos ficar completo, são necessários mais dois palitos, logo restarão 3 palitos. Resposta da questão 7: [D] Se o número N possui 47 algarismos sendo o último deles o algarismo X, então pode-se afirmar que a sequência 47 repete-se 23 vezes, pois há 46 algarismos até o algarismo X. Para que um número ser múltiplo de 9 a soma de seus algarismos deve ser múltipla de 9. Assim, somando os algarismos do número N, tem-se: x 253 x x 8 pois Resposta da questão 8: [B] Sejam t, m e n, respectivamente, o total gasto, o número de viagens simples e o número de viagens de integração. Logo, devemos calcular o valor mínimo de t que satisfaça t3m 4,65n e t 12,5. Observando que 4, ,5, basta tomarmos n 3 e um valor conveniente de m para obtermos o resultado desejado. Com efeito, vejamos: se n 3 e m 0, temos t 3 4,65 13,95; se n 2 e m 2, temos t 3 2 4, ,30; se n 1 e m 3, temos t 3 3 4, ,65; se n 0 e m 5, temos t ,00. Portanto, segue que o menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é 13,65 12,5 R$ 1,15. Resposta da questão 9: [A] A altura mínima é atingida quando toda a área é ocupada pelos contêineres. A única maneira de fazer isso, é dispor os contêineres de modo que ,5 e ,4. Logo, serão 100 dispostos contêineres em cada nível e, portanto, a resposta é 2,5 12,5 m

12 Resposta da questão 10: [C] O número mínimo de escolas beneficiadas ocorre quando cada escola recebe o maior número possível de ingressos. Logo, sendo o número máximo de ingressos igual ao máximo divisor comum de e , temos 4 mdc(400, 320) Portanto, como e , segue que a resposta é Resposta da questão 11: [E] Tem-se que o número da primeira figurinha da última página é Logo, a figurinha especial de maior número que inicia uma página é o maior múltiplo de 7 dentre: 851, 826, 801,.Daí, como , podemos afirmar que a resposta é 34. Resposta da questão 12: [E] Sendo , e , vem que o máximo divisor comum 3 desses números é Contudo, se o comprimento das novas peças deve ser menor do que 200 centímetros, então queremos o maior divisor comum que seja menor do 3 que 200, ou seja, Em consequência, a resposta é Resposta da questão 13: [D] As possíveis soluções são: !

13 Contato: (11) Endereço: Rua Itapeva, 378, 1º andar, Bela Vista São Paulo, SP, (ao lado da FGV)