Autovalores e Autovetores Determinante de. Motivando com Geometria Definição Calculando Diagonalização Teorema Espectral:

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1 Lema (determinante de matriz ) A B A 0 Suponha que M = ou M =, com A e D 0 D C D matrizes quadradas Então det(m) = det(a) det(d) A B Considere M =, com A, B, C e D matrizes C D quadradas De forma geral, det(m) det(a) det(d) det(b) det(c) Calcule os valores de λ tais que det M = 0 λ 3 λ M = 0 0 λ 0 0 λ Definindo λ λ λ M =, M λ =, M λ 3 = 3 + λ, M M = 0 M det(m) = 0 0 M 3 det(m ) det(m ) det(m 3 ) = (λ ) (λ )(3 + λ) = 0 As raízes são,, 3 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 33 Introdução s Quando v e T v são paralelos? Qual direção é preservada por T? T uma reflexão em torno do eixo-x = T (x, y) = (x, y) Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x } T (, 0) = (, 0) direções preservadas T (0, ) = (0, ) } T (, ) = (, ) direções não preservadas T (, 3) = (, 3) T uma rotação de 90 = T (x, y) = (y, x) Incluir Figura: rotação de 90 graus Nenhuma direção é preservada! Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 33 Autovalor e Autovetor Autoespaço Seja T : V V TL Dizemos que 0 v V é autovetor associado ao autovalor λ se T v = λv λ pode ser zero, mas v não! (Se v = 0, então T v = λv λ) Se T v = λv então T v λv = T v (λi)v = 0 Logo (T λi)v = 0 Portanto v Nuc(T λi) O autoespaço associado a λ é Nuc(T λi) autoespaço assoc a λ = {autovetores assoc a λ} {0} Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33 Como calcular autovalores e autoespaços? Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T λi) Mas como encontrar um autovalor λ? T v = λv, v 0 (T λi)v = 0, v 0 Nuc(T λi)não trivial det(t λi) = 0 De fato, λ é autovalor de T sss det(t λi) = 0 Calcule os autovalores e autoespaços de x T (x, y) = y ( λ) det(a λi) = det = ( λ) ( λ) = (λ 0)(λ ) autoespaço para λ = 0: Resolvemos o sistema (A 0I)x = 0 3 autoespaço para λ = : Resolvemos o sistema (A I)x = 0 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33

2 Polinômio Característico : polinômio independe da base p(λ) = det(t λi) é um polinômio em λ, chamado polinômio característico de T O grau de p(λ) é igual à dimensão do espaço Lema O polinômio característico independe da base escolhida: det(t β λi) = det(t γ λi) Sejam A = T γ e B = T β Se P = I β γ, então PAP = B Assim, det(b λi) = det(pap λi) = det(pap P(λI)P ) = det(p(a λi)p ) = det(p) det(a λi) det(p ) = det(p) det(p ) det(a λi) = det(a λi) Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 0 / 33 Resumo do Cálculo Determinamos os zeros do polinômio det(t λi) = 0 para achar autovalores; Substituímos os autovalores na equação (T λi)v = 0 para determinar os autovetores v Calcule os autovetores de 3 0 x T (x, y, z) = 0 y 0 z Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 33 Calcular autovalores e autovetores de uma projeção e de uma reflexão Note que uma rotação não possui autovalores reais Isto indica que NENHUMA direção é preservada (Exceto para múltiplos de π radianos) Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 33 Multiplicidade Teorema (Teorema Fundamental da Álgebra) T : V V, (V funções reais diferenciáveis) definida por Tv = v Qual autovetor (chamada também de autofunção) associado ao autovalor 3? Isto é, para qual função v, v = 3v? v(t) = exp(3t) pois v (t) = 3 exp(3t), isto é, v = 3v Um polinômio de grau n tem exatamente n raízes (não necessariamente distintas) sobre o corpo dos complexos, isto é, existem números complexos, λ,, λ n, tais que n a k λ k = a n (λ λ )(λ λ ) (λ λ n ) λ, k=0 onde λ k s são números complexos Esta fatoração é única (a menos da ordem) Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33

3 Multiplicidade Agrupando-se termos repetidos, temos n a k λ k = a n (λ λ ) m (λ λ p ) mp λ, k=0 onde λ,, λ p são raízes distintas e m k é a multiplicidade da raiz λ k (Multiplicidade (Algébrica)) Se λ é raiz de multiplicidade m do polinômio característico de T, p T c, diz-se que λ é autovalor de multiplicidade λ de T Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base β tal que T β é uma matriz diagonal Teorema T : V V é diagonalizável se, e somente se, V possui uma base de autovetores de T Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33 Lema associados a autovalores distintos são linearmente independentes, ou seja, se 0 v k e T v k = λ k v k, k =,, p, com λ k s distintos, então {v,, v p } é LI Vamos provar para três autovetores {v, v, v 3 } com três autovalores (distintos) já ordenados por módulo: λ > λ > λ 3 Se α v + α v + α 3 v 3 = 0, aplicando T obtemos: T (α v + α v + α 3 v 3 ) = T 0 = 0 α T v + α T v + α 3 T v 3 = α λ v + α λ v + α 3 λ 3 v 3 = 0 Aplicando T novamente: T (α λ v + α λ v + α 3 λ 3 v 3 ) = 0 α (λ ) v + α (λ ) v + α 3 (λ 3 ) v 3 = 0 Aplicando T várias vezes: α (λ ) n v + α (λ ) n v + α 3 (λ 3 ) n v 3 = 0 Dividindo por (λ ) n : α v + α (λ /λ ) n v + α 3 (λ 3 /λ ) n v 3 = 0 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 0 / 33 α v + α (λ /λ ) n v + α 3 (λ 3 /λ ) n v 3 = 0 Passando ao limite (n ), como λ /λ <, α v = 0 Logo α = 0 Voltando a equação 0(λ ) n v + α (λ ) n v + α 3 (λ 3 ) n v 3 = 0, dividindo por (λ ) n : α v + α 3 (λ 3 /λ ) n v 3 = 0 Passando ao limite (n ), como λ 3 /λ <, α v = 0 Logo α = 0 Da equação 0v + 0v + α 3 v 3 = 0, concluimos que: α 3 = 0, o que implica que autovetores são LIs É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (veja o livro para outra prova) Corolário Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovalores distintos então T é diagonalizável Para diagonalizar uma TL em dimensão n: Calcular os autovalores (raízes do polinômio caractertístico) Se n autovalores distintos é diagonalizável Encontrar bases para autospaços (resolver sistemas homogêneos) 3 Juntar os vetores de todas as bases: se forem suficientes (n vetores LI s), T é diagonalizável, caso contrário, não Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ / 33 Decomposição Espectral es Diagonalizáveis Se A é diagonalizável, definindo D matriz diagonal com autovalores e P matriz com autovetores nas colunas, AP = PD : AP é uma matriz onde cada coluna é λ i v i PD é também uma matriz onde cada coluna é λ i v i Como autovetores formam base LI, P é invertível Assim A = PDP, chamada decomposição espectral de A A = A = 0 0 A = A = TODAS possuem no autovalores distintos iguais a dimensão da matriz Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 33

4 Encontre a decomposição espectral de 3 A = Autovalores são e Temos que calcular autoespaços para saber se é diagonalizável! Base do autoespaço do : v = (, 0, ) e v = (,, 0) Base do autoespaço do : w = (,, 0) Três autovetores LI s: É diagonalizável A = PDP com P = v v w D = Ou, A = PDP com P = w v v D = Ou, A = PDP com P = v w v D = Ou, A = PDP com P = v w v D = Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33 Encontre a decomposição espectral de 3 0 A = 0 0 Autovalores são e Temos que calcular autoespaços para saber se é diagonalizável! Base do autoespaço do : (3, 3, ) Base do autoespaço do : (0, 0, ) Dois autovetores LI s: Não é diagonalizável Não possui decomposição espectral T projeção ortogonal na reta r = w Determine decomposição espectral Se v é perpendicular à reta r, T v = 0 = 0v e T w = w São autovalores 0 e com autovetores associados w e v T = PDP com P = v w 0 D = Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33 Teorema Espectral potência de matrizes Teorema Se A = A t (dizemos que a matriz A é simétrica) então existe uma base ortogonal de autovetores que diagonaliza A Se A = PDP é diagonalizável podemos calcular facilmente A k por exemplo A = (PDP )(PDP ) = PD(P P)DP = PDDP = PD P calcular D é fácil: basta calcular o quadrado dos elementos da diagonal outro exemplo A 3 = (PDP )(PDP )(PDP ) = PD(P P)D(P P)DP = PDDDP = PD 3 P de forma geral, A k = PD k P Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 33 de potência Raiz Quadrada es Calcule A 0 para A = O autoespaço associado ao / é (, ) O autoespaço associado ao é (, ) / Portanto, P = com D = a inversa de P determinamos que P = / Como D 0 0 =,calculando o produto PD 0 P obtemos que A 0 = Podemos de forma similar calcular raiz quadrada de matrizes diagonalizáveis Se A = PDP, definimos A = P DP, onde D significa tomar raiz dos elementos da diagonal ( A) = (P DP )(P DP ) = P D DP = P( D) P = PDP = A Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33 Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

5 de raíz quadrada Calcule 6 30 A para A = 5 9 O autoespaço associado ao 9 é (, ) O autoespaço 3 associado ao 4 é ( 3, ) Portanto, P = com 9 D = a inversa de P determinamos 4 que P 3 = Como 3 D =, calculando o produto P DP = A obtemos que B = 0 6 A = 5 Verifique diretamente que B = A Álgebra Linear II 008/ Prof Marco Cabral & Prof Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33