Programa de Recuperação Paralela PRP 01

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1 Programa de Recuperação Paralela PRP 01 Nome: Apostila - 1ª Etapa 2018 Disciplina: Álgebra 7º Ano Página 1 de 23-7/6/2018-5:08

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3 APOSTILA - PROGRAMA DE RECUPERAÇÃO PARALELA PRP 01 ÁLGEBRA Uma breve explicação... A origem dos números negativos A noção de número negativo levou muito tempo para se estabelecer na história da Matemática. Passaram mais de 1000 anos entre sua aparição e aceitação, que provocou muitas discussões. Os hindus já discutiam a existência dos números negativos. Eles criaram um tipo de símbolo para representar dívidas, o qual, posteriormente, chamaríamos de negativo. A primeira vez que os números negativos apareceram explicitamente em uma obra foi em 628 d.c., com o matemático Brahmagupta. Alguns historiadores acreditam que foram problemas relacionados com o uso do dinheiro que levaram as pessoas a interpretar o número negativo como perda. A partir do século XVI, os números negativos passaram a integrar os conceitos e as definições da Matemática, acelerando ainda mais o crescimento dessa ciência. Representação geométrica dos números inteiros Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Podemos representar os números inteiros por meio de uma reta numérica, considerando o 0 (zero) como a origem. Observe que os números inteiros obedecem a ordem decrescente da esquerda para a direita, onde cada número possui somente um antecessor e um sucessor. Números inteiros opostos ou simétricos Números simétricos ou opostos são aqueles se encontram à mesma distância da origem e se localizam em lados opostos. Em geral, dado um número inteiro a, representamos o seu simétrico por a. Ex.: 4 e 4 Módulo de um número inteiro Denominamos módulo ou valor absoluto de um número inteiro a distância desse número até a origem da reta numerada. Representamos o módulo por. Ex.: o módulo de 4 = 4 = 4 Comparação entre números inteiros Dados dois números quaisquer, o menor deles será aquele que estiver à esquerda do outro na reta numerada. Ex.: 4 < 3 Adição de números inteiros A soma de dois números positivos também é positiva e seu módulo é igual à soma dos módulos desses números. Ex.: (+3) + (+4) = +7 A soma de dois números negativos também é negativa e seu módulo é igual à soma dos módulos desses números. Ex.: ( 3) + ( 5) = 8 A soma de dois números de sinais contrários não opostos apresenta o sinal do número de maior módulo, com valor igual à diferença dos módulos desses números. Ex.: (+2) + ( 7) = 5 A soma de dois números simétricos é igual a zero. Ex.: ( 4) + (4) = 0 Propriedades da Adição em Z Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma. Ex.: ( 6) + (+5) = 1 (+5) + ( 6) = 1 Página 3 de 23-7/6/2018-5:08

4 Associativa: em uma adição com mais de duas parcelas, podemos associá las de diferentes modos, sem alterar a soma. Ex.: [( 3) + (+5)] + (+4) = (+2) + (+4) = +6 ou ( 3) + [(+5) + (+4)] = ( 3) + (+9) = +6 Elemento Neutro: o zero é o elemento neutro da adição. Ex.: (+6) + 0 = 0 + (+6) = +6 ( 5) + 0 = 0 + ( 5) = 5 Elemento oposto: todo número possui um elemento oposto ou simétrico, e a soma desse número com o seu oposto é igual a zero. Ex.: 7 é o elemento oposto de +7, pois ( 7) + (+7) = 0 A diferença de dois números é igual à soma do primeiro com o oposto do segundo. Ex.: (+8) ( 1) = (+8) + (+1) = = 9 ( 6) (+3) = ( 6) + ( 3) = 6 3 = 9 Multiplicação de números inteiros Em um produto de dois fatores de sinais iguais, o resultado é o produto dos módulos dos fatores com sinal positivo. Ex.: (+4). (+5) = +20 ( 6). ( 7) = + 42 Em um produto de sinais contrários, o resultado é o produto dos módulos dos fatores com sinal negativo. Ex.: (+4). ( 5) = 20 ( 6). (+7) = 42 Propriedades da multiplicação em Z: Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: ( 4). (+5) = 20 (+5). ( 4) = 20 Associativa: Em um produto de três ou mais fatores, podemos associá los de formas diferentes, sem alterar o resultado. Ex.: [( 4). (+3)]. ( 5) = ( 12). ( 5) = +60 ( 4). [(+3). ( 5)] = ( 4). ( 15) = +60 Elemento neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação. Ex.: (+8). (+1) = (+1). (+8) = +8 Distributiva: o produto de um número inteiro por uma adição algébrica pode ser obtido multiplicando se o número por cada termo da adição e, a seguir, adicionar os produtos obtidos. Ex.: (+4)[( 3) + (+2)] = (+4)( 3) + (+4)(+2) = ( 12) + (+8) = 4 Divisão de números inteiros Se o divisor for diferente de zero, o quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros terá módulo igual ao quociente do módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Nesse caso, o sinal será: Positivo: se o dividendo e o divisor tiverem os mesmos sinais. Negativo: se o dividendo e divisor tiverem sinais contrários. Ex.: ( 60) : ( 10) = +6 ( 100) : (+20) = 5 Obs.: A divisão de zero por qualquer número inteiro, diferente de zero, tem como resultado zero. Página 4 de 23-7/6/2018-5:08

5 Exercícios 01- Determine o módulo e o oposto dos números abaixo: a) 16 b) + 53 c) 22 d) Resolva as expressões abaixo: a) b) 72 : +8 c) d) e) ( 30) + 16 f) 23 + ( 30) g) 12 + (+15) 03- Observe a reta abaixo e faça o que se pede. J 0 a) Marque o ponto A de abscissa 4. b) Marque os pontos C e D que estão a uma distância de 3 cm de A. c) Marque o ponto L, simétrico ao ponto J em relação à origem. d) Marque o ponto B de abscissa 2, Complete a tabela calculando o saldo de gols (SG) de cada time. Times empatados Gols marcados Gols sofridos Saldo de Gols Azul 8 2 Amarelo 9 4 Verde 6 6 Branco 3 2 Levando em consideração o saldo de gols, dê a classificação final do torneio. a) 1º lugar: b) 2º lugar: c) 3º lugar: d) 4º lugar: 05- O gráfico mostra os lucros ou prejuízos, em cada mês do ano de 2007, da fábrica de brinquedos do Sr. Reinaldo: De acordo com esse gráfico, responda: Página 5 de 23-7/6/2018-5:08

6 Em que meses a fábrica teve: a) lucro - b) prejuízo - c) Em que mês o lucro na fábrica do Sr. Reinaldo foi maior? _ d) A soma dos valores absolutos correspondentes aos meses de lucro é maior que a dos prejuízos? Em caso afirmativo, em quantos milhares de reais? _ 06- Resolva as expressões: a) 15 ( 5) 12 (+ 5) = 07- Compare os números inteiros utilizando os sinais > (maior que) ou < (menor que): a) 4 3 b) 0 10 c) 3 0 d) 4 10 e) Os elementos do conjunto A = { 65, + 120, + 70, 216, 124, 0, + 92} estão escritos de forma desordenada. Escreva esses números na ordem crescente. _ 09- Complete corretamente a tabela abaixo com os números inteiros compreendidos entre a e b. a Números compreendidos entre a e b b Fábio tinha saldo negativo no banco de 500 reais. Mesmo assim, deu um cheque de 200 reais. Para calcular o novo saldo de Fábio, podemos efetuar: ( ) = 300 ( ) = 700 ( ) 200 ( 500) = 700 ( ) ( 200) = Um elevador se encontra no andar térreo (andar zero) de um edifício. Usando números inteiros positivos ou negativos, indique o andar onde o elevador se encontra quando: a) Partindo do térreo, sobe 4 andares. R.: b) Partindo do térreo, sobe 6 andares e desce 2 andares. R.: Página 6 de 23-7/6/2018-5:08

7 12- Observe a reta numérica e responda: a) Qual é a abscissa do ponto R? b) Qual a imagem geométrica do número 1? c) Qual a imagem geométrica do número +4? d) Qual a abscissa do ponto P? e) Qual o inverso da abscissa do ponto R? 13- Dentre os números: Escolha dois que tenham: a) soma 3; b) produto 15; 14- Veja o prédio da figura abaixo. Observe à esquerda o painel do elevador, onde cada número representa um andar. O botão com a letra E significa emergência e PO é o botão que abre a porta. Qual é o andar que corresponde ao botão 0? Página 7 de 23-7/6/2018-5:08

8 15- Represente por ( ) ou ( + ), como o exemplo: Exemplo: Passei um cheque de R$ 50,00. Resp.: R$ 50,00 a) Desci 3 andares. b) Depositei R$ 250,00 na minha conta bancária. c) Retirei R$ 24,00 no caixa eletrônico. d) Subi 40 andares. 16- Cláudia pegou o elevador no terceiro andar e subiu 10 andares. Em que andar parou? 17- Observe os seguintes números: 7; 3; 4; 18; 76; 9; 0; 25; 36. a) Quais são os positivos? b) Quais são os negativos? 18- Responda: a) Qual o oposto de 5? b) Qual o simétrico de 14? c) Qual o oposto do oposto de +146? 19- Observe a reta numérica abaixo: Dê a distância de: a) +5 a 0 = b) 2 a +5 = c) 8 a 0 = d) 5 a 1 = e) 3 a 0 = f) +2 a +7 = g) +7 a 0 = h) 4 a +4 = 20- Imagine uma reta numérica e responda: a) Quantos quilômetros há de 90 quilômetros a oeste até 50 quilômetros a leste de um ponto, em linha reta? b) Quantos graus variou a temperatura de 3 ºC até 24 ºC? c) O elevador do 2º andar até o 18º andar subiu quantos andares? Página 8 de 23-7/6/2018-5:08

9 21- Joaquim tem, no momento, um saldo de R$5 000,00 no banco. Usando números inteiros positivos ou negativos, escreva o saldo dele se: a) ele fizer um depósito de R$ 2 000,00; b) ele fizer uma retirada de R$ 6 000, Duas equipes, A e B, participam de uma Gincana Cultural. A vencedora será aquela que cometer menor número de erros. Sabendo que a equipe A cometeu 5 erros enquanto a equipe B cometeu 8 erros, determine: a) a equipe vencedora dessa Gincana: b) a comparação entre os números inteiros correspondentes: 23- Terminada a fase de classificação de um torneio de basquete, verifica se que duas equipes terminaram empatadas. O desempate deve ser feito por saldo de pontos. A equipe A teve um saldo de 5 pontos, enquanto a equipe B teve um saldo de +1 ponto. Nessas condições: a) qual a equipe melhor classificada? b) qual a comparação entre os números inteiros correspondentes? 24- Dois times terminam empatados na fase de classificação de um campeonato. O desempate se dá pelo maior saldo de gols. O time A teve um saldo de 7 gols a favor, enquanto o time B teve um saldo de 10 gols a favor. Nessas condições, responda: a) qual o time melhor classificado? b) qual a comparação feita entre os números inteiros correspondentes? 25- Uma pessoa nasceu em 15 a.c. e morreu em 60 d.c. Quantos anos viveu? 26- Uma equipe de basquete realizou três jogos. Nesses jogos, a equipe marcou 251 pontos e sofreu 240 pontos. a) O saldo dessa equipe é a favor ou contra? b) Usando números inteiros positivos ou negativos, escreva esse saldo? 27- Em 20/04, o saldo bancário de Roberto era de R$6 500,00 a seu favor. De 21/04 a 25/04, o extrato bancário de Roberto mostrou a seguinte movimentação: dia 21/04: retirada de R$ 4 000,00 dia 22/04: retirada de R$ 4 500,00 dia 23/04: depósito de R$ ,00 dia 24/04: retirada de R$ 1 500,00 dia 25/05: depósito de R$ 3 000,00 Qual o saldo bancário de Roberto, no final de 25/04? Página 9 de 23-7/6/2018-5:08

10 28- Em um grupo de ganha ou perde, Juca fez quatro jogadas. Na primeira, ganhou 30 pontos; na segunda, perdeu 26 pontos; na terceira, perdeu 34 pontos e, na quarta, ganhou 29 pontos. Nessas condições, determine Juca ganhou ou perdeu pontos após essas quatro jogadas. 29- Um Historiador começou uma pesquisa em 4 a.c. e terminou em 42 a.c. Quantos anos levou este historiador com essas pesquisa? 30- Uma pessoa que nasce em 36 a.c. e vive 70 anos, em que ano morreu? 31- Um time sofreu 11 gols no primeiro turno e 19 gols no segundo turno. Usando a adição de números inteiros, determine quantos gols o time sofreu nesse campeonato. 32- Dê o que se pede: a) O número inteiro antecessor de 9 b) O número inteiro sucessor de 14 c) Os três primeiros números inteiros menores que +1 d) O número inteiro que antecede a Coloque em ordem crescente, usando <: 1, 3, 4, 7, 0, 2, 6, Coloque em ordem decrescente, usando >: 4, 7, 8, 3, 1, 0, 6, 35- Partindo do andar térreo, um elevador sobe 5 andares e, em seguida, sobe 9 andares. Usando a adição de números inteiros, determine em qual andar o elevador parou. 36- Durante o mês de janeiro, uma loja apresentou um prejuízo de R$ 250,00. Em fevereiro, essa mesma loja apresentou um prejuízo de R$ ,00. Usando a adição de números inteiros, dê o prejuízo dessa loja nesses dois meses. 37- Quantos anos viveu o físico alemão Albert Einstein, sabendo se que ele nasceu em 1879 e morreu em 1955? 38- Arquimedes, famoso matemático e inventor grego, nasceu em 287 a.c. e morreu em 212 a.c. Quantos anos viveu? 39- Quem nasceu em 35 a.c. e morreu no ano de 32 a.c., quantos anos viveu? Página 10 de 23-7/6/2018-5:08

11 40- Calcule as somas algébricas: a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = 41- Elimine os parênteses e calcule as somas algébricas: a) +5 + (+3 2) = b) +15 ( 12 20) = c) ( 5 + 2) = d) ( 9 + 5) ( ) = e) ( ) = f) 0 + ( 6 + 3) = g) +9 (+4 20) = 42- Resolva as expressões: a) b) 8 : 4 c) d) Calcule a diferença entre: a) o oposto de 15 com o oposto de 35. b) o oposto de 24 com o módulo de Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras. a) x + ( 12) = 5 b) x + ( 9) = 12 c) x + (+9) = 0 d) 32 + x = 50 e) x ( 2) = 6 f) 0 x = Calcule as seguintes expressões numéricas: a) 9 [ 3 + ( 2 + 1)] = b) ( 5 + 3) + [6 (3 10)] = c) ( 2 3) {4+ [ 8 ( 9 + 2) ] } d) ( 2) + ( 3) { 2 + [ 1 ( 2 + 1) ] + 5} = 46- Determine se é um número positivo ou negativo: a) O produto de dois números positivos. b) O produto de dois números negativos. c) O produto de um número positivo por um número negativo. d) O produto de um número negativo por um número positivo. Página 11 de 23-7/6/2018-5:08

12 47- Calcule: a) (+8). ( 9) = b) ( 7). (+11). ( 2) = c) ( 6). ( 5) = d) ( 9). ( 5). ( 3) = e) (+7). (+4) = f) ( 12). ( 6). (+3) = g) (+9). (+7) = h) ( 8). (+6). 0 ( 11) = i) 0. (+13) = 48- Um número x é expresso por ( 5). ( 4). ( 9). Esse número é positivo ou negativo? Quanto vale x? 49- Mostre que: ( 7). [ (+6). ( 5) ] = [ ( 7). (+6) ]. ( 5). 50- Calcule a expressão 7. (+6 8) de duas maneiras diferentes. 51- Qual o número inteiro que deve ser colocado no lugar de x? a) x. (+2) = 6 b) x. ( 5) = Sendo xy = 20, calcule: a) xy + 20 = b) (xy). (+1) = c) (xy). ( 1) d) ( 5). (xy) = 53- Calcule: a) ( 9) : (+3) = b) 0 : (+20) = c) ( 11) : ( 11) = d) ( 31) : (+31) = e) (+21) : (+7) = f) (+52) : ( 2) = g) (+36) : ( 4) = 54- Resolva as seguintes expressões numéricas: a) 31 + ( 40) : (+2) = b) : (+4) = c) (+30) : ( 6) + ( 18) : (+3) = d) 2 + ( 75) : ( 5) 4. ( 1) = 55- Sabendo que A = 25 : ( 25) 4 : (+4) ( 10) e B = 12 + ( 50) : (+5) 3. (+1), calcule: a) A + B = b) A B = c) A. B = d) A : B = 56- Calcule o valor numérico das expressões: a) 2x y, sendo x = 3 e y = 5 b) 6xy 5y, sendo x = +4 e y = 1 c) 2ab 5abc, para a = 2, b = 3 e c = 1 Página 12 de 23-7/6/2018-5:08

13 57- Usando números inteiros positivos ou negativos, indique: a) um crédito de R$123,00 b) uma profundidade de 230 m c) uma temperatura de 21ºC acima de zero d) um saldo de 8 gols contra e) um débito de R$87, Seu pai tem um saldo positivo de R$75,00 no Banco. Use números inteiros para representar esse saldo, se ele: a) depositar R$ 32,00 b) retirar R$ 40,00 c) pagar uma despesa de R$ 81,00 com cheque desse banco 59- O termômetro marcava 6ºC durante a tarde na cidade de Porto Alegre. À noite, a temperatura baixou 8ºC. Usando números inteiros positivos ou negativos, indique a temperatura que o termômetro marcava a noite. _ 60- Qual é o oposto ou simétrico de: a) 25 b) 18 c) +31 d) Na reta numérica seguinte, estão assinalados os números a, b, c e d. a b 0 c d (4,0) Usando os sinais > ou <, compare: a) a 0 b) c 0 c) b a d) d b 62- Associe (C) para CERTO e (E) para ERRADO a cada uma das seguintes afirmações: ( ) Zero pertence ao conjunto dos números inteiros. ( ) O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números naturais. ( ) O módulo de um número é a distância entre o número até o zero. ( ) Menos sete não pertence ao conjunto dos números naturais. 63- Analise e responda: a) A maior temperatura registrada na Terra foi 58 C, no deserto da Líbia, em 13 de setembro de 1922 e a menor temperatura registrada foi de 89 C, na Antártida, em julho de Qual a diferença destas duas temperaturas? _ b) Uma avaliação de 20 questões foi corrigida com a seguinte regra: +3 pontos para cada questão certa e, 1 ponto para cada questão errada. Quantos pontos fez um aluno que acertou 9 questões? _ c) Uma equipe de Fórmula 1 avisa seu piloto que ele está em segundo lugar na prova, mantendo se 8 segundos na frente do terceiro colocado e 12 segundos atrás do primeiro colocado. Quantos segundos a frente do terceiro colocado está o líder da prova? _ Página 13 de 23-7/6/2018-5:08

14 64- Classifique em VERDADEIRO (V) ou FALSO (F). ( ) O sucessor de 21 é oposto do antecessor de 21. ( ) Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo. ( ) Dois números opostos têm o mesmo módulo. ( ) Dois ângulos cujas medidas são 130 e 70 são chamados de suplementares. 65- Calcule e descubra qual (ou quais) dos itens abaixo dá (dão) como resultado o número 1. (A) = (B) ( 5) ( 6) = (C) ( 23) : ( 23) = 66- Para obter o resultado 7, qual é o número a ser adicionado a cada um dos números abaixo? a) 3 b) 6 c) +9 d) 11 e) 0 Página 14 de 23-7/6/2018-5:08

15 APOSTILA - PROGRAMA DE RECUPERAÇÃO PARALELA PRP 01 GEOMETRIA Uma breve explicação... Medida de um ângulo A medida de um ângulo é determinada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de ângulo é o grau, cujo símbolo é. Os submúltiplos do grau são o minuto (') e o segundo ("). 1 O minuto corresponde a do grau, ou seja, 1 = 60' O segundo corresponde a do minuto, ou seja, 1' = 60". 60 Logo, podemos concluir que: 1 = 60' = 3600". Como medir um ângulo com transferidor? 1 ) O centro do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo (ponto O) 2 ) A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semirretas que formam o ângulo AÔB. Nesse caso, a semirreta. OA 3 ) Verificamos a medida na escala graduada em que passa a outra semirreta ( ). OB Operações com medidas de ângulos Observe nos exemplos a seguir como fazer operações com medidas de ângulos. Adição Página 15 de 23-7/6/2018-5:08

16 Subtração Multiplicação por um número natural Observe os exemplos: Divisão por um número natural Observe os exemplos: Algumas definições Dois ângulos são congruentes quando tem a mesma medida. Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum. Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Página 16 de 23-7/6/2018-5:08

17 Exercícios 67- Quantos minutos há em um grau? 68- Quantos segundos há em um minuto? 69- Quantos segundos há em um grau? 70- Que fração do grau corresponde a um minuto? 71- Que fração do minuto corresponde a um segundo? 72- Que fração do grau corresponde a um segundo? 73- Quantos minutos correspondem a 30? 74- Quantos segundos correspondem a 45? 75- Quantos graus há em um ângulo de um volta? 76- Com um transferidor determine a medida dos seguintes ângulos: a) b) c) d) Página 17 de 23-7/6/2018-5:08

18 e) f) g) g) 77- Determine o valor de x nas figuras abaixo: a) b) c) d) e) f) 78- Construa: a) um ângulo A ÔB de 35º; b) um ângulo M Nˆ O de 120º; c) um ângulo X ŶZ de 85º; d) um ângulo R ŜT de 170º. Página 18 de 23-7/6/2018-5:08

19 79- Efetue as adições: a) 52 16' ' b) 15 12' + 7 8' 31'' c) 36 18' 12'' ' 56'' 80- Calcule as diferenças: a) 60 45' 38'' 16 40' 54'' b) 53 5' 15 40' 54'' c) 49 10' 22'' 37 45' 4'' 81- Determine a medida do ângulo AÔB em cada caso: a) b) A A B 96º 30' O 21º 18' 34º 7' 45" C C 49º O B Página 19 de 23-7/6/2018-5:08

20 82- Qual o valor de x? a) b) A Y x Z 96º 28' x 35º B med (A ^B C) = 90º C X med (X ^Y Z) = 138º 83- Determine o triplo de 14 15' 36''. 84- Qual é a terça parte de 19 14' 48''? 85- Determine a metade de Determine (37 45' ' 47") 15 45' 30" Página 20 de 23-7/6/2018-5:08

21 87- Sabendo que med(â) = (84 40' 20") : 2, med(ô) = (37 29' 30") : 3 e med(ê) = (39 11' 40") : 2, determine o valor de: a) med(â) + med(ô) + med(ê). b) 2 med(â) (med(ô) + med(ê)) 88- Determine o suplemento do complemento ângulos abaixo: a) b) Determine o valor dos ângulos AÔB, AÔS E CÔD, sabendo que OS é bissetriz de AÔC. Simetria 90- Una os pontos representados, obedecendo à ordem alfabética, para que se obtenha um polígono: Observação: O ponto A coincide com o ponto J (A J) Quais são os pares de pontos que coincidem ao dobrarmos o polígono sobre seu eixo de simetria? Página 21 de 23-7/6/2018-5:08

22 91- Observando a simetria dos desenhos ao lado, responda: a) Qual é o ponto simétrico do ponto M? R.: b) Qual é o lado simétrico ao lado AD? c) O segmento BC mede 2cm. Quanto mede PR? d) Qual é a medida do ângulo formado pelo eixo de simetria e e o segmento AM? 92- Reproduza em folha quadriculada. Em seguida, desenhe a parte simétrica de cada figura, sendo "e" o eixo de simetria. a) b). Página 22 de 23-7/6/2018-5:08

23 FM/1805/DOCUMENTOS/PRP - PROGRAMA DE RECUPERACAO PARALELA - APOSTILAS /PRP MATEMATICA/APOSTILA - MATEMATICA PRP 01 7o ANO DOC Página 23 de 23-7/6/2018-5:08