CÂMARA MUNICIPAL DE GOIÂNIA. Matemática Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

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1 CÂMARA MUNICIPAL DE GOIÂNIA Matemática

2 JOSIMAR PADILHA Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.

3 SUMÁRIO Matemática Sequências Pa & Pg...4 Sucessões ou Sequências...5 Definição...5 Termos de uma Sucessão...6 Representação de uma Sequência...6 Lei de Formação de uma Sequência...8 Questões de Concurso...28 Gabarito...34 Gabarito Comentado de 50

4 MATEMÁTICA SEQUÊNCIAS PA & PG Sequências: sequências; sequências numéricas, progressão aritmética, progressão geométrica. De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como a banca examinadora exige o assunto indicado nesta aula. O assunto deste módulo é de suma importância, pois trata das sequências mais utilizadas na matemática, inclusive na matemática financeira, quanto a juros simples e juros compostos. Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo interpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores métodos de resolução, que, no decorrer desses 16 anos como professor, me dediquei para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo do Brasil. No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem dado muito certo, que se trata de: 1. exposição do assunto conceitos de forma esquematizada; 2. métodos e dicas de resolução rápida; 3. esquemas estratégicos; 4. questões comentadas; 5. autoavaliação. 4 de 50

5 DESAFIO Dez funcionários possuem salários diferentes. Seus salários, em ordem crescente, são de r$ 2.000,00; r$ 2.100,00; r$ 2.200,00 e assim sucessivamente, sempre aumentando em r$ 100,00 em relação ao anterior. O número mínimo desses funcionários que devem ser sorteados ao acaso para que se tenha certeza de que os que não foram sorteados tenham soma dos salários inferior a r$ ,00 é igual a a) nove. b) seis. c) cinco. d) sete. e) quatro. Comentário final do módulo Sucessões ou Sequências Definição Primeiramente vamos falar um pouco sobre sequências, antes de darmos início às sequências pretendidas nesta aula. Conjunto de elementos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem determinada. A representação de uma sequência é determinada tendo os seus elementos, ou termos, entre parênteses. 5 de 50

6 Não pode haver uma interpretação como ocorre nos conjuntos, pois qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência. Exemplos: a) sucessão dos meses de um ano: (janeiro, fevereiro, março, abril,... dezembro); b) o conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5...) é chamado sequência ou sucessão dos números naturais. Termos de uma Sucessão Uma sequência ou uma sucessão numérica pode possuir uma quantidade finita ou infinita de termos. Exemplos: a) (4, 8, 12, 16) é uma sequência finita. b) (a, e, i, o, u) é uma sequência finita. c) (3, 6, 9...) é uma sequência infinita. a 1 = 1 a 2 = 3 a 3 = 5 a 4 = 7... O número que aparece no nome do elemento é a "ordem" dele, ou seja, a 1 é o primeiro, a 2 é o segundo etc. Representação de uma Sequência A representação matemática de uma sucessão é dada da seguinte forma: (b1, b2, b3,... bn-1, bn), em que: b1 é o primeiro termo. b2 é o segundo termo. bn é o enésimo termo. 6 de 50

7 Exemplo Dada a sequência ( 1, 2, 5, 8, 11), calcular: a) a3 a2 b) a2 + 3a1 a) a3 = 5 e a2 = 2 a3 a2 = 5 2 = 3 b) a a1 = x 1 = 2 3 = 1 1. (CESGRANRIO) Qual é o 70 º termo da sequência de números (a n ) definida acima? a) 2. b) 1. c) 1. d) 2. e) 3. Letra d. Primeiro construiremos a sequência para que possamos verificar qual foi o padrão utilizado na sucessão dos termos. a 1 = 2 a 2 = 3 7 de 50

8 a 3 = a 2 a 1 = 1 a 4 = a 3 a 2 = 2 a 5 = a 4 a 3 = 3 a 6 = a 5 a 4 = 1 a 7 = a 6 a 5 = 2 a 8 = a 7 a 6 = 3... Representando a sequência, temos: (2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1,...) Ao representar, torna-se notável que a sequência possui uma outra sequência que se repete de seis em seis termos. Logo podemos realizar o seguinte cálculo para resolver o problema: 70 6 (sequências menores) 11 (sequências) 4 Se sobraram 4 termos, logo o termo a70 corresponde ao 4º termo: (2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1,...). Lei de Formação de uma Sequência É a relação estabelecida entre os elementos da sequência que gera os demais elementos. 1. Progressão Aritmética (PA) Considere o exemplo a seguir: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...) 8 de 50

9 O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e assim por diante. Quando temos um termo cuja posição não sabemos, chamamos de a n, em que n é a posição ocupada pelo termo em questão. Este é o termo geral, pois pode ser qualquer um. Voltando ao exemplo. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...) 1.1. Termo geral da PA Como é uma PA, segue um ritmo definido (ritmo este que é a soma de duas unidades a cada elemento que acrescentamos). Esse ritmo se chama RAZÃO, que é representada por r. Portanto, o segundo termo será a soma do primeiro mais a razão, o terceiro será a soma do segundo mais a razão, e assim por diante. Vemos no exemplo anterior que cada próximo termo da progressão é acrescido de duas unidades, portanto r = 2. A razão pode ser estabelecida da seguinte maneira: r = a n a n- 1 TABELA 1 TABELA 2 a 1 = 1 = 1 a 1 a 2 = 3 = a 2 + r a 3 = 5 = a 3 + r + r a 4 = 7 = a 4 + r + r + r a 5 = 9 = a 5 + r + r + r + r Ao analisar as tabelas 1 e 2, verificamos que somamos o primeiro termo a 1 com (n 1) vezes a razão. 9 de 50

10 Logo: a r1 a r a r a r a r a n =a 1 +(n-1).r Logo, podemos definir que a Lei de Formação de uma PA é a seguinte: a n + (n-1). R Quando observamos a fórmula anterior, que representa o termo geral da PA, parece que temos que sempre possuir o primeiro termo (a 1 ), o que não é verdade. O que temos que analisar é que uma progressão aritmética segue a seguinte frase: aquilo que eu quero é o que eu tenho mais o que eu preciso. Vejamos na prática: a) queremos o sétimo termo e temos o primeiro termo: a7 = a1 + 6 r (razões) b) queremos o sétimo termo e temos o segundo termo: a7 = a2 + 5 r (razões) c) queremos o vigésimo termo e temos o quinto termo: a20 = a r (razões) d) queremos o décimo termo e temos o sétimo termo: a10 = a7 + 3 r (razões) Por fim podemos concluir que não precisamos decorar a fórmula, e sim o raciocínio. Quando dizemos o que eu preciso, indica a quantidade de razões que serão realizadas para chegar onde queremos. 2. (CESPE/IFF/2018/ADAPTADA) Se, em uma progressão aritmética, o segundo termo for igual a 1 e o quinto termo for igual a 11, então o décimo primeiro termo será igual a 10 de 50

11 a) 30. b) 31. c) 35. d) 50. e) 95. Letra b. Uma dica importante é que em uma progressão aritmética é sempre importante encontrarmos a razão e, se temos 02 termos da sequência, fica fácil encontrá-la: a 5 = a 2 + (5-2)r 11 = 1 + 3r 10 = 3r 10/3 =r Com a razão, agora podemos calcular o décimo primeiro termo: a 11. a 11 = a 2 + (11-2)*r a 11 = 1 + (11-2) *10/3 a 11 = 1 + 9*10/3 a 11 = /3 a 11 = a11 = (UFOP/UFOP/2018) Três ângulos agudos têm suas medidas em progressão aritmética crescente. Assinale a afirmativa correta sobre seus respectivos cossenos. a) Eles formam uma progressão aritmética. b) Eles formam uma progressão geométrica. 11 de 50

12 MATEMÁTICA c) Eles formam uma sequência crescente. d) Eles formam uma sequência decrescente. Letra d. O ângulo agudo é aquele em que seu valo é maior que 0 graus e menor que 90 graus (0º < α < 90º). Temos uma afirmação com três ângulos agudos que estão em progressão aritmética, logo é interessante que tenhamos ângulos notáveis, aos quais podemos inferir suas funções trigonométricas. Para facilitar, podemos afirmar que os três ângulos agudos que estão em progressão aritmética crescente são: 30º, 45º e 60º. Agora, basta aplicarmos a função cosseno em cada um deles: Cos 30º = 3/2 Cos 45º = 2/2 Cos 60º = 1/2. Essa sequência é decrescente, visto que 3/2 > 2/2 > 1/2. Temos uma sequência decrescente. Obs.: podemos classificar uma progressão aritmética em: 1. crescente: quando a razão é maior que zero; 2. decrescente: quando a razão é menor que zero; 3. constante: quando a razão é igual a zero. Obs.: temos também algumas observações que podem facilitar para encontramos termos em progressão aritmética: 12 de 50

13 MATEMÁTICA 1. (a n-1 + an + an+1) / 3 = an 2. (a n-1 + an+1) / 2 = na 3. (a1 + a2 + a3 +a4 + a5) / 5 = a3 (quando tivermos uma quantidade ímpar de elementos consecutivos em uma progressão aritmética, a média aritmética desses elementos será o elemento central da sequência) Soma dos termos da PA Para encontrar a soma dos termos de uma PA finita, basta utilizar a fórmula: Em que: Sn: soma dos n primeiros termos da PA; a1: primeiro termo da PA; an= ocupa a enésima posição na sequência; n: posição do termo. 4. (UTFPR/UTFPR/2018) Viviane iniciou a leitura de um livro com 538 páginas. No primeiro dia, ela leu 5 páginas, no segundo, ela leu duas páginas a mais que no primeiro dia. E assim por diante, a cada dia ela leu duas páginas a mais que no dia anterior. Assinale, após 19 dias de leitura, quantas páginas ainda faltam para ela ler. a) 101 b) de 50

14 c) 207 d) 437 e) 311 Letra a. Nesta questão iremos utilizar a fórmula de termo geral e, em seguida, a do termo geral, vejamos: no dia 1 Viviane leu 5 páginas (a1); leu 2 páginas a mais a cada dia, logo razão = 2; Dia 19 (a 19 ) =? Para que possamos encontrar, iremos lançar mão do termo geral da PA a n = a1 + r*(n-1), já sabendo que a 1 = 5, r = 2...: a 19 = 5 + 2*(19-1) a 19 = a 19 = 41 (páginas lidas apenas no dia 19) Para que possamos encontrar a quantidade total de páginas lidas entre o dia 1 até o dia 19, usamos a fórmula da soma dos termos: Sn = ( (a 1 + a 19 ) * n ) / 2: Sn = ( (5 + 41)*19 ) / 2 Sn = 874 / 2 Sn = 437 páginas lidas Logo, = 101 páginas que Viviane ainda falta ler. 14 de 50

15 5. (UFOP/UFOP/2018) A soma de todos os múltiplos pares de 7 com três algarismos está mais próxima de: a) b) c) d) Letra a. O primeiro passo é encontrarmos o primeiro termo (a 1 ) e o último termo (a n ) da sequência: Para que o primeiro termo com 3 algarismo seja o menor, devemos começar com 1 nas centenas, 1 nas dezenas e, para que seja par, 2 na unidade e verificar: a 1 = 112 (é múltiplo de sete, pois o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resulta em um número divisível por 7 é o mesmo que verificar se o número é divisível por 7 critério de divisibilidade por 7). Para encontrar o último termo, basta dividirmos 1000 por 7, pegar o resto (6) e subtrair de O resultado será 994, que é múltiplo de 7. Aplicando o termo geral: Obs.: a razão dessa P.A será 14, pois só nos interessa termos pares e múltiplos de 7. a n (n-1) *r 994= 112+ (n-1) * = (n-1) *14 14n= 896 n= 896/14 n= de 50

16 Sabemos o primeiro termo da sequência, o último termo da sequência e a razão. Agora, basta aplicarmos a fórmula da soma dos termos da progressão. S n = n * (a 1 +a n )/2 S n = 64 * ( ) / 2 S n = 1106 * 32 Sn= Se porventura a questão solicite a soma dos termos de uma PA que não comece do primeiro termo, como faremos? Exemplo: somar do 20º ao 30º termo da sequência a seguir: PA (4, 8, 12, 16,...) Razão: r= 4 Primeiro termo: a20 a20 = a r a20 = (4) = de 50

17 Último termo: a30 a30 = a r a30 = (4) a30 = 120 Quantidade de termos: (30º 20º) +1 = 11º (11 termos) Agora é só substituir: Sn= n * (a1+an) /2 S11 = 11 * ( ) / 2 S11 = Progressão Geométrica (PG) Considere o exemplo a seguir. Observe a sequência: (4, 8, 16, 32, 64,...) Note-se que, dividindo um termo qualquer dessa sequência pelo termo antecedente, o resultado é sempre igual a 2: a2: a1 = 8: 4 = 2 a4: a3 = 32: 16 = 2 a5: a4 = 64: 32 = 2 Progressão Geométrica (PG) é a sequência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante). Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q. 17 de 50

18 Exemplos: (1, 2, 4, 8, 16...) é uma PG de razão q = 2 (2, 4, 8, 16...) é uma PG de razão q = 2 Termo Geral de uma PG Para obtermos o termo geral de uma PG, utilizamos o primeiro termo (a 1 ) e a razão (q). Seja (a 1, a 2, a 3,..., a n ) uma PG de razão q. Temos: a 2 : a 1 = q a 2 q a 3 : a 2 = q a 3 = a 2 q a 3 q² a 4 : a 3 = q a 4 = a 3 q a 4 q³ Logo, conclui-se que a n ocupa a enésima posição da PG. Dada pela expressão: a n q n 1 Soma dos N Primeiros Termos de uma PG Seja a PG (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S n, considerando o que segue: S n + a 2 + a 3 + a a n-1 + a n Multiplicando ambos os membros pela razão q, temos: S n q q + a 2 q a n-1 q + a n q 18 de 50

19 Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como: S n q = a 2 + a a n + a n q Observe que a 2 + a a n é igual a S n a 1 Logo, substituindo, vem: S n q = S n a 1 + a n q Simplificando, temos a seguinte fórmula da soma: Se substituirmos a n qn-1, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: 6. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2017) A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica? a) 1 b) 3 c) 27 d) 39 e) de 50

20 Letra e. Para que possamos encontrar os termos a partir da fórmula dada na questão, basta subsistirmos o n da fórmula por 1, pois o resultado desse cálculo será o 1 º termo da PG. Depois, substitui o n por 2 e, assim, você terá a soma dos 2 primeiros termos da PG e conseguirá descobrir o 2 º termo da PG (subtraindo S 2 S 1 ). Com essas informações, já consegue saber o 4 º termo. 1. Substituir n por 1 na fórmula: S 1 = 3^ / 2*3^1 S 1 = 27 a 1 = 27 (1º termo da PG é 27) 2. Substituir n por 2 na fórmula: S 2 = 3^ / 2*3^2 S 2 = 36 (Atenção! A soma dos dois primeiros termos é 36, o 2º termo NÃO é 36) a 2 = (Soma dos 2 primeiros termos 1º termo = 2º termo) a 2 = 9 3. Já temos os 2 primeiros termos da PG (27, 9,, ). É uma PG decrescente, com razão 1/3. Para descobrir a razão, basta dividir o a2 por a1: 9/27 = 1/3). 4. Continuando a sequência da PG (27, 9, 3, 1): 27 = (1º termo) 27*1/3 = 9 (2 º termo) 9*1/3 = 3 (3 º termo) 3*1/3 = 1 (4 º termo) 40 é a soma dos 4 primeiros termos da PG. 20 de 50

21 Soma dos Infinitos Termos de uma PG Se considerarmos uma PG com a razão sendo um número entre -1 e 1, ou seja, 1 < q < 1, a fórmula para a soma dos termos sofre uma variação, em virtude de a razão estar compreendida nesse intervalo. Acontece que, para 1 < q < 1, à medida que o número de elementos n aumenta indefinidamente (tende ao infinito), a expressão q n se aproxima muito de zero (tende a zero). Dessa forma, ao substituir q n por zero, a fórmula da soma fica: Vejamos um exemplo: Dada a PG (1,1/2,1/4,1/8,1/16 ), obtenha a soma de todos os seus termos. Temos que: a1 = 1 q = a2 / a1 = 1/2 / 1 = ½ Aplicando a fórmula da soma da PG infinita, teremos: S = 1 / (1 ½) = 1/ ½ = 2 S = 2 7. (FUNCAB/PROFESSOR DE MATEMÁTICA E FÍSICA/SEE-AC/2014) Determine a soma dos termos da sequência numérica infinita a seguir. 21 de 50

22 a) 2,25 b) 3 c) 3,75 d) 0,66 e) 2,67 Letra a. Vamos encontrar primeiramente a razão: a 2 / a 1 = 1/2 / 3/4 = 1/2 x 4/3 = 2/3 (razão) Agora, usaremos a fórmula da PG infinita: S i = a1 / 1 -r S = 3/4 / 1 2/3 S = 3/4 / 3-2/3 S = 3/4 / 1/3 S = 3/4 x 3/1 S = 9/4 S = 2,25 8. (CESPE). Julgue o item. Considere-se que (a n ) seja uma sequência que satisfaz à seguinte relação: a n+1 a n = 2 n e a 1 =1. Nesse caso, a 1 + a a 100 = de 50

23 Certo. Sabendo que a 1 = 1 e utilizando a relação: a n+1 a n = 2 n Para n = 1, temos: a n+1 a n = 2 n a 1+1 a 1 = 2 1 a 2 1 = 2 a 2 = a 2 = 3 Para n = 2, temos: a n+1 a n = 2 n a 2+1 a 2 = 2 2 a 2 3 = 4 a 2 = a 2 = 7 Para n = 3, temos: a n+1 a n = 2 n a 3+1 a 3 = 2 3 a 2 7 = 8 a 2 = a 2 = 15 Sendo assim, temos a seguinte sequência: a 1 = 1 a 2 = 3 23 de 50

24 a 3 = 7 a 4 = 15 a 5 = 31 a 6 = a 100 = a 99 De um termo para outro, é observado o seguinte acréscimo: Sequência: (a 1 = 1) (a = 3) (a = 7) (a = 15) (a = 31) (a = 63) Analisando a sequência (progressão geométrica): 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,..., 2 99 Verifica-se que cada termo é adquirido por meio da relação: a n + S n 1, descrevendo S n 1, temos: a n + S n 1, substituindo: a n = 1+ 2 n 2 a n = 2 n 1 Encontrando os termos: a1 = 21 1 a2 = de 50

25 a3 = 23 1 a4 = =.. =.. =. a 100 = (2 100 ) 1 Soma = ( ) 100 Soma = Sequências Numéricas Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem. De acordo com a Lei de Formação de uma Sequência, podemos perceber que uma sequência numérica é constituída de termos numéricos, ou seja, números que irão seguir um padrão de formação. Toda sequência numérica possui uma ordem para organização dos seus elementos, assim podemos dizer que em qualquer sequência os elementos são dispostos da seguinte forma: (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,...) ou (a 1, a 2, a 3,..., a n ), em que a 1 é o 1º elemento, a 2, o segundo elemento e assim por diante, e a n, o enésimo elemento. Exemplos: a) (1, 0, 0, 1) (4, 3, 3, 4) (5, 4, 4, 5) (6, 7, 7, 6) (9, 8, 8, 9) b) 2, 4, 6, 8, 12,... Essas sequências são diferenciadas em dois tipos: 25 de 50

26 sequência finita: é uma sequência numérica na qual os elementos têm fim, como, por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 10 e menores que 40. (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n ) sequência finita. Sequência infinita: é uma sequência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números inteiros. (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,...) sequência infinita. Logo, podemos citar algumas sequências ou séries. I Série de Fibonacci: é uma sequência definida na prática da seguinte forma: você começa com 0 e 1 e, então, produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros números de Fibonacci para n = 0, 1,... são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, Essa sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, na qual ele descreve o aumento de uma população de coelhos. Os termos descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses supondo que: 1. nasce apenas um casal no primeiro mês; 2. os casais reproduzem-se apenas após o segundo mês de vida; 3. no cruzamento consanguíneo não há problemas genéticos; 4. cada casal fértil dá à luz a um novo casal todos os meses; 5. não há morte de coelhos. 26 de 50

27 II Número Tribonacci: um número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, mas, em vez de começarmos com dois termos predefinidos, a sequência é iniciada com três termos predeterminados e cada termo posterior é a soma dos três termos anteriores. Os primeiros números de uma pequena sequência Tribonacci são: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, , etc. III Progressão Aritmética: é uma sequência de números que obedecem a uma lei de formação já citada antes, isto é, a n + (n 1).r, em que podemos definir cada elemento por meio do termo anterior juntamente com a razão. Ex.: (10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,...). IV Progressão Geométrica: é uma sequência de números que obedecem a uma lei de formação já citada antes, isto é, a n q n 1, em que podemos definir cada elemento por meio do termo anterior juntamente com a razão. Ex.: (2, 6, 18, 54,...). Na progressão aritmética, quando temos uma quantidade ímpar de termos, o termo central será a média aritmética da sequência. Na progressão geométrica, podemos raciocinar de maneira análoga, porém teremos uma média geométrica entre os termos da sequência, gerando também o termo central. 27 de 50

28 QUESTÕES DE CONCURSO 1. (CESGRANRIO/BANCO DO BRASIL/2018) Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por an, para n 1. Sabe-se que a1 = 0 e que a sequência cujo termo geral é bn = an+1 an, n 1, é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é b1 = 9 e cuja razão é igual a 4. O termo a 1000 é igual a a) b) c) d) e) (FCC/SABESP/2018) Um corredor, preparando-se para uma maratona, decide iniciar um treinamento da seguinte forma: no primeiro dia, corre 5 km. No segundo dia, aumenta a distância percorrida em 0,2 km, correndo 5,2 km; do terceiro dia em diante, ele sempre aumenta a distância percorrida em 0,2 km, relativamente ao dia anterior. Após uma certa quantidade de dias, o corredor atinge, pela primeira vez, a marca dos 22 km, o que ocorre no a) 73º dia. b) 85º dia c) 74º dia. d) 86º dia. e) 95º dia. 28 de 50

29 3. (FUMARC/CEMIG MG/2018) A sequência numérica representada por (x+1, 2x, x2-5) é uma Progressão Aritmética e seus termos expressam as medidas dos lados de um triângulo. Nessas condições, é CORRETO afirmar que o perímetro desse triângulo, em unidades de comprimento, é igual a a) 6 b) 12 c) 18 d) (FUNDATEC/AL-RS/2018) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm ambas o primeiro termo igual a 20. Além disso, seus respectivos terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Assim como o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 10. Portanto, o terceiro termo das progressões é: a) 100. b) 80. c) 50. d) 40. e) (CESGRANRIO/2012) Considere uma função f: IR IR, definida por f(x) = 2x + 5. Se cn, n IN* indica o termo geral de uma progressão aritmética decrescente, então a sequência de números reais dn, definida por dn = f (cn), n IN*, é uma progressão 29 de 50

30 a) aritmética crescente b) aritmética decrescente c) geométrico crescente d) geométrica decrescente e) geométrica alternada 6. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2011) Certo cometa, descoberto em 1760, foi novamente visível da Terra por poucos dias nos anos de 1773, 1786, 1799, etc., tendo mantido sempre essa regularidade. Esse cometa será novamente visível no ano de a) 2016 b) 2017 c) 2018 d) 2019 e) (CESGRANRIO/TÉCNICO BANCÁRIO/BANCO DA AMAZÔNIA/2015) Uma sequência de números reais tem seu termo geral, an, dado por an = 4.23n+1, para n 1. Essa sequência é uma progressão a) geométrica, cuja razão é igual a 2. b) geométrica, cuja razão é igual a 32. c) aritmética, cuja razão é igual a 3. d) aritmética, cuja razão é igual a 1. e) geométrica, cuja razão é igual a de 50

31 8. (CS-UFG/UFG/2018) Dados os números 3 e 7, deseja-se inserir entre eles nove números de modo que os onze números formem uma progressão aritmética. Nesse caso, o oitavo termo dessa progressão será a) 5,4 b) 5,8 c) 6,2 d) 6,6 9. (2017) Considere a seguinte progressão aritmética: (23, 29, 35, 41, 47, 53,...) Desse modo, o 83.º termo dessa sequência é: a) 137 b) 455 c) 500 d) 515 e) (2016) Numa P.A. (progressão aritmética) o segundo termo é igual a 15 e a razão é igual a (-2). Nessas condições, a soma dos sete primeiros termos dessa P.A. é: a) 77 x b) 63 c) 80 d) de 50

32 11. (2016) A soma de todos os números da sequência: 3, 7,11, 15,..., 79 é igual a: a) 820 x b) 792 c) 828 d) (2017) O valor da soma dos termos da progressão geométrica finita (1,5,..., 78125) é: a) b) c) d) e) (2017) Em uma P.G (progressão geométrica), o primeiro é igual a 5 e a razão é q= 2, determine seu último termo e indique a alternativa correta. a) 1280 b) 528 c) 256 d) e) (2017) Considerando a solução do sistema linear e sabendo que o valor de x e o valor de y são, respectivamente, o primeiro termo e a razão de uma progressão geométrica, então o quinto termo dessa PG é: 32 de 50

33 a) 54 b) 486 c) 24 d) (2015) As razões entre a progressão aritmética 3,7,... e a progressão geométrica cujo primeiro termo é 5 são iguais. Desse modo, o quinto termo da progressão geométrica é igual a: a) 320 b) 80 c) 1280 d) (CESGRANRIO/2013) Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre dois termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17,..., 68, 71) é uma progressão aritmética finita que possui a) 67 termos b) 33 termos c) 28 termos d) 23 termos e) 21 termos 33 de 50

34 GABARITO 1. b 2. d 3. d 4. b 5. b 6. e 7. e 8. b 9. d 10. a 11. a 12. a 13. d 14. d 15. c 16. e 34 de 50

35 GABARITO COMENTADO 1. (CESGRANRIO/BANCO DO BRASIL/2018) Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por an, para n 1. Sabe-se que a1 = 0 e que a sequência cujo termo geral é bn = an+1 an, n 1, é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é b1 = 9 e cuja razão é igual a 4. O termo a 1000 é igual a a) b) c) d) e) Letra b. Dado: b n = a n+1 an a n+1 = a n + b n a 1000 = a n+1, logo podemos inferir que n +1 = 1000 n = 999 Temos que: a 1000 = a b 999, porém a 999 = a b 998 a 1000 = a b b 999, porém a 998 = a b 997 a 1000 = a b b b 999, e assim por diante. Desta forma podemos deduzir que termo a 1000 é a soma dos termos a 1 até b 999, vejamos abaixo: a b 1 + b 2 + b b b b 999 [soma dos termos de uma PA conhecida, com b 1 = 9 e razão = 4, e o a 1 = 0] 35 de 50

36 Somatório da PA = (b 1 + b 999 ). n / 2 b 999 = = 4001 Somatório da PG = ( ) x 999 / 2 = (FCC/SABESP/2018) Um corredor, preparando-se para uma maratona, decide iniciar um treinamento da seguinte forma: no primeiro dia, corre 5 km. No segundo dia, aumenta a distância percorrida em 0,2 km, correndo 5,2 km; do terceiro dia em diante, ele sempre aumenta a distância percorrida em 0,2 km, relativamente ao dia anterior. Após uma certa quantidade de dias, o corredor atinge, pela primeira vez, a marca dos 22 km, o que ocorre no a) 73º dia. b) 85º dia c) 74º dia. d) 86º dia. e) 95º dia. Letra d. No 1º dia, o corredor percorre 5km, para que ele alcance seu objetivo, precisamos descobrir em quantos dias ele vai percorrer os 17km restantes, o que falta para os 22km do total). A questão trata de uma progressão aritmética, pois temos um crescimento constante, ou seja, uma razão que corresponde a 200 metros (0,2 Km). O primeiro termo corresponde a 1 = 5Km e o último termo, a n = 22 Km. Temos que encontrar a posição do termo que corresponde a 22Km, ou seja, o dia que ele consegue atingir a sua meta. 36 de 50

37 a n + (n-1). r 22 = 5 + (n- 1). 0,2 22 = 5 + 0,2n 0,2 22 = 4,8 + 0,2n 17,2 = 0,2 n n = 17,2 / 0,2 = 86º dia. 3. (FUMARC/CEMIG MG/2018) A sequência numérica representada por (x+1, 2x, x2-5) é uma Progressão Aritmética e seus termos expressam as medidas dos lados de um triângulo. Nessas condições, é CORRETO afirmar que o perímetro desse triângulo, em unidades de comprimento, é igual a a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 Letra d. Podemos inferir que em uma PA: a n+1 a n = a n a n 1 (x 2 5) (2x) = (2x) (x+1) (x 2 5) (2x) (2x) + (x+1) = 0 x 2-3x 4 = 0, temos uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara ou o método da soma e produto, teremos: Pela soma e produto, é mais rápido: x 2-3x 4 = 0 37 de 50

38 Sabendo que os coeficientes a= 1, b = -3 e c = -4, queremos dois números que somados são iguais a b e multiplicados são iguais a c : = -3-4 x 1 = -4 No final trocamos os sinais: x = 4 e X = -1 Como estamos trabalhando com medidas dos lados do triângulo, não pode ser negativo, logo X será igual a 4. Perímetro (soma dos lados termos) = x+1 + 2x + x 2 5 Perímetro = = (FUNDATEC/AL-RS/2018) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm ambas o primeiro termo igual a 20. Além disso, seus respectivos terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Assim como o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 10. Portanto, o terceiro termo das progressões é: a) 100. b) 80. c) 50. d) 40. e) 30. Letra b. Vamos considerar a Progressão Aritmética: PA (20, Y + 10, X) Vamos considerar a Progressão Geométrica: PG (20, Y, X) 38 de 50

39 Como já visto anteriormente em nossa aula, sabemos que na PA (20, Y + 10, X) o termo central é igual à média aritmética dos termos extremos, logo: y + 10 = (20 + X) / 2 2y + 20 = 20 + X 2y = X Já na PG (20, Y, X), podemos construir uma proporção: X/Y =Y/20 y 2 = 20 X Temos as duas equações a seguir: I 2y = x y = x/2 II y² = 20x (x/2) ² = 20x X 2 / 4 = 20 X X 2 = 80 X X X = 80. X (simplificando X de cada lado, temos:) X = 80. Agora só basta encontrarmos o valor de x = 80 (GAB) 5. (CESGRANRIO/2012) Considere uma função f: IR IR, definida por f(x) = 2x + 5. Se cn, n IN* indica o termo geral de uma progressão aritmética decrescente, então a sequência de números reais dn, definida por dn = f (cn), n IN*, é uma progressão a) aritmética crescente b) aritmética decrescente c) geométrico crescente 39 de 50

40 d) geométrica decrescente e) geométrica alternada Letra b. 2*5 +5=15 2*4+5=13 2*3+5=11 Temos os termos: 15,13,11... Razão = -2 Onde temos a razão. P.A decrescente. 6. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2011) Certo cometa, descoberto em 1760, foi novamente visível da Terra por poucos dias nos anos de 1773, 1786, 1799, etc., tendo mantido sempre essa regularidade. Esse cometa será novamente visível no ano de a) 2016 b) 2017 c) 2018 d) 2019 e) 2020 Letra e. a 1 =1773 r= a 2 a 1 a r a 2 =1786 r= = 13 a 20 = a 20 = a20 = de 50

41 7. (CESGRANRIO/TÉCNICO BANCÁRIO/BANCO DA AMAZÔNIA/2015) Uma sequência de números reais tem seu termo geral, an, dado por an = 4.23n+1, para n 1. Essa sequência é uma progressão a) geométrica, cuja razão é igual a 2. b) geométrica, cuja razão é igual a 32. c) aritmética, cuja razão é igual a 3. d) aritmética, cuja razão é igual a 1. e) geométrica, cuja razão é igual a 8. Letra e. Temos a seguinte expressão: a n = 4.2 3n+1 Para n = 1, temos: a 1 = a 1 = a 1 = a 1 = 4.16 a 1 = 64 Para n = 2, temos: a 2 = a 2 = a 2 = a 2 = a 2 = 512 Para n = 3, temos: a 3 = a 3 = de 50

42 a 3 = a 3 = a 3 = 4096 Se dividirmos o segundo termo pelo primeiro, teremos 512 / 64 = 8. Dividindo o terceiro pelo segundo, também temos 4096 / 512, teremos o mesmo resultado, 8. Ou seja, estamos diante de uma progressão geométrica de razão igual a (CS-UFG/UFG/2018) Dados os números 3 e 7, deseja-se inserir entre eles nove números de modo que os onze números formem uma progressão aritmética. Nesse caso, o oitavo termo dessa progressão será a) 5,4 b) 5,8 c) 6,2 d) 6,6 Letra b. Vamos lá! Primeiramente, segundo a questão, temos o a 1 = 3 e de a11 = 7. Pelo termo geral, temos que: a r Logo: 7 = r 7-3 = 10.r 4 = 10.r 4/10 = r 0,4 = r (razão) 42 de 50

43 Dessa forma, já podemos encontrar o oitavo termo: a 8 + (7). r a 8 = ,4 a 8 = 3 + 2,8 a8 = 5,8 9. (2017) Considere a seguinte progressão aritmética: (23, 29, 35, 41, 47, 53,...) Desse modo, o 83.º termo dessa sequência é: a) 137 b) 455 c) 500 d) 515 e) 680 Letra d. Temos que a razão da progressão pode ser calculada por r= = 6 a n + (n-1). r a 83 + (83-1). r a 83 + (82). 6 a 83 = 23 + (82). 6 a83 = (2016) Numa P.A. (progressão aritmética) o segundo termo é igual a 15 e a razão é igual a (-2). Nessas condições, a soma dos sete primeiros termos dessa P.A. é: a) 77 x b) de 50

44 c) 80 d) 64 Letra a. Vamos encontrar o sétimo termo partindo do segundo termo, ok? a 7 = a 2 + 5r a 7 = ( -2) a 7 = a 7 = 5 Temos agora o primeiro termo (15 (- 2) = 17) e o último da sequência a 7 = 5. S = 7(a + a ) / S 7 = 7 (17 +5) / 2 S7 = (2016) A soma de todos os números da sequência: 3, 7,11, 15,..., 79 é igual a: a) 820 x b) 792 c) 828 d) 832 Letra a. Temos que o primeiro termo (a 1 ) da sequência é igual a 3 e o último (a n ) é igual a 79. A razão da progressão pode ser encontrada por r = 7-3 = 4 Para que possamos encontrar a soma dos termos, é necessário sabermos a quantidade de termos, ou seja, o valor de n. 44 de 50

45 a n + (n- 1). r 79= 3 + (n- 1). 4 79= n 4 4n = 80 n= 20. Agora, iremos aplicar a fórmula da soma dos termos: S n = n * (a 1 +a n ) /2 S 20 = 20 * ( ) / 2 S11 = (2017) O valor da soma dos termos da progressão geométrica finita (1,5,..., 78125) é: a) b) c) d) e) Letra a. Para que possamos somar os termos, primeiramente temos que calcular a quantidade de termos: A razão da PG pode ser calculada por q= 5 / 1 = 5 a n q n = 1 5 n = 5 n 1 45 de 50

46 Decompondo em fatores primos o número 78125: = = 5 n 1 7 = n-1 n= 8 Temos 8 termos, agora é aplicar a fórmula da soma: S 8 = 1 (5 8-1) / 5 1 S 8 = (5 8-1) / 4 S 8 = ( ) /4 S8 = (2017) Em uma P.G (progressão geométrica), o primeiro é igual a 5 e a razão é q= 2, determine seu último termo e indique a alternativa correta. a) 1280 b) 528 c) 256 d) e) Letra d. Uma questão que requer certa interpretação, podendo ser feita de uma maneira mais simples, uma vez que não temos a posição do último termo. Isto é, podemos construir a sequência até encontrar o maior termo que se encontra entre as opções. Vejamos: (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560, 5120, 10240) 46 de 50

47 Se preferir pode considerar uma das maiores das opções como resposta e verificar se o número n é inteiro, uma vez representa a posição do termo. 14. (2017) Considerando a solução do sistema linear e sabendo que o valor de x e o valor de y são, respectivamente, o primeiro termo e a razão de uma progressão geométrica, então o quinto termo dessa PG é: a) 54 b) 486 c) 24 d) 162 Letra d. Resolvendo o sistema linear, temos que pelo método da soma: 2x + Y = 7 X + 2y = 8 (-2) -2x 4y = -16 2x + Y = 7-2x 4y = Y = 9 Y = 3, logo 2x + Y = 7 2 x + 3 = 7 47 de 50

48 2x = 4 X= 2 Dessa forma temos: a 1 = 2 q = 3 a n q n 1 a 5 = a 5 = a5 = (2015) As razões entre a progressão aritmética 3,7,... e a progressão geométrica cujo primeiro termo é 5 são iguais. Desse modo, o quinto termo da progressão geométrica é igual a: a) 320 b) 80 c) 1280 d) 2560 Letra c. Na questão temos a PA (3, 7,...) PA e uma PG (5,...). Sabendo que as razões são iguais r=q, logo, a n q n 1 a 5 = a 5 = a5 = de 50

49 16. (CESGRANRIO/2013) Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre dois termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17,..., 68, 71) é uma progressão aritmética finita que possui a) 67 termos b) 33 termos c) 28 termos d) 23 termos e) 21 termos Letra e. Temos a razão da PA que pode ser encontrada por r= 8-5 = 3 O primeiro termo, que é igual a 1 = 5, e o último termo a n = 71 a n + (n -1). r 71 = 5 + (n-1) = 5 + 3n 3 71 = 2 + 3n 69 = 3n n = 69/3 n= 23 Temos 23 termos. 49 de 50

50 RESOLUÇÃO DO DESAFIO Letra c. Quando tivermos uma questão que pedir para que tenhamos certeza, aplicaremos o princípio da casa dos pombos e, assim, devemos partir da pior situação possível. Gosto de falar método da pior hipótese. Assim, qual seria a pior situação possível nesse caso? A pior hipótese é ir sorteando os menores números existentes. Sendo assim, vamos analisar o seguinte: 1. somando o salário dos 10 funcionários, encontraremos o valor de $24500; 2. sorteamos o menor número: $2000; = (valor superior a 14000, então teremos que sortear outro número) 3. sorteamos o 2º menor número: 2100; = (superior a 14000) 4. sorteamos o 3º menor número: 2200; = (superior a 14000) 5. sorteamos o 4º menor número: 2300; = (superior a 14000) 6. sorteamos o 5º menor número: 2400; = (número inferior a 14000, temos a certeza). Dessa forma, o número mínimo de funcionários que necessitaram ser sorteados será 5, já que tivemos que ir até o 5º sorteio para que o valor não sorteado ficasse abaixo de de 50