ELABORADO PELO PROF. DOUGLAS OLIVEIRA DE LIMA PARA VESTIBULAR DA UNB 2015/1 SEGUNDO DIA

Transcrição

1 VESTIBULAR DA UNB 015/1 SEGUNDO DIA 1) ERRADO! Pois para que seja uma função polinomial, cada x deve possuir somente um valor de y, e os pontos A(-,-) e E(-,) não satisfazem a definição. 1) ERRADO! Pois como I e J são simétricos em relação ao eixo y, devem possuir abscissas de sinais contrários, I=(-10,-1) e J=(10,-1), assim o item erra no sinal da ordenada. 14) ERRADO! A reta passa pelos pontos C=(-4,0) e E=(-,), podemos usar a fórmula de equação y y m( x x ), onde P=(x o, y o) é o ponto que pertence à reta e m é o coeficiente angular, o o y 0 mas como m 1,5, podemos usar o ponto E como ponto x 4 ( ) pertencente à reta, portanto y 1,5[( x ( )], y 1,5 x, y 1,5 x 6. 15) CORRETO! Jeremias representado pelo ponto B=(,-) e Jonas representado pelo ponto G=(-7,), basta calcular o módulo do vetor BG G B ( 7,) (, ) ( 9, 6), assim BG ( 9) ) CORRETO! Como A=(-,-), B=(,-), C=(-4,0) e D=(4,0), podemos perceber que -4 e 4 são zeros ou y a( x x )( x x ), ou seja, raízes da função y=f(x), logo 1 y a x x y a x ( 4)( 4), ( 16), agora substituindo o ponto B=(,-), teremos -=a(4-16), =1a, a=0,5, logo y x 4, a, b 0, c 4, assim a b c 17) CORRETO! Ezequiel D=(4,0); Oseias F=(,); Joel H=(7,), podemos considerar a base sendo FH=7-=5, e a altura a diferença das ordenadas de F e D assim a altura vale h=-0=. Logo a área será 5 x S 7,5. 18) Vamos fazer um conjunto com os 4 principais P={A, B, C, D, E} e um conjunto representando os outros oito O={1,,,4,5,6,7,8}, assim como pessoas são diferentes e numa foto qualquer alteração feita influência no resultado, temos para a figura central 4 possibilidades do conjunto P e para as outras fotos temos um arranjo de 11 pessoas tomadas a duas, ou seja, A11, 11x Portanto a resposta procurada será pelo princípio fundamental da contagem 4x110=440. OBS: No problema ele diz que a figura central será sempre a de um dos 4 profetas principais, mas não disse APENAS, ou seja, que apenas a figura central seria, assim os outros dois também podem ser profetas principais. 69) ERRADO!

2 Tomemos o plano que contém os pontos A, F e H, como J é o ponto médio do segmento AF, I é o ponto médio do segmento AH e M é o ponto médio do segmento HF, assim o plano também contém a face IJM, e portanto contém os vértices do cubo A, F e H. 70) CORRETO! Ainda na figura acima sabemos que 71) LETRA D O volume do cubo é igual a HF a IH. a, vamos calcular o volume do octaedro, será o dobro do volume da pirâmide [IJKLN], assim como a base é o quadrado IJKL de lado a, e a altura dessa pirâmide a 1 a a a é, logo o volume do octaedro será Voctaedro x[ IJKLN] x x( ) x, 6 assim a razão entre os volumes será igual a 6. 98) CORRETO! Dos dados da tabela retiramos o que nos interessa, vide abaixo: Incandescente Fluorescente LED Potência(W) Preço unitário(r$) Vida útil(horas)

3 E montando as equações teremos o seguinte sistema Que simplificando teremos Fazendo z= em (1) e () teremos x y 10z 0, (1) 0x 5y 4z 94, () x 10y 50z 74, () xy 10, (4) x 10y 4, (5) 5x 15y 50z x 15y 1z x 10000y 50000z Agora subtraindo as equações (5) e (4) teremos 7y=14, assim y=, que substituindo em (4) teremos x=4, o que nos dá x+y=6. 99) CORRETO! A matriz equivale ao nosso sistema simplificado. 119) CORRETO! A área do quadrado é dada pelo quadrado do seu lado e o perímetro 4 vezes seu lado, assim (log x) 4(log x) 5, 5 Portanto log x 5, x 4 40 se x m então m m assim m. log, 4 5, 5 10) ERRADO! Sabemos que se Z a bi, então Z a bi, Z a bi, Z a bi, como os vértices representam um quadrado a distância entre Z a bi e seu conjugado dá o valor do lado Z a bi, assim Z Z b 6, assim b, analogamente teremos a=b=, logo Z a b ) CORRRETO! Sabendo que. 1 i i 1 4 Z1 e, e Z e, logo 1 1 4Z 4( e ) 4.. e e Z 8 i i i OBS: Operar com números complexos é operar com pares ordenados, assim, um número complexo pode ser representado pelas seguintes formas i Z ( a, b) a bi r(cos isen) re este último conhecido através de Euler. 1) LETRA B A questão não pede pra fazer cálculos, assim o candidato poderia inspecionar as letras B e C por serem triviais, assim i i, e ( i) i 1) ERRADO!, logo letra B

4 Da tabela temos apenas 40%, logo os valores que faltam das porcentagens da primeira, segunda, quarta e quinta linhas devem representar 60%, e esse equivale a =0, portanto 60% equivale a 0 alunos, temos uma proporção de para 1. Os números representados na primeira coluna(números de alunos) são a metade dos números representados na segunda coluna(frequência). Assim o total de alunos equivale a metade de 100 que é 50>45. 14) ERRADO! A frequência da moda é 16>15, pois % é a maior frequência relativa que aparece na coluna da direita. 15) CORRETO! Da figura podemos observar que, assim quando 0,. 16) CORRETO! Observando a sombra circular da Terra sobre a Lua, por ocasião dos eclipses lunares, foi que Pitágoras, e posteriormente Aristóteles, no séc. IV a.c., apontavam este fato como prova de que a Terra era esférica. 17) RESPOSTA: 17 (Deve ter sido coincidência) Como, teremos ,4 9, o, assim 7,, portanto 0 7, é o valor do ângulo que corresponde ao comprimento do arco de 800km, como queremos descobrir o diâmetro, temos que corresponderá a r, ou seja 18) ERRADO! 60x800 r 17,8. 7,x,

5 Como sabemos que uma função seno assume valores máximo e mínimo respectivamente iguais a 1 e -1, podemos substituir na função P(t), assim encontraremos com soluções a=100 e b=0. ab10 a b 80, um sistema simples 19) CORRETO! Fácil perceber através do gráfico que um batimento se dá a cada 0,75 segundos, ou seja temos uma proporção de 1 para 4, ou multiplicando por 4, temos uma proporção de 4 para, e por fim multiplicando por 0 teremos uma proporção de 80 para 60s, 80 batimentos por minuto. 10) CORRETO! Como P( t) a Q( t), teremos que todas as ordenadas de P(t) sofrerão um deslocamento produzido pelo a. 1) ERRADO! Considere que o tempo de banho de Ana seja A e que o tempo de banho de Bruna seja B, assim teremos A=B, ou seja, como Ana toma banho 9 vezes na semana ela leva 9A minutos no chuveiro e Bruna 1B minutos no chuveiro, assim podemos montar a seguinte equação 9A 1B 468, ou 9.B 1B 468, 9B 468, B 1 e A=6min<40. Obs: O candidato poderia achar estranho, pois no enunciado diz que o tempo que Ana e Bruna levam no chuveiro é o mesmo. Aliás o enunciado é dado para resolver os itens. 14) CORRETO! Considerando que Ana e Bruna não tomam banho ao mesmo tempo e que só existe um chuveiro e que tempo que se passou foram semanas completas, a probabilidade seria calculada da seguinte forma: chuveiro. 1x 1 P 57,14% 55% 9x1x 1, sendo x o tempo em minutos que elas levam no 15) LETRA A! Ainda considerando que Ana e Bruna não tomam banho ao mesmo tempo, uma sequência possível seria AAAABABABBBBBBBBBBAAA, uma sequência de 9A s e 1B s, que podemos permutar P 1! 9! x1!. 14) ERRADO! A relação de recorrência que determina se ela é ou não uma P.G. é da seguinte forma an. n 1 a1 q, ou no caso em questão poderia ser 5A Pt () ( A 5). rt e, mas como podemos perceber existe uma constante 5 que não a deixa ser. Não havia necessidade de fazer cálculos. 144) CORRETO!

6 OBS: Nesta questão vamos fazer uma observação primeiro, como a função é representada por uma curva estritamente decrescente, não poderíamos ter nesta curva três pontos alinhados que são no P (0,5), P (1,6), P (4,7). caso 1 Mas a matemática não importa, vamos fazer prova, hehe, então como ele deseja. Se a população tende a se estabilizar em A=1, a função fica os valores para ver se batem. Os pontos 1 função, pois 1= e 4= Assim temos e ainda , e 60 Pt () rt 7. e 5 N (1,6), e N (4,7), devem satisfazer a, agora testando 60 1r 0 5 6, ou e 1r 7. e r que é o quadrado da primeira expressão, ou seja, correto. 4r 7. e ) ERRADO! OBS: Como foi mostrado no enunciado, o valor de t corresponde à quantidade de anos a partir de 1987, assim quando o item pede P(0), ela deixa claro que quer o valor da população 0 anos após Mas novamente importa saber fazer prova, não é? Vamos lá como =5, queremos P(5), assim como A=10, temos Pt () rt rt 5. e 5 e 1, logo 5r 1 P(5) 8, ou seja, e 5r e 1 4 aplicando ln, teremos -5r=-1,4, ou seja r=0,04<0,05. 5r 1, que ln e ln, 5r ln x0,7 1,4, assim 4 146) ERRADO! Como 0<A<5, podemos supor A=1 e A é a população limite, ou seja, para tempos maiores do que zero a população tenderá para 1. Temos que 5 P( t), assim P(0) 5 rt 4. e 5 decrescente pois para um tempo maior do que zero P(t) fica menor do que 5., logo 147) Nesta questão existem vários erros As proposições falsas são P1: O quadrado da hipotenusa é o quadrado da soma dos catetos. P:A diagonal do cubo é a sua aresta vezes raiz cúbica de. P:Os períodos das funções seno, cosseno e tangente são iguais a dois pi. P4:Se você soma dois números primos, o resultado é sempre outro número primo. Justificativas: P1: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. P:A diagonal no cubo é igual a sua aresta vezes raiz de P:Os períodos das funções seno e cosseno são iguais a dois pi e da função tangente igual a pi P4:Nem sempre é primo, ex :+7=9=x 148) ERRADO!

7 Somente pela regra número 1, o ano 000 não foi o primeiro pois 1600 é múltiplo de 400, e esse foi o primeiro. 149) ERRADO! 1866 não é múltiplo de 4, era só dividir na calculadora que o CESPE disponibiliza ou usar a regra dos dois últimos, como 66 não é divisível por 4 então 1866 não será. 150) ERRADO! O fato de ele ser múltiplo de, não implica que ele não é múltiplo de 4, pois ele pode ser múltiplo de 1. Ex: 1596 é bissexto. Tabela de incidência de assuntos cobrados ASSUNTO Frequência absoluta Frequência relativa(%) Análise combinatória 5,71% Binômio de Newton 0 0% Probabilidade 1,85% Conjuntos 0 0% Conjuntos numéricos 0 0% Equação do segundo grau 0 0% Equação irracional 0 0% Equação modular 0 0% Exponencial e logaritmo 4 11,4% Função 1,85% Geometria analítica 5 14,8% Geometria espacial 4 11,4% Geometria plana 4 11,4% Matrizes de determinantes 1,85% Números complexos 8,57% Polinômios 0 0% Progressões 1,85% Sistemas lineares 5,71% TN (Divisibilidade) 4 11,4% Triginometria 1,85% Estatística 5,71% TOTAL 5 100%