Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh

Transcrição

1 Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh Prof. Ohara Kerusauskas Rayel Disciplina de Eletrônica Digital - ET75C Curitiba, PR 16 de abril de / 23

2 Introdução Manipulação Algébrica não é trivial. Requer experiência e habilidade Não existe maneira fácil de saber se a expressão obtida ainda pode ser simplificada Alguns ajustes facilitam a obtenção da expressão minimizada O primeiro deles consiste em colocar a expressão na forma de Soma de Produtos, como veremos a seguir 2 / 23

3 Forma Canônica SOP Consiste em chegar à uma expressão que seja uma soma dos produtos de todas as variáveis de entrada, na forma normal ou negada Exemplo: z = f(a,b,c,d). Forma SOP possível: ABCD +ABCD+ABCD +ABCD Cada um dos termos da soma é também chamado de minterm 3 / 23

4 Forma Canônica SOP Cada minterm pode ser obtido diretamente da tabela-verdade da função x = A B C +A B C +A B C Minterm Maxterm A B C x A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C / 23

5 Forma Canônica POS Consiste em chegar à uma expressão que seja um produto de somas de todas as variáveis de entrada, na forma normal ou negada Exemplo: z = f(a,b,c,d). Forma POS possível: (A+B+C+D) (A+B+C+D) (A+B+C+D) (A+B+C+D) Cada um dos termos da soma é também chamado de maxterm 5 / 23

6 Forma Canônica POS Cada maxterm também pode ser obtido diretamente da tabela-verdade da função x = (A+B +C) (A+B +C) (A+B +C) Minterm Maxterm A B C x A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C A B C A+B +C / 23

7 Simplificação Algébrica Para obter êxito na simplificação algébrica, recomenda-se que os seguintes passos sejam seguidos: 1 Colocar a expressão no formato SOP (Soma de Produtos, do inglês Sum of Products) através da aplicação dos Teoremas de DeMorgan e da multiplicação de termos 2 Verifica-se a existência de fatores comuns. Se existirem, fatora-se a expressão e com sorte obtém-se mais simplificações. 7 / 23

8 Simplificação Algébrica Exemplo: z = A B C +A B (A C) 1 Obter Expressão SOP 1 z = A B C +A B (A+C) - Teorema de DeMorgan 2 z = A B C +A B (A+C) 3 z = A B C +A B A+A B C - Distributiva 4 z = A B C +A B +A B C 2 Fatorar 1 z = A C (B +B)+A B 2 z = A C (1)+A B 3 z = A (C +B) 8 / 23

9 Simplificação Algébrica Descrição Algébrica de circuitos com posterior simplificação economiza hardware Porém, a simplificação pode ser bastante difícil de obter Muitos passos são necessários, além de experiência e habilidade Como obter então uma simplificação ótima garantida? 9 / 23

10 Mapa de Karnaugh Método para simplificar expressões lógicas de até 6 variáveis Também usado para converter uma Tabela-Verdade em circuito Tabela-Verdade A B C X A B C A B C A B C A B C Mapa de Karnaugh C C A B 1 1 A B 1 0 A B 1 0 A B 0 0 Cada linha/coluna só pode diferir de 1 bit (1 variável) Para tal, a ordem deve sempre ser: A B, A B, A B, A B. 10 / 23

11 Expressão sem simplificação A B C X A B C A B C A B C A B C C C A B 1 1 A B 1 0 A B 1 0 A B 0 0 Expressão SOP obtida a partir da Tabela-Verdade: X = A B C + A B C + A B C + A B C Mapa de Karnaugh permite simplificar a expressão através do agrupamento de 2, 4 ou 8 quadros de valor 1, eliminando 1, 2 ou 3 variáveis, respectivamente. Objetivo: menor número de grupos com, com o máximo de 1 s agrupados 11 / 23

12 Agrupamento de quadros Neste mapa, 2 grupos de 2 são possíveis São simplificadas as variáveis que se alteram dentro de cada agrupamento No superior, a variável C muda, então ficamos com: A B No inferior, a variável A muda, então ficamos com: B C A expressão final é a soma das simplificadas: X = A B + B C, muito mais simples que a expressão SOP 12 / 23

13 Agrupamento de 2 quadros 13 / 23

14 Agrupamento de 2 quadros Quadros das bordas da tabela são adjacentes aos da borda oposta, pois só uma variável muda! Como fica a expressão final neste caso? 13 / 23

15 Agrupamento de 2 quadros Quadros das bordas da tabela são adjacentes aos da borda oposta, pois só uma variável muda! Como fica a expressão final neste caso? X = A B + B C 13 / 23

16 Agrupamento de 4 quadros 14 / 23

17 Agrupamento de 4 quadros Condições don t care devem ser substituídas por 1 s e 0 s de forma a gerar os melhores agrupamentos Como fica a expressão final neste caso? 14 / 23

18 Agrupamento de 4 quadros Condições don t care devem ser substituídas por 1 s e 0 s de forma a gerar os melhores agrupamentos Como fica a expressão final neste caso? X = B D + B D 14 / 23

19 Agrupamento de 8 quadros 15 / 23

20 Agrupamento de 8 quadros Como fica a expressão final neste caso? 15 / 23

21 Agrupamento de 8 quadros Como fica a expressão final neste caso? X = B 15 / 23

22 Agrupamento de 8 quadros - 2 o exemplo 16 / 23

23 Agrupamento de 8 quadros - 2 o exemplo Como fica a expressão final neste caso? 16 / 23

24 Agrupamento de 8 quadros - 2 o exemplo Como fica a expressão final neste caso? X = D 16 / 23

25 Mapa de Karnaugh a partir da expressão X = C(A B D + D) + A B C + D X = A B C D + C D + A B C + D 17 / 23

26 Mapa de Karnaugh a partir da expressão X = A B C D + C D + A B C + D Preencher com 1 todos os quadros que possuem termos da expressão SOP 18 / 23

27 Mapa de Karnaugh a partir da expressão X = A B C D + C D + A B C + D Preencher com 1 todos os quadros que possuem termos da expressão SOP Como fica a expressão final neste caso? 18 / 23

28 Mapa de Karnaugh a partir da expressão X = A B C D + C D + A B C + D Preencher com 1 todos os quadros que possuem termos da expressão SOP Como fica a expressão final neste caso? X = A B + C + D 18 / 23

29 Circuito Simplificado Economia e facilidade de implementação! 19 / 23

30 Exercícios Simplifique as expressões abaixo. Desenhe o circuito inicial e o simplificado: 1 z = A B C +A B C +A B C Resposta AB + AC 2 z = AC(A B D)+A B C D +A B C Resposta BC +Ā D(B +C) 3 x = (A+B) (A+B +D) D Resposta B D 4 s = A B C +A B C +A B C +A B C +A B C Resposta ĀB + C [ ] 5 s = (A B) B (A+C)+D(A+B +C) Resposta A B C +ĀBC +A BD 20 / 23

31 Exercícios 1 Encontre 2 soluções ótimas para o Mapa de Karnaugh abaixo: C D C D CD C D A B A B A B A B Encontre a solução ótima para o Mapa de Karnaugh abaixo: C D C D CD C D A B A B X A B A B X / 23

32 Exercícios Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além dos seguintes exercícios do livro Sistemas digitais: princípios e aplicações": 4-1, 4-2, 4-5, 4-7, 4-8, 4-12, 4-14, 4-15 e / 23

33 Próxima Aula: Mapas de Karnaugh de 5 e 6 variáveis e Projeto de Circuitos! 23 / 23