Introdução à Otimização de Processos. Prof. Marcos L Corazza Departamento de Engenharia Química Universidade Federal do Paraná

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1 Introdução à Otimização de Processos Prof. Marcos L Corazza Departamento de Engenharia Química Universidade Federal do Paraná

2 Otimização Não-Linear Algumas definições e conceitos preliminares: 1. Derivadas e diferenciais; 2. Derivadas parciais e diferencial total; 3. Máximos e mínimos locais; 4. Máximos e mínimos condicionados; 5. Multiplicadores de Lagrange; 6. Matriz jacobiana; 7. Matriz hessiana.

3 TQ-757 Otimização de Processos Conceitos básicos Pode ser contínua no intervalo ou em partes. Caso B da Figura 4.1 é contínua mas não continuamente diferenciável A descontinuidade pode ser um problema ou não, dependendo do método Na Figura 4.1A um método que é baseado em derivada depende do ponto inicial. Na Figura 4.1.B um método que é baseado em derivada vai falhar. 3

4 Função Unimodal ou Multimodal Definição: Função unimodal possui apenas um ponto de extremo (máximo, mínimo ou sela) no intervalo. Função multimodal possui mais de um ponto de extremo no intervalo.

5 TQ-757 Otimização de Processos Conceitos básicos Prof. Dr. Carlos Itsuo Yamamoto 5

6 Derivadas e Diferenciais a) a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas física, p.e., a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas; b) a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza; c) a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza; Ver arquivo: Deriv_Dif_Aguiar_et_al_2012 (página da disciplina).

7 Derivadas e diferenciais: Dada a função: f(x) = x^2 + 2x - 4 tg = f (x 0 ) f(x 0 ) x 0

8 Derivadas e diferenciais: f(x) = x^2 + 2x - 4 Derivada f (x) = 2x + 2 Diferencial: f(x 0 + ) df f f( x0 ) dx x x 0 (x 0 + )

9 Derivadas parciais:

10 Derivadas parciais:

11 Gradiente e diferencial total: Diferencial total: f f df dx1 dx x x 1 n n Gradiente: grad f f f f,,..., x x x 1 2 n

12 Exemplo 1 a) Obtenha o gradiente da função z(x) no ponto x = [1, -2, 2] b) Obtenha o gradiente da função usando diferenças finitas adiantadas. z x 5x 3x x 4x 2ln x

13 Máximos e mínimos condicionados:

14 Máximos e mínimos locais:

15 Multiplicadores de Lagrange De maneira geral, dada uma função-objetivo: z = f(x,y), sujeita a restrição g(x,y) = c, onde c é uma constante qualquer, podemos escrever a função de Lagrange como: Z = f(x,y) + [c g(x,y)] e usar a condição de 1a. ordem, necessária para que Z seja estacionário, ou seja, Z Z Z 0; 0; 0; x y

16 Matriz jacobiana: Seja F : n m, uma função diferenciável. Denominamos matriz jacobiana, a matriz dada por: ( ) x n m m n f f x x J f f x x O cálculo de J(x) no ponto x 0, denominamos o jacobiano de F em x 0.

17 Matriz hessiana: Seja f(x) uma função diferenciável. Denominamos matriz hessiana de f, a matriz dada por: f f f 2 x x 1 2x1 xnx f f f 2 2 H ( x) x1x 2 x x 2 nx 2 D f ( x) f f f 2 x1 xn x2 xn x n O cálculo de H(x) no ponto x 0, denominamos o hessiano de f em x 0

18 Exemplo 2 Dada a função F(x,y), obtenha o Jacobiano desta função (sistema) f 1 x, y 2x 4xy y F 2 2 f2 x, y x 2x 6y 2 3 Exemplo 3 Dada a função P(x,y) = f 1 + f 2, obtenha a Hessiana desta função.

19 TQ-757 Otimização de Processos Conceitos básicos Funções côncavas e convexas Concavidade e convexidade ajudam na interpretação para saber se um extremo é global ou local. Serve para gerar algoritmos aceleradores de convergência. Prof. Dr. Carlos Itsuo Yamamoto 19

20 TQ-757 Otimização de Processos Conceitos básicos Estritamente côncava ou estritamente convexa significa que a reta que une f(x a ) e f(x b ) só toca a curva f(x) em x a e x b. Prof. Dr. Carlos Itsuo Yamamoto 20

21 Análise de Convexidade / Concavidade A partir da Hessiana da função: Num intervalo a x b f(x) é estritamente côncava se f (x) < 0 f(x) é côncava se f x) 0 f(x) é estritamente convexa se f (x) > 0 f(x) é convexa se f (x) 0

22 Num intervalo a x b f(x) é estritamente côncava se f (x)<0 f(x) é côncava se f x) 0 f(x) é estritamente convexa se f (x)>0 f(x) é convexa se f (x) 0 f(x)=3x 2 f (x)=6 convexa e estritamente convexa f(x)=2x f( (x)=0 côncava e convexa f(x)=-5x 2 f (x)=-10 côncava e estritamente cônvaca f(x)=2x 2 -x 3 f (x)=6-3x indefinida; depende de x; não é côncava nem convexa no intervalo - x

23 No caso de uma função multivariável: H(x) é positiva definida se e só se x T Hx > 0 para qualquer x 0 H(x) é negativa definida se e só se x T Hx < 0 para qualquer x 0 H(x) é indefinida se x T Hx > 0 depende de x x T Hx 0 então f(x) é positiva semidefinida x T Hx 0 então f(x) é negativa semidefinida

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25 Obtenção de autovalores e autovetores (resumo) Dada uma matriz A nxn os autovalores () e os autovetores (v) são obtidos a partir da solução do seguintes sistema: (A I) v = 0 Os vetores v 0 para os quais existe um que resolve a equação acima são chamados de autovetores da matriz A e os valores de, que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores. Para que a equação acima tenha solução além da trivial (v = 0) é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja, det(a I) = 0

26 Obtenção de autovalores e autovetores (resumo) autovalores de A são as raízes da equação: det(a I) = 0 Autovetores v de A: para cada, são as soluções da equação, (A I) v = 0 Exemplos: