2 o TESTE DE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LCEIC-Taguspark, LCERC, LCEGI, LCEE 10 de Maio de 2008 (9:00) Teste 202.

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 2 o semestre 07/08 2 o TESTE DE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LCEIC-Taguspark, LCERC, LCEGI, LCEE 10 de Maio de 2008 (9:00) Teste 202 Nome: Número: Curso: O Teste que vai realizar tem a duração total de 90 minutos e consiste de cinco perguntas. As perguntas estão divididas em alíneas com as cotações indicadas na tabela abaixo. O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Perg 1.a) Perg 1.b) Perg 2.a) Perg 2.b) Perg 2.c) Perg 3.a) Perg 3.b) Perg 3.c) Perg 4.a) Perg 4.b) Perg 5.a) Perg 5.b) Perg 5.c) 2 Val 2 Val 2.5 Val 1 Val 1 Val 1 Val NOTA FINAL: 1

2 Problema 1 (3 valores) Considere a seguinte curva paramétrica α : R R 2 dada por α(t) = (3t 3/2, t 3/2 ) a) Esboce o traço de α para t [0, 2], indicando a posição inicial e final. Determine o vector velocidade da curva paramétrica. b) Calcule o comprimento de arco de α para t [0, 1]. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! Solução: (a) trata-se dum segmento de recta com posição inicial: α(0) = (0, 0) e posição final α(2) = (6 2, 2 2), velocidade: α (t) = ( 9 t, 3 t ); (b) l =

3 Problema 2 (4.5 valores) Considere o campo vectorial F : R 2 R 2 F(x, y) = (4y, 4x) e a curva paramétrica β(t) = (r sin(4t), r cos (4t)), r > 0. a) Mostre que o campo vectorial F é uma função de classe C 1. b) Verifique que β é uma curva integral do campo vectorial F. c) Calcule a variação de F ao longo da curva paramétrica γ(t) = (cos(4t), sin (4t)) para t = π/4, usando a regra da cadeia. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! Solução: (a) trata-se duma função contínua com as quatro derivadas parciais contínuas, enquanto funções constantes; (b) verifica-se que β (t) = F( β(t)); (c) [ ] [ ] [ ] D F( γ(π/4))d γ(π/4) = =

4 Problema 3 (5 valores) Considere a função f definida pela expressão ( ) 1 xy cos se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 + y 2 0 se (x, y) = (0, 0) a) Mostre que a derivada parcial f y b) Calcule o vector gradiente em (0, 0). não é contínua na origem. c) Verifique que f é uma função diferenciável em todo o seu domínio. Solução: (a) por definição de derivada parcial em ordem a y em (0, 0), temos f (0, 0) = 0, ( ( )) y mas o limite de f 1 xy cos não existe, basta pensar no limite direccional segundo y x 2 +y 2 y = 0; (b) por definição de derivada parcial em ordem a x em (0, 0), temos f (0, 0) = 0, logo x f(0, 0) = (0, 0); (c) há que provar que existe e é igual a zero. R((0, 0), (x, y)) lim (x,y) (0,0) (x, y) com R((0, 0), (x, y)) = f(x, y) ( f(0, 0) + αx + βy ), onde α = f f (0, 0) = 0 e β = (0, 0) = 0. x y 4

5 Problema 4 (4.5 valores) Considere a função f : R 2 R definida por f(x, y) = 2 sin(x) cos(y). a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0, π) b) Mostre que p = (0, π/2) é um ponto crítico de f. Classifique-o, usando o critério dos valores próprios para estudar a positividade da respectiva matriz hessiana. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! Solução: (a) z = 2x; (b) p = (0, π/2) é um ponto de sela da função f (a matriz hessiana é indefinida). 5

6 Problema 5 (3 valores) Sejam f : R n R uma função escalar de classe C e D um subconjunto de R n. Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. No caso de serem verdadeiras, justifique usando as respectivas definições. No caso de serem falsas, dê um contra-exemplo. a) Se f possui pontos críticos, então f possui extremos globais em D. b) Se D é um compacto, então f possui extremos locais em D. c) Se f não possui pontos críticos e D é um aberto, então f não possui extremos globais em D. Justifique todos as afirmações que fizer! Solução: (a) em geral é falsa; (b) verdadeira; (c) verdadeira. 6