PG Nível Básico

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1 PG 016 Nível Básico 1. (Efomm 016) Numa progressão geométrica crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com o dobro do º termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 6, determine o valor do º termo. a) 6 b) c) 3 d) 1 e) 6 7. (Uerj 016) Em 1965, o engenheiro Gordon Moore divulgou em um artigo que, a cada ano, a indústria de eletrônicos conseguiria construir um processador com o dobro de transistores existentes no mesmo processador no ano anterior. Em 1975, ele atualizou o artigo, afirmando que, de fato, a quantidade de transistores dobraria a cada dois anos. Essa última formulação descreve uma progressão que ficou conhecida como Lei de Moore e que permite afirmar que um processador que possuía transistores em 1975 evoluiu para um processador com transistores em Admitindo um processador com transistores em 009, calcule a quantidade de transistores que a evolução desse processador possuirá em 019, segundo a Lei de Moore. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto a seguir e responda à(s) questão(ões). A conexão que Pitágoras estabeleceu entre a Música e a Matemática foi absorvida pelo espírito grego. Nessa fonte, alimentam-se novos conhecimentos normativos, que banham todos os domínios da existência entre os gregos. Um momento decisivo é a nova concepção da estrutura da música. A harmonia exprime a relação das partes com o todo. Está nela implícito o conceito matemático de proporção que o pensamento grego figura em forma geométrica e intuitiva. A harmonia do mundo é um conceito complexo em que estão compreendidas a representação da bela combinação dos sons no sentido musical e a do rigor do número, a regularidade geométrica e a articulação tectônica. A ideia grega de harmonia abrange a arquitetura, a poesia e a retórica, a religião e a ética. (Adaptado de: JAEGER,W. Paideia: a formação do homem grego. 4.ed. São Paulo: Martins Fontes, 001, p.07.) Página 1 de 9

2 3. (Uel 016) A relação entre a representação dos tempos musicais e a matemática encontrase na ilustração a seguir. Esses valores indicam a duração do tempo em que as notas devem ser executadas em função de uma unidade de tempo chamada compasso. Ele é formado por determinada quantidade de notas musicais, cuja soma das durações do tempo dessas notas forma a fração, como, por exemplo, um compasso 4 4 pode ser formado por duas semínimas e quatro colcheias. Sobre o exposto, considere as afirmativas a seguir. I. Os valores dos tempos musicais podem ser representados pela sequência (a 0, a 1,..., a n), em n 1 que a n, 0 n 6 e n. II. Dois compassos, de 4 duas colcheias. cada, podem ser preenchidos com uma mínima, uma semínima e III. Um compasso cuja fração é 3 pode ser preenchido por uma semínima, duas semicolcheias 4 e uma fusa IV. A sequência 1,,,,,, de tempos musicais é crescente. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas. Nível Médio 4. (Uece 016) Seja x 1, x, x 3,, uma progressão geométrica cuja razão é o número real positivo q. Se x5 4q e x5 x6 90, então, o termo x 1 desta progressão é um número a) inteiro. b) racional maior do que 7,1. c) irracional maior do que 7,1. d) racional menor do que 7,0. Página de 9

3 5. (Efomm 016) Seja um quadrado de lado. Unindo os pontos médios de cada lado, temos um segundo quadrado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é a) b) c) d) e) (Pucsp 016) Seja o triângulo equilátero T 1 cujo lado mede x cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de T, 1 obtém-se um novo triângulo equilátero T; unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo T, obtém-se um novo triângulo equilátero T; 3 e, assim, sucessivamente. Nessas condições, se a área do triângulo T 9 é igual a igual a: a) 640 b) 50 c) 440 d) cm, então x é (Usf 016) Pensando em montar seu próprio consultório, Nathália começou a economizar desde que entrou no curso de Medicina. Ao passar no vestibular, ela ganhou R$ 5.000,00 de seus pais e os aplicou a uma taxa de 0,5% ao mês a juros compostos. Além disso, mensalmente, ela depositou R$ 100,00 à mesma taxa de juros compostos. Hoje, passados 5 anos, ou seja, 60 meses, qual o montante do rendimento dos R$ 5.000,00 e qual o valor 60 economizado por Nathália com suas aplicações mensais? (Considere 1,005 1,35 ) a) R$ 6.750,00 e R$ 7.000,00. b) R$ 6.500,00 e R$ 7.800,00. c) R$ 6.500,00 e R$ 7.000,00. d) R$ 6.750,00 e R$ 7.800,00. e) R$ 7.800,00 e R$ 6.500, (G1 - ifal 016) Num triângulo equilátero de lado L, constrói-se outro triângulo equilátero nos pontos médios de seus lados. Esse processo é feito indefinidamente, gerando infinitos outros triângulos equiláteros. Então, podemos dizer que o limite da soma dos perímetros desses triângulos vale a) L. b) 4 L. c) 6 L. d) 8 L. e) 10 L. Página 3 de 9

4 9. (Ufrgs 016) Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros abaixo. O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da altura do triângulo da etapa e, assim, sucessivamente. Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é a). b) 3. c) 4. d) 5. e) (Efomm 016) Um garrafão contém 3 litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se um litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-se, a seguir, um litro da mistura e acrescenta-se um litro de água, e assim por diante. A quantidade de vinho, em litros, que resta no garrafão, após 5 dessas operações, é aproximadamente igual a a) 0,396 b) 0,51 c) 0,676 d) 0,693 e) 0, (Espcex (Aman) 016) Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência de diâmetro R, inscreve-se um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira circunferência. Caso este procedimento seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências envolvidas nesse processo é igual a: a) R 1 3 b) 4R 1 3 c) 4R d) R 3 e) R Página 4 de 9

5 1. (Uem-pas 016) Ao comprar um celular novo, você se depara com múltiplas formas de pagamento. Se o valor de um celular é R$ 1.00,00, e sabendo que você tem exatamente este valor disponível, assinale o que for correto. 01) Se uma aplicação rende % a cada 30 dias e o custo para pagamento da compra do celular em duas parcelas é de R$ 60,00 cada (após 30 e 60 dias), então é mais vantajoso o pagamento à vista do que o pagamento a prazo com o dinheiro da aplicação. 0) Suponha que o montante de R$ 1.00,00 seja aplicado a juros de 1,5% a cada 30 dias, e que ele seja reinvestido. Suponha, também, que na compra do celular a prazo os juros sejam de % a cada 30 dias. Então, se o pagamento da compra do celular for efetuado apenas após 60 dias, você gastará R$ 1,1 além do saldo disponível desta aplicação. 04) Não importa o valor dos juros na compra a prazo; não sendo zero, será sempre mais vantajoso o pagamento à vista. 08) Se aplicarmos sobre uma dívida D um valor à taxa de juros i mensal (i positivo), então o montante M da dívida, ao final de n meses, será n M D(1 i). 16) Pagar à vista com 10% de desconto é equivalente a pagar em duas vezes com juros simples de 5% sobre o valor com desconto. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere a área de uma folha de papel A4, com 97 mm de comprimento e 10 mm de largura. Dobrando ao meio a folha de papel por sucessivas vezes, são formados retângulos cada vez menores. A tabela a seguir relaciona as medidas e a área dos retângulos obtidos a cada dobragem. Nº de dobragens Largura (mm) 148, ,5 5,5 Comprimento (mm) , ,5 Área (mm ) ,5 7796,5 3898, (Upf 016) Considerando os dados da tabela referentes à área do retângulo obtido a cada dobragem, observamos que essas medidas formam uma progressão geométrica. Realizando o processo de dobragem infinitas vezes, o valor da soma das áreas dos sucessivos retângulos formados a cada dobragem é: a) mm. b) c) d) e) mm mm mm mm. Página 5 de 9

6 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Seja x, x, xq, q a progressão geométrica, com x 0 e q 1. Tem-se que x xq 3 x q q 3 0 q q 3. Por conseguinte, vem x 1 x xq 6 x x 6. q 3 Resposta da questão : De 009 a 019 tem-se um intervalo de 10 anos. Portanto, segundo a Lei de Moore, a quantidade de transistores em 019 será igual a Resposta da questão 3: [A] [I] Verdadeira. Os valores dos tempos musicais constituem uma progressão geométrica decrescente de primeiro termo 1 e razão 1 n, cujo termo geral é 1 a n, com 0 n 6 e n. [II] Verdadeira. Dois compassos de 4 correspondem a um compasso 4. Por outro lado, uma 4 mínima, uma semínima e duas colcheias resultam em [III] Falsa. Uma semínima, duas semicolcheias e uma fusa correspondem a um compasso cuja fração é [IV] Falsa. De fato, conforme [I]. Resposta da questão 4: [B] Desde que x5 temos 4q e q, x5 x6 90 4q 4q 90 (q 1) 16 3 q. 4 Em consequência, vem x1q 4q x Portanto, como ,1, segue o resultado. Página 6 de 9

7 Resposta da questão 5: [E] Tem-se que as áreas dos quadrados constituem a progressão geométrica (4,,1, conseguinte, a resposta é ). Por 10 (101) Resposta da questão 6: [D] De acordo com o texto os lados dos triângulos formados formam uma PG de razão 1. x x x x,,,, 3 Logo, a medida do lado do nono triângulo será dada por : 91 1 x a9 x 8 Portanto, a área do nono triângulo será dada por: x x 100 x 5 x Resposta da questão 7: [A] O montante obtido com o presente dos pais é (1 0,005) ,35 R$ 6.750,00. O montante obtido com as aplicações mensais é dado por , (1,005 1,005 1) 100 1, ,005 0, ,005 R$ 7.000, Página 7 de 9

8 Resposta da questão 8: [C] Trata-se de soma de PG infinita. Com os dados do enunciado, pode-se escrever: 3L 3L PG 3L ; ; ;... n 4 1 q a1 3L 3L S S 6L 1 q Resposta da questão 9: [E] Considerando que os triângulos são todos semelhantes, os perímetros formam uma PG de razão A soma dos infinitos termos desta PG será dada por: S Resposta da questão 10: [A] Como o volume retirado da mistura é sempre igual a 1 3 do volume presente, segue que a quantidade de vinho diminui segundo uma progressão geométrica de razão 3 e primeiro termo igual a. Logo, a resposta é 4 3 0,395 L Resposta da questão 11: [B] Estabelecendo uma relação entre o raio r da circunferência inscrita e o raio R da circunferência circunscrita num hexágono regular. r é a altura de um triângulo equilátero de raio R, portanto: R 3 r Os raios considerados no exercício formarão 3 uma P.G. infinita de razão q. R 3 3R (R,,,...) 4 A soma dos infinitos termos desta P.G. será dada por: R 1 a 1 R R 3 S 4R 1 1 q Página 8 de 9

9 Resposta da questão 1: = 11. [01] Verdadeira. Após 30 dias, o montante gerado pela aplicação seria de 100 1,0 R$ 1.4,00. Pagando a primeira parcela, o saldo disponível para reaplicação seria de R$ 604,00. Após 30 dias, o novo montante da aplicação seria de 604 1,0 R$ 616,08 R$ 60,00. Em consequência, o pagamento à vista é mais vantajoso para o comprador. [0] Verdadeira. O montante gerado pela aplicação é igual a enquanto que o valor a pagar pelo celular será de 100 (1,015) R$ 136,7, 100 (1,0) R$ 1.48,48. Portanto, o comprador precisará gastar 148,48 136,7 R$ 1,1 além do saldo da aplicação. [04] Falsa. Basta que o comprador disponha de uma aplicação com rendimento superior à taxa de juros cobrada pela loja. [08] Verdadeira. Trata-se do montante composto. [16] Falsa. Não foram informadas as datas de pagamento das parcelas, nem se as parcelas são iguais. Resposta da questão 13: [D] Soma dos infinitos termos da PG: a S S 6370 mm 1 q Página 9 de 9