Symbolic Math Toolbox

Transcrição

1 O Toolbox de Matemática Simbólica disponibiliza uma coleção de diversas funções do MATLAB utilizadas para calcular operações básicas, tais como: derivadas, limites, integrais, expansão da serie de Taylor, e outras operações. A manipulação simbólica no MATLAB pode ser vista como uma evolução do modo como você utiliza o MATLAB para processar números. 1

2 A grande vantagem de se utilizar tal processo é que podemos obter resultados mais exatos, eliminando-se assim a imprecisão introduzida pelos valores numéricos. Podemos resolver derivadas, integrais, equações diferenciais e algébricas utilizando-se esta poderosa ferramenta. 2

3 EXPRESSÕES SIMBÓLICAS Deve-se entender por Expressão simbólica as expressões que contêm objetos simbólicos que podem representar números, funções e operações e variáveis. Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um valor numérico. Esta variável simbólica representa apenas um símbolo de uma expressão simbólica. 3

4 EXPRESSÕES SIMBÓLICAS Exemplos: x 3 d 4 z = (5x ) dx 4

5 O MATLAB disponibiliza várias funções que trabalham com funções polinomiais e que podem ser utilizadas para representar funções polinomiais. Dentre elas, encontram-se as seguintes funções: collect expand factor simplify 5

6 collect Organiza os coeficientes Sintaxe collect( f ) mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x. Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve organizar se houver mais de uma variável simbólica possível. 6

7 collect(f) 1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial >> clear % Limpa a Janela de Comandos >> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica x >> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x) >> collect(y); % Organiza os coeficientes >> pretty(ans) % Exibe o resultado x 3 + 3x 2 + 3x + 1 7

8 Agora é com você!!! Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma polinomial. 8

9 collect( f, nome da variável simbólica) A função collect neste caso aceita um segundo argumento que especifica que variável simbólica deve ser utilizada para organizar o polinômio. 9

10 collect(f, nome da variável simbólica) 2) Escreva a função f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma polinomial. >> x = sym('x'); % Define a variável simbólica x >> z = sym( z ); % Define a variável simbólica z >> y = (x +1)^3 + z; % Define a função y = f(x,z) >> collect(y,x); % Organiza os coeficientes em x >> pretty(ans) % Exibe o resultado x x x z 10

11 Agora é com você!!! Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2 na forma polinomial, em termos de z. 11

12 expand realiza a distribuição de produtos para polinômios e aplica outras identidades que envolvem funções de somas, identidades trigonométricas, exponenciais e logaritmos. Sintaxe expand( f ) 12

13 expand(f) 3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial >> clear % Limpa a Janela de Comandos >> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica x >> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x) >> expand(y); % Realiza o produto polinomial >> pretty(ans) % Exibe o resultado x 3 + 3x 2 + 3x

14 expand X collect Além de representar funções polinomiais a função é bastante útil na manipulação de expressões simbólicas trigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outras funções. Esta é uma das características marcantes que diferenciam a função expand da collect. A função expand é bem mais robusta, porque trabalha com muitos tipos de funções, enquanto a função collect é restrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizer que a função expand é uma evolução da função collect, agregando-se novas funcionalidades. 14

15 expand 4) Obtenha a forma expandida da função trigonométrica cos(x + y). x = sym( x ); % Cria a variável simbólica x. y = sym( y ); % Cria a variável simbólica y. expand(cos(x+y)) % Realiza a operação ans = % Variável padrão do matlab cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) % Resultado 15

16 Agora é com você!!! Obtenha a forma expandida da função exponencial exp(x + y). 16

17 Factor Fatoração Sintaxe factor(x) Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio. Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressão simbólica. Ou um array simbólico contendo vários expressões simbólicas. No caso de utilizar um array, a função factor retorna um array com as expressões simbólicas correspondentes. 17

18 Uso da Função factor Calcular os fatores primos de um número inteiro. Obter a forma polinomial fatorada. Simplificar expressões simbólicas. 18

19 Factor(x) 5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50. >> factor(15) ans = 3 5 >> factor(50) ans =

20 Factor Observação: O maior valor inteiro que a função factor aceita é um numero inteiro de até 16 dígitos, se o número tiver uma quantidade de dígitos superior a 16. Devemos usar o sym para criar um elemento. 20

21 Factor(x) 5) Calcule os fatores do número >> factor(15) ans = 3 5 >> factor(50) ans =

22 Factor(x) 5) Calcule os fatores do número >> factor(sym(' ')) ans = (2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541) 22

23 6) Obtenha a forma fatorada da equação y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1 >> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x. >> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a função y = f(x) >> factor(y); % Fatoração >> pretty(ans) % Exibe o resultado (x + 1)^3 23

24 Agora é com você!!! Obtenha a forma fatorada da equação y = x^2 + 3*x

25 Simplify Simplificação simbólica. Sintaxe: R = simplify(s) A função simplify é uma ferramenta poderosa, que em geral aplica várias identidades algébricas que envolvem somas, potência inteira, raízes quadradas e potência fracionária, como também vários identidades que envolvem funções trigonométricas, exponencial e funções de Bessel, função gama, etc. 25

26 7) Simplifique a seguinte expressão: y = x x >> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x. >> y = (x^3 + 8)/(x^4-16); % Define a função y = f(x) >> z = factor(y) >> simplify(y); % Simplificação simbólica >> pretty(ans) % Exibe o resultado x^2-2x x^3-2x^2 + 4x

27 Agora é com você!!! Simplifique a seguinte expressão: y x 2 = x

28 8) Simplifique a seguinte expressão 2 y = cos ( x) + sin 2 ( x) >> x = sym( x ); % Cria a variável simbólica x. >> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a função y = f(x) >> simplify(y); % Simplificação simbólica >> pretty(ans) % Exibe o resultado 1 28

29 9) Simplifique a seguinte expressão: log( x* y) >> syms x y positive % Cria as variáveis simbólicas x e y, ambas positivas. >> simplify(log(x*y)); % Simplificação simbólica >> pretty(ans) % Exibe o resultado log(x) + log(y) 29

30 Simple Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica. Sintaxe: r = simple( S ) [r,how] = simple( S ) A função simple(s) tenta várias simplificações algébricas diferentes na expressão simbólica S, exibe a representação de menor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, o resultado indica a representação mais curta da matriz inteira que necessariamente não é a representação mais curta de cada elemento individual. 30

31 10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2) >> x = sym( x ); % Cria a variável simbólica x. >> simple((x+1)(x+2)) % Simplificação ans = x^2+3*x+2 31

32 Agora é com você!!! 2 2 Simplifique a expressão y = 2cos ( x) sin ( x) 32

33 pretty Esta função imprime uma expressão simbólica. Pretty(expressão simbólica). A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-se com matemática simbólica é que a exibição da expressão simbólica é a mais clara possível. Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use a função pretty, para tornar mais legível a expressão simbólica mostrada na tela. 33