Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

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1 Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior jc Aula 04 ATIVIDADE 01 Outro grande recurso do GeoGebra é o de resolver simbolicamente equações e sistemas de equações, sejam elas lineares ou não-lineares. O comando Resolver[...] permite calcular as soluções de equações e sistemas de equações. Por exemplo, o comando abaixo encontra as soluções da equação quadrática x 2 5x + 6 = 0. O GeoGebra também consegue resolver equações cujos coeficientes são parâmetros. O comando Resolver[...] calcula apenas raízes reais. necessário usar o comando ResolverNosComplexos[...]. Para obter as raízes complexas, é Você pode combinar o comando ValorNumérico[...] com o comando Resolver[...] para obter aproximações das soluções de uma equação: ValorNumérico[ResolverNosComplexos[x 5 = 1, x], 20] 1

2 Soluções de sistemas de equações também são calculadas com o comando Resolver[...]. x + y + z = 1 Por exemplo, para resolver o sistema x y + z = 3 2x y + 3z = 1, digitamos: (a) Use o GeoGebra para encontrar as três soluções da equação cúbica 42x 3 71x x + 3 = 0. (b) Todo mundo conhece a fórmula que encontra todas as raízes de uma equação quadrática em termos das operações aritméticas usuais e extração de radicais, mas poucos conhecem a fórmula de Cardano, que permite calcular todas as raízes de uma equação cúbica (sem ter que chutar uma raiz). Use o comando ResolverNosComplexos[a x 3 + b x 2 + c x + d = 0] do GeoGebra para ver a fórmula de Cardano (talvez seja necessário aumentar o tempo limite para cálculos simbólicos no GeoGebra). Para tanto, siga os passos: A fórmula pode ser longa e pode ter pouco uso prático para cálculos à mão, mas é fantástico que tal fórmula exista! Observação: menos conhecida ainda é a fórmula que permite calcular, em termos das operações aritméticas usuais e extração de radicais, todas as raízes de uma equação 2

3 Figura 1: Niels Henrik Abel ( ) quártica! E equações quínticas? Equações sextas? O matemático Niels Henrik Abel ( ) mostrou que não existe uma fórmula geral, em termos das operações aritméticas usuais e extração de radicais, para equações polinomiais de grau 5. ATIVIDADE ELETRÔNICA 08 Encontre um número positivo b tal que a equação quadrática x 2 + bx + 7 = 0 possua apenas raízes inteiras. Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-08: raízes inteiras como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os s enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. ATIVIDADE ELETRÔNICA 09 Encontre um número real a para o qual o sistema linear ax + 2y + 3z = 1 x y + 2z = 2 x + y + 3z = 1 possua apenas soluções inteiras. Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-09: sistema linear como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os s enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. 3

4 ATIVIDADE ELETRÔNICA 10 Resolva a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0 no GeoGebra. A resposta apresentada pelo programa está correta? Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-10: equações quadráticas como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os s enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. ATIVIDADE 02 Nesta atividade, aprenderemos como trabalhar com matrizes no GeoGebra. Vamos definir as matrizes A = 1 0 1, B = e C = Para somar, subtrair e multiplicar matrizes, basta usar os operadores +, - e (ou um espaço em branco). 4

5 Para calcular potências de matrizes, basta usar o operador. Por exemplo, o comando abaixo calcula a potência A 10 = A A A A A A A A A A da matriz A. Também é possível, no GeoGebra, multiplicar uma matriz por um escalar (número): Para calcular a transposta de uma matriz, basta usar o comando MatrizTransposta[...]. Os comandos Determinante[...] e MatrizInversa[...] calculam, respectivamente, o determinante e a inversa de uma matriz. 5

6 (a) Considere a matriz Calcule A 5, A 500 e A 587. A = ( ) É possível estabelecer uma fórmula geral? (b) Considere a matriz 1 2 a 1 A = a Para quais valores a, se é que existem, a matriz A possui inversa? ATIVIDADE 03 Nesta atividade, veremos como usar o GeoGebra para calcular derivadas e integrais (estudadas no curso de Cálculo). Para derivar uma função de uma variável, basta usar o comando Derivada[...] como ilustram os exemplos a seguir. 6

7 Derivadas de ordem superior podem ser calculadas usando-se uma variação da sintaxe do co- Por exemplo, para calcular a derivada de ordem 4 da função mando Derivada[...]. f(x) = xe (x2), basta digitar Derivada[x exp(x 2), x, 4]. Para calcular integrais, basta usar o comando Integral[...]. Aqui, c 1 e c 2 representam as constantes de integração. ATIVIDADE ELETRÔNICA 11 Encontre uma matriz A de dimensão 4 4 tal que A, A 2 e A 3 sejam matrizes não nulas, mas que A 4 seja a matriz nula. Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-11: matrizes como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os s enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. ATIVIDADE ELETRÔNICA 12 Considere a função f(x) = cos(x). Calcule as derivadas de ordem 5, 500 e 587 de f. É possível estabelecer uma fórmula geral? Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-12: derivadas como assunto (subject) deste . 7

8 Só serão aceitos os s enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. DESVENDANDO O GEOGEBRA PARTE 01 - INTERFACE DO PROGRAMA A seguir, iremos explorar alguns recursos e potencialidades do GeoGebra. Para tanto, vamos nos familiarizar com o ambiente do programa. Esta é a tela inicial do GeoGebra. São seis as áreas principais dessa disposição: 8

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10 Existem outras janelas, com recursos específicos, que estão escondidas. Já trabalhamos um pouco com a Janela CAS e em breve estudaremos as funcionalidades das demais. 10

11 PARTE 02 - DISPOSIÇÕES DAS JANELAS No GeoGebra é possível gerenciar as várias disposições das janelas de acordo com o que se quer estudar. Para tanto, ao iniciar o programa, basta escolher a opção mais interessante para o momento. Por exemplo, para o próximo tópico, escolha a disposição Geometria Básica. PARTE 03 - BARRA DE FERRAMENTAS Para saber o que uma ferramenta faz, basta deixar o apontador do mouse ( setinha ) sobre o ícone da ferramenta. Por exemplo, posicione o apontador na segunda janela (esq. para dir.) da barra de ferramentas e veja a informação da ferramenta correspondente. Para ativá-la, basta dar um clique com o botão esquerdo do mouse. É importante lembrar que várias ferramentas estão alojadas em uma mesma área. Se você clicar no pequeno triângulo vermelho, uma lista de ferramentas aparecerá, experimente! 11