DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

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1 ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

2 ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES A relação entre as matrizes e os sistemas lineares remonta ao século 00 a.c. esde então, a evolução do uso das matrizes e dos determinantes na resolução de sistemas deu significado relevante a essas fascinantes estruturas matemáticas.

3 I. Sistemas de equações lineares Equação linear: toda aquela do tipo na qual,,..., n são incógnitas; a, a,..., a n são coeficientes reais das incógnitas e b, também real, é o termo independente. Solução: conjunto ordenado de valores atribuídos às incógnitas que tornam a igualdade verdadeira. (,,..., n ) é solução da equação linear acima desde que a. + a a n. n = b. ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

4 I. Sistemas de equações lineares Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações lineares: em que a, a,..., a mn são os coeficientes reais das incógnitas,,..., n e b, b,..., b m são os termos independentes. ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

5 II. Solução de um sistema de equações lineares É toda ênupla ordenada que torna verdadeiras simultaneamente todas as equações que compõem o sistema. Em relação às soluções, um sistema pode ser classificado da seguinte forma: Possível e determinado (SP): solução única; Possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções; Impossível (SI): sem solução. ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

6 III. Resolução de sistemas Regra de Cramer: a partir de um sistema com três equações e três incógnitas, podemos obter algumas matrizes e determinantes: Matriz aumentada associada ao sistema: Matriz de coeficientes associada ao sistema: Conjunto solução: envolve o cálculo do determinante da matriz de coeficientes associada ao sistema, denotada por : ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

7 III. Resolução de sistemas : é o determinante da matriz de coeficientes associada, mas com a coluna dos coeficientes de trocada pela coluna dos termos independentes: O mesmo se faz para e z, os determinantes das matrizes de coeficientes associadas, trocando-se as colunas dos coeficientes de e z, respectivamente, pela coluna dos termos independentes: A regra de Cramer configura-se na obtenção da solução de um sistema a partir de: ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

8 IV. iscussão de um sistema linear se = 0, o sistema é possível e indeterminado; ou o sistema é impossível. se 0, o sistema é possível e determinado. ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

9 Eemplo: Solução: Utilizando Cramer, determine o seguinte sistema linear:

10 Eemplo : Solução: z z z Utilizando Cramer, determine o seguinte sistema linear:

11 {0,5,} S z z z

12 Resolva os oseguintes sistemas sistemas de equações de equações utilizando Regra utilizando de Cramer. qualquer um dos métodos de resolução vistos em sala de aula. + = 5 a) = Eercícios S = {(, )} = b) = 4 + = 0 c) = S = {(, 8)} S = {(, 8)}

13 Eercícios = 4 d) ቐ + z = + z = + 6z = e) ቐ 4z + = z = S = 4, 4, 5 S = 47, 0,

14 Eercício Qual é o valor da corrente e da tensão no resistor de 4 para o circuito mostrado abaio sendo as seguintes equações de malha. I I = ቐ I + 6I I = 4 I + 7I = 5 S = 0.9,.,.4 I = 0,9A, I =,A, I =,4A V4=4,94V

15 Resolva os oseguintes sistemas sistemas de equações de equações utilizando Regra utilizando de Cramer. qualquer um dos métodos de resolução vistos em sala de aula. + = 9 a) = 5 Eercícios Etraclasse + = 5 d) 4 7 = + = b) + 4 = + = 4 c) = + 5 = 7 e) = 8 = 4 f) + 7 =

16 Solução Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquer um dos métodos de a) S = 7; resolução vistos em sala de aula. b) S =, c) S = ; d) S = ; e) S = ; f) S = 4;

17 Eercícios-Etraclasse etermine os valores das correntes para o circuito mostrado abaio sendo as seguintes equações de malha. ቐ I + 4I = I + 4I = 6 S =,, I + I I = 0 I = A, I =A, I =A

18 Eercícios-Etraclasse Qual é o valor da corrente no resistor de 0 para o circuito mostrado abaio sendo as seguintes equações de malha. I I 8I = 5 ቐ I + 0I 5I = 0 8I 5I + I = 0 S =,6;,4;, I =,6A, I =,4A, I =,A

19 ETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES FIM A AULA