CAPÍTULO 2 DETERMINANTES

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1 CAPÍTUL 2 DETERMINANTES É possível associar a cada matriz quadrada um número real chamado determinante da matriz. valor desse número vai dizer se a matriz é invertível ou não. Na Seção 1, definiremos o determinante de uma matriz. Na Seção 2, estudaremos as propriedades do determinante e desenvolveremos um método de redução para calcular determinantes. Esse método é, em geral, o mais simples para calcular determinantes de matrizes n X n quando n > 3. Na Seção 3, vamos ver como usar determinantes para resolver sistemas lineares n X ne para calcular a inversa de uma matriz. Também apresentaremos na Seção 3 uma aplicação envolvendo criptografia. utras aplicações de determinantes serão feitas nos Caps. 3 e 6. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ É possível associar a cada matriz An X n um escalar, det(a), cujo valor vai nos dizer se a matriz é ou não invertível. Antes de dar a definição geral, vamos considerar alguns casos particulares. Caso 1. Matrizes 1 x 1 Se A = (a) é uma matriz 1 X 1, então A tem uma inversa multiplicativa se e somente se a se definirmos det(a) = a A será invertível se e somente se det(a).. Logo, Caso 2. Matrizes 2 x 2 Seja, pode- ai2) A = a2.1 a22 Pelo Teorema 1.4.3, A é invertível se e somente se é equivalente por linhas a L Então, se a mos testar se A é ou não equivalente por linhas a / efetuando as seguintes operações: 1. Multiplique a segunda linha de A por a ( ali au, aliam aiia22 2. Subtraia a, vezes a primeira linha da nova segunda linha

2 62 Álgebra Linear com Aplicações Como a ( ali alia22 anan, a matriz resultante é equivalente por linhas a / se e somente se (1) ana22 anau # Se a =, podemos trocar as duas linhas de A. A matriz resultante a21 a22 é equivalente por linhas a / se e somente se a,a,2*. Essa condição é equivalente a (1) quando a =. Logo, se A é qualquer matriz 2 x 2 e definirmos a -12 det(a) = ai la22 então A é invertível se e somente se det(a) *. auan Notação. É costume denotar o determinante de uma matriz particular colocando-se o arranjo de números entre retas verticais. Por exemplo, se então representa o determinante de A. A = 3 4 ) Caso 3. Matrizes 3 x 3 Podemos testar se uma matriz 3 X 3 é ou não invertível efetuando operações elementares para verificar se ela é ou não equivalente por linhas à matriz identidade L Para anular os elementos da primeira coluna de uma matriz arbitrária A 3 X 3, vamos supor, primeiro, que a *. Podemos, então, anular os elementos desejados subtraindo a2,ia vezes a primeira linha da segunda e subtraindo a3,ia vezes a primeira linha da terceira. (an au an a22 a31 a32 ai3 a23 a33 alla32 a31 12 aii A matriz à direita é equivalente por linhas a / se e somente se ai2 ana22 anau ai3 ana23 anan an ana33 amai3 an alia22 awai2 ana23 anai3 ana32 a3iai2 ana33 amai3 Clii Embora a álgebra seja um pouco trabalhosa, essa condição pode ser simplificada para (2) ana22a33 ana32a23 ai2a2ia33 + ai2a3ia23 anana32 ai3a3ia22 Logo, se definirmos an (3) det(a) = alla22a33 anana23 ai2a2ia33 + ai2a3ia23 + ai3ana32 ai3a3ia22

3 Determinantes 63 então, para o caso a, a matriz vai ser invertível se e somente se det(a). E se a =? Vamos considerar três possibilidades: (i) aii =, a21 (ii) ai, = a2, =, a3, (iii) = a21 =- a3, = No caso (i), não é difícil mostrar que A é equivalente por linhas a / se e somente se ai2a2ia33 + ai2a3ia23 + ai3a2ia32 ai3a3ia22 Mas essa condição é a mesma que (2) com a =. Deixamos a cargo do leitor os detalhes do caso (i) (ver Exercício 7). No caso (ii), temos que é equivalente por linhas a / se e somente se al2 ai3 A = a -22 a23 a32 a33 a3i(a12a23 a22a13) Novamente, esse é um caso particular de (2) com ai, = a21 =. É claro que no caso (iii) a matriz A não pode ser equivalente por linhas a /, logo é singular. Nesse caso, fazendo all, a2, e a, iguais a na fórmula (3), obtemos det(a) =. Em geral, portanto, a fórmula (2) nos dá uma condição necessária e suficiente para uma matriz 3 x 3 ser invertível (independentemente do valor de a ). Gostaríamos de definir o determinante de uma matriz n X n. Para ver como fazer isso, observe que o determinante de uma matriz 2 X 2 pode ser definido em termos das matrizes 1 x 1 A = ali a - 12 ) a21 a22 = (a22) e M12 = (a2i) A matriz Mi, é formada retirando-se a primeira linha e a primeira coluna de A e Mi2 é formada retirandose a primeira linha e a segunda coluna de A. determinante de A pode ser escrito na forma (4) det(a) = alia22 (212a21 = ai det(mil) (212 det( M12) Para uma matriz A 3 x 3, podemos colocar a equação (3) na forma det(a) = ail(a22a33 a32a23) al2(a2la33 a31a23) + ai3(a2ia32 ama22) Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por Mu a matriz 2 X 2 formada retirando-se a primeira linha e a j-ésima coluna de A. determinante de A pode ser, então, colocado na forma (5) det(a) = det(mii) ai2 det(m12) + ai3 det(m13) onde ( a22 Mll = a32 a23 ), a33 M12 = ( a21,, L431 a23 ), a33 ( 0/21 M13 = (431 Para ver como generalizar (4) e (5) para o caso n > 3, vamos dar a seguinte definição. Definição. Seja A = (ai.) uma matriz n X n. Seja Mu a matriz (n 1) X (n 1) obtida retirando-se a linha e coluna de A que contém au. determinante de Mu é chamado de determinante menor de au. Definimos o cofator Au de au por Ai; = ( 1 ri det(mii) a22 a32

4 64 Álgebra Linear com Aplicações Em vista dessa definição, podemos colocar a equação (4) para uma matriz 2 X 2 na forma (6) det(a) = aliali al2al2 (n = 2) A Equação (6) é chamada de expansão em cofatores do det(a) em relação à primeira linha de A. bserve que poderíamos também ter escrito (7) det(a) = a21( a12) + a22an = anan + a22 A22 A Equação (7) expressa det(a) em função dos elementos da segunda linha de A e de seus cofatores. Na verdade, não existe nenhuma razão especial para se expandir em relação a uma linha; o determinante poderia ser encontrado de maneira análoga expandindo-se em relação a uma coluna: det(a) = ana22 + a21( au) = allaii + ana21 (primeira coluna) det(a) = at2( a2i) a22(111 = ai2al2 a22 A22 (segunda coluna) Para uma matriz A 3 x 3, temos (8) det(a) = allan 712Al2 + anila Portanto, o determinante de uma matriz 3 X 3 pode ser definido em termos dos elementos da primeira linha da matriz e seus fatores correspondentes. EXEMPL 1. Se então ) A = ( det(a) = + ai2al2 + (43)113 = (- 1)2aii det(mi ) + ( 1 )3ai2 det(mi2) (-1)4a0 det(m13) = = 2(6 8) 5(18 10) + 4(12 5) = 16 Como no caso de matrizes 2 x 2, o determinante de uma matriz 3 X 3 pode ser representado por uma expansão em cofatores em relação a qualquer linha ou coluna. Por exemplo, a equação (3) pode ser colocada na forma det(a) = ai2a3ia23 al3a3ia22 ana32a23 + ai3a2ia32 + ana22a33 anana33 = a3i(ai2a23 ama22) a32(ana23 ai3a21) + a33(ana22 ai2a2i) = a31 A31 4- a32 A32 4- a33 A33 Essa é a expansão em cofatores em relação à terceira linha de A.

5 Determinantes 65 EXEMPL 2. Seja A a matriz do Exemplo 1. A expansã.o em cofatores do det(a) em relação à segunda coluna é dada por det(a) r = 5(18 10) -I- 1(12 20) -- 4(4 12) = 16 determinante de uma matiz 4 X 4 pode ser definido como uma expansão em cofatores ao longo de qualquer linha ou coluna. Para calcular o determinante de uma matriz 4 x 4, teríamos que calcular quatro determinantes 3 X 3. Definição. determinante de uma matriz A n X n, denotado por det(a), é um escalar associado à matriz A, definido indutivamente como se segue: onde det(a) = ali allaii 4- (42/ aina n = (-1)1+i det(mu) j = 1,... são os cofatores associados aos elementos na primeira linha de A. se n = 1 se n > 1 Como vimos, não é necessário nos limitarmos a expandir em cofatores em relação à primeira linha. Enunciamos o teorema a seguir sem demonstração. Teorema Se A é uma matriz n X n com n 2, então det(a) pode ser expresso como uma expansão em cofatores em relação a qualquer linha ou coluna de A. para i = 1, n e j = 1, n. det(a) = ail Aii + ai2ai2 + + ainain = ctuaij a2j A2 j + + anjanj A expansão em cofatores para um determinante 4 x 4 vai envolver quatro determinantes 3 X 3. Podemos simplificar nosso trabalho, muitas vezes, expandindo em relação à linha ou coluna que contém o maior número de zeros. Por exemplo, para calcular expandiríamos em relação à primeira coluna. s três primeiros termos são nulos e obtemos = 2.3 = A expansão em cofatores pode ser usada para se obterem alguns resultados importantes sobre determinantes. Esses resultados são dados nos teoremas a seguir. Teorema Se A é uma matriz n X n, então det(at) = det(a). Demonstração. A demonstração é por indução em n. É claro que o resultado é válido para n = 1, já que uma matriz 1 X 1 é necessariamente simétrica. Suponha que o resultado é válido para todas as matrizes k X ke que A é uma matriz (k + 1) X (k + 1). Expandindo det(a) em relação à primeira linha, obtemos

6 66 Álgebra Linear com Aplicações det(a) = ali det(mi ) ai2 det(m12) + ± al,k+1 det(mi,k+i) Como as matrizes Mu são todas k X k, pela hipótese de indução temos que (9) det(a) = ai det(miti ) ai2 det(mit2) + + al,k+, det(mit,k+i) A expressão do lado direito do sinal de igualdade em (9) é simplesmente a expansão em determinantes menores de det(at) em relação à primeira coluna de AT. Portanto, det(at) = det(a) E Teorema Se A é uma matriz triangular n X n, então o determinante de A é igual ao produto dos elementos na diagonal de A. Demonstração. Em vista do Teorema 2.1.2, basta provar o teorema para matrizes triangulares inferiores. resultado segue facilmente por indução em n, usando a expansão em cofatores. s detalhes são deixados a cargo do leitor (ver Exercício 8). E Teorema Seja A uma matriz n X n. (i) Se A tem uma linha ou coluna contendo apenas zeros, então det(a) =. (ii) Se A tem duas linhas ou duas colunas idênticas, então det(a) =. Esses dois resultados podem ser provados facilmente usando-se expansão em cofatores. As demonstrações ficam a cargo do leitor (ver Exercícios 9 e 10). Na próxima seção, vamos examinar o efeito das operações elementares sobre o determinante. Isso vai nos permitir usar o Teorema para obter um método mais eficiente de calcular o valor de um determinante. EXERCÍCIS 1. Seja ) A = (a) Encontre os valores de det(m21), det(m22) e det(m ). (b) Encontre os valores de A2i, A, e A,. (c) Use as respostas em (a) e (b) para calcular det(a). 2. Use determinantes para verificar, para cada uma das matrizes a seguir, se a matriz é ou não invertível. (a) ( 3 (b) Calcule cada um dos determinantes a seguir. 6 ) 4 (c) ( \ 4 ) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Diga o valor de cada determinante a seguir diretamente, analisando cada matriz.

7 Determinantes (a) ( c ) (b) (d) Calcule o determinante a seguir, escrevendo sua resposta como um polinômio em x. a x c 1 x 1 x 6. Encontre todos os valores de À, para os quais o determinante a seguir é igual a. I 2 A. 4 I Seja A uma matriz 3 X 3 com aii = e a2,. Mostre que A é equivalente por linhas a / se e somente se aua2ia33 + ai2a3ia23 + ai3a2ia32 ai3a3p Escreva os detalhes da demonstração do Teorema Prove que se uma linha ou coluna de uma matriz An X n tem todos os elementos iguais a zero, então det(a) =. 1. Use indução matemática para provar que se A é uma matriz (n + 1) X ( n + 1) com duas linhas idênticas, então det(a) = Sejam A e B matrizes 2 x 2. (a) det(a + B) = det(a) + det(b)? (b) det(ab) = det(a)det(b)? (c) det(ab) = det(ba)? Justifique suas respostas. 12. Sejam A e B duas matrizes 2 x 2 e sejam c.= aii ai 2 b21 b22 (bil bi2) D =, E - fi (121 a22 "0 ) (a) Mostre que det(a + B) = det(a) + det(b) + det(c) + det (D) (b) Mostre que, se B = EA, então det(a + B) = det(a) + det(b) Seja A uma matriz simétrica tridiagonal (isto é, A é simétrica e au = sempre que > 1). Seja B a matriz obtida retirando-se as duas primeiras linhas e colunas de A. Mostre que det(a) = ai det(mil) c42. det(b) PRPRIEDADES DE DETERMINANTES Vamos considerar, nesta seção, os efeitos das operações elementares sobre o determinante de uma matriz. Uma vez estabelecidos esses efeitos, vamos provar que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é nulo e vamos desenvolver um método para calcular determinantes através de operações elementares. Além disso, vamos obter um resultado importante sobre o determinante de um produto de matrizes. Vamos começar com o seguinte lema: Lema Seja A uma matriz n X n. Se Aik denota o cofator de ampara k = 1,..., n, então