Márcio Antônio de Andrade Bortoloti

Transcrição

1 Márcio Antônio de Andrade Bortoloti Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - DCET Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

2 Sumário 1

3 Definição Uma matriz quadrada de ordem n é definida positiva se x T Ax > 0 para todo x R n, x 0.

4 Definição Uma matriz quadrada de ordem n é definida positiva se x T Ax > 0 para todo x R n, x 0. A resolução de sistemas lineares em que a matriz A é simétrica, definida positiva, é frequente em problemas práticos e tais matrizes podem ser fatoradas na forma A = HH T, onde H é uma matriz triângular inferior com elementos da diagonal estritamente positivos.

5 Definição Uma matriz quadrada de ordem n é definida positiva se x T Ax > 0 para todo x R n, x 0. A resolução de sistemas lineares em que a matriz A é simétrica, definida positiva, é frequente em problemas práticos e tais matrizes podem ser fatoradas na forma A = HH T, onde H é uma matriz triângular inferior com elementos da diagonal estritamente positivos. Esta fatoração é conhecida como fatoração de de Cholesky.

6 Definição Uma matriz A(n n) é chamada bloco particionada ou particionada em submatrizes se A 11 A 12 A 1l A 21 A 22 A 2l A = A k1 A k2 A kl onde A ij são submatrizes de A.

7 Definição Uma matriz A(n n) é chamada bloco particionada ou particionada em submatrizes se A 11 A 12 A 1l A 21 A 22 A 2l A = A k1 A k2 A kl onde A ij são submatrizes de A. Um exemplo particular é A = [a 1 a 2 a n ] onde a i é um vetor coluna de A.

8 Outro exemplo, [ I B = O C ]

9 Outro exemplo, Propriedade [ A C det 0 B [ ] I B = O C ] = det(a) det(b).

10 Outro exemplo, Propriedade [ A C det 0 B [ ] I B = O C ] = det(a) det(b). Mais geralmente, Se M(2n 2n) é uma matriz da forma [ ] A B M = C D então det(m) = det(ad ACA 1 B). (A inversível.)exercício

11 Teorema Seja A R n n uma matriz simétrica definida positiva. Então existe uma única matriz triangular superior H com diagonal positiva tal que A = H T H. Esta fatoração é chamada e as entradas h ij de H T podem ser calculadas como segue: 1 h 11 = a 11, 2 e para i = 2,, n h ij = h ii = ( j 1 a ij h ik h jk )/h jj, j = 1,, i 1 k=1 ( i 1 a ii k=1 h 2 ik) 1/2.

12 Prova: Seja A i R i i uma submatriz de A da forma a 11 a 12 a 1i a 21 a 22 a 2i A i = a i1 a i2 a ii

13 Prova: Seja A i R i i uma submatriz de A da forma a 11 a 12 a 1i a 21 a 22 a 2i A i = a i1 a i2 a ii Nota-se que esta matriz é simétrica definida positiva (Exercício!);

14 Prova: Seja A i R i i uma submatriz de A da forma a 11 a 12 a 1i a 21 a 22 a 2i A i = a i1 a i2 a ii Nota-se que esta matriz é simétrica definida positiva (Exercício!); Vamos usar indução em i;

15 Prova: Seja A i R i i uma submatriz de A da forma a 11 a 12 a 1i a 21 a 22 a 2i A i = a i1 a i2 a ii Nota-se que esta matriz é simétrica definida positiva (Exercício!); Vamos usar indução em i; Se i = 1 o resultado é óbvio!

16 Suponha que o resultado seja válido para A i 1, ou seja, existe uma matriz triangular superior H i 1 tal que A i 1 = H T i 1H i 1.

17 Suponha que o resultado seja válido para A i 1, ou seja, existe uma matriz triangular superior H i 1 tal que A i 1 = H T i 1H i 1. Vamos considerar A i como uma matriz particionada da forma [ ] Ai 1 v A i = v T α com α R +, v T R i 1.

18 Suponha que o resultado seja válido para A i 1, ou seja, existe uma matriz triangular superior H i 1 tal que A i 1 = H T i 1H i 1. Vamos considerar A i como uma matriz particionada da forma [ ] Ai 1 v A i = v T α com α R +, v T R i 1. Estamos procurando uma fatoração de A i da forma [ ] [ ] A i = Hi T H T H i = i 1 0 Hi 1 h h T β 0 T β

19 Suponha que o resultado seja válido para A i 1, ou seja, existe uma matriz triangular superior H i 1 tal que A i 1 = H T i 1H i 1. Vamos considerar A i como uma matriz particionada da forma [ ] Ai 1 v A i = v T α com α R +, v T R i 1. Estamos procurando uma fatoração de A i da forma [ ] [ ] A i = Hi T H T H i = i 1 0 Hi 1 h h T β 0 T β

20 Para assegurar a igualdade em relação às entradas de A i temos que ter H T i 1h = v e h T h + β 2 = α.

21 Para assegurar a igualdade em relação às entradas de A i temos que ter H T i 1h = v e h T h + β 2 = α. Da primeira equação, o vetor h é unicamente determinado desde que Hi 1 T seja não-singular.

22 Para assegurar a igualdade em relação às entradas de A i temos que ter H T i 1h = v e h T h + β 2 = α. Da primeira equação, o vetor h é unicamente determinado desde que Hi 1 T seja não-singular. Por outro lado, 0 < det(a i )

23 Para assegurar a igualdade em relação às entradas de A i temos que ter H T i 1h = v e h T h + β 2 = α. Da primeira equação, o vetor h é unicamente determinado desde que Hi 1 T seja não-singular. Por outro lado, 0 < det(a i ) = det(h T i ) det(h i )

24 Para assegurar a igualdade em relação às entradas de A i temos que ter H T i 1h = v e h T h + β 2 = α. Da primeira equação, o vetor h é unicamente determinado desde que Hi 1 T seja não-singular. Por outro lado, 0 < det(a i ) = det(h T i ) det(h i )

25 Para assegurar a igualdade em relação às entradas de A i temos que ter H T i 1h = v e h T h + β 2 = α. Da primeira equação, o vetor h é unicamente determinado desde que Hi 1 T seja não-singular. Por outro lado, 0 < det(a i ) = det(h T i ) det(h i ) = β 2 (det(h i 1 )) 2 implica que α h T h > 0.

26 Para assegurar a igualdade em relação às entradas de A i temos que ter H T i 1h = v e h T h + β 2 = α. Da primeira equação, o vetor h é unicamente determinado desde que Hi 1 T seja não-singular. Por outro lado, 0 < det(a i ) = det(h T i ) det(h i ) = β 2 (det(h i 1 )) 2 implica que α h T h > 0. Logo β é um número real.

27 Para assegurar a igualdade em relação às entradas de A i temos que ter H T i 1h = v e h T h + β 2 = α. Da primeira equação, o vetor h é unicamente determinado desde que Hi 1 T seja não-singular. Por outro lado, 0 < det(a i ) = det(h T i ) det(h i ) = β 2 (det(h i 1 )) 2 implica que α h T h > 0. Logo β é um número real. Assim β = α h T h. O restante da prova fica como exercício.