4 Análise dimensional para determinação da frequência e fator de amplificação do pico máximo

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1 4 Análise dimensional para determinação da freqência e fator de amplificação do pico máimo A análise cidadosa das eqações qe regem o escoamento pode fornecer informações sobre os parâmetros importantes e eplicar o comportamento das crvas de resposta em freqência para sitações limite. Conforme eposto anteriormente, as eqações qe regem o escoamento são a eqação da continidade, eq. (1), a eqação da conservação da qantidade de movimento linear, eq. () e a eqação constittiva do flido Newtoniano, eq. (3). v ρ ( v v) T 0 () t v 0 (1) T [ v ( v ] T p I µ ) (3) evando-se em conta a geometria do problema, é possível reescrever as eqações em forma adimensional e assim definir qais são os parâmetros qe governam o problema. O componente da eqação da qantidade de movimento linear e a eqação da continadade podem ser escritas como: T T ρ v t v (104) onde T v p µ T µ (105) Sbstitindo os componentes do tensor das tensões e assmindo qe o componente da velocidade é das vezes deferenciável, v v, obtem-se:

2 111 p ρ v µ (106) t Da geometria e das condições de contorno do problema são retirados os fatores de escala para adimensionalizar o componente da eqação da conservação da qantidade de movimento linear. v v ω m t t (1/ ω) p p β (107) onde, ω, m foram definidos anteriormente como a velocidade do sbstrato, freqência e amplitde de oscilação da fresta, respectivamente., são dimensões características nas direções e respectivamente. A dúvida é como definir a escala apropriada para a variação da pressão, β. A análise de ordem de grandeza das parcelas da eqação da conservação da qantidade de movimento ajda na determinação do fator de escala apropriado para a pressão. A idéia embtida na análise de ordem de grandeza é qe ma eqação sempre representa ma eqivalência entre dois o mais termos de mesma ordem de grandeza. Em termos de ordem de grandeza, a eqação da qantidade de movimento linear no componente pode ser escrita como: σ β ρ (108) ρ ρω m µ µ ( 1/ ω) onde β é a escala apropriada para medida da variação de pressão, qe necessita ser definida. O primeiro termo à direita da igaldade incli estimativa da pressão capilar resltante da crvatra na sperfície livre, σ /. Para prossegir na determinação das parcelas dominantes, é necessário atribir valores nméricos para cada parcela.

3 11 Tomando como eemplo a geometria da fig. (68) e as condições de processo da tab. (14). Figra 68 Geometria base para análise dimensional Tabela 14 Parâmetros de processo para análise dimensional Ca µ σ ρ Re µ d Pvac (Pa) w (m/min) µ (cps) ρ (Kg/l) σ (dn/cm) 0, 0, por: Os fatores de escala geométricos em e para o caso base são definidos d X dcl 1, 00mm (109) d 0, 100mm (110) A freqência considerada é a de pico máimo, ω 50z. Sbstitindo os respectivos valores na eq. (108) acima e tilizando nidades compatíveis: ρ 880 (1/ ω) ρ 8333 ρω m 88 µ 084 µ (111)

4 113 Portanto, a parcela relativa ao gradiente de pressão tem de ser da mesma ordem de grandeza da parcela relativa à força viscosa, O(10 5 ), para qe haja m balanço entre os termos da eqação da qantidade de movimento. α σ ~ µ (11) α ~ µ σ (113) Sbstitindo valores, chega-se ao fator de escala para a pressão nas condições mencionadas: α 660 Pa (114) Este valor para a escala de variação da pressão está coerente com a variação de pressão encontrada na simlação nmérica do mesmo caso. Conforme mostrado na fig. (69), a amplitde de variação da pressão em m ciclo de oscilação da fresta de revestimento sob a fresta de alimentação, qe é região de maior variação de pressão, foi de 380 Pa. Portanto o so do fator de escala da eq. (113) é a escolha correta para adimensionalizar a variação de pressão qando a freqência de oscilação é próima à freqência critica.

5 114 Pressão sob a fresta de alimentação (50z) 00,00 150,00 100,00 50,00 Pressão, Pa 0,00-50,00-100,00-150,00-00,00-50,00-300,00 Figra 69 - Pressão sob a fresta de alimentação para a freqência de oscilação da fresta de revestimento em 50 z, amplitde de 0,010 mm, geometria da fig. (68) e parâmetros de processo da tab. (14) σ Para freqências mais baias, o fator de escala α ~ µ contina apropriado, conforme análise de ordem de grandeza das parcelas da eqação da conservação da qantidade de movimento para a freqência de 3 z. ρ 1886 ρ 8333 ρω m 189 µ 084 (1/ ω) µ (115) Na simlação nmérica, a variação de pressão drante m ciclo de oscilação da fresta de revestimento foi 85 Pa, conforme mostra a fig. (70).

6 115 Pressão sob a fresta de alimentação (3z) 00,00 150,00 100,00 50,00 Pressão, Pa 0,00-50,00-100,00-150,00-00,00-50,00-300,00 Figra 70 Pressão sob a fresta de alimentação para a freqência de oscilação da fresta de revestimento em 3 z, amplitde de 0,010 mm, geometria da fig. (68) e parâmetros de processo da tab. (14) Desta simples análise de ordem de grandeza das parcelas do componente da eqação da conservação da qantidade de movimento linear, determina-se o fator de escala correto para a pressão qando a fresta de revestimento oscila entre freqências baias até a freqência do pico máimo. Otra informação importante é qe, nas freqências acima mencionadas, o escoamento é determinado por m balanço entre as forças viscosas e de pressão. Agora, é conveniente determinar o fator de escala da variação da pressão para altas freqências. Da mesma forma como foi feita a análise de ordem de grandeza para as freqências de 3 z e 50 z, faz-se o mesmo procedimento para a freqência de 30 z. ρ 0100 ρ 8333 ρω m 0100 µ 084 (1/ ω) µ (116) Daí, nota-se qe a parcela da aceleração local (relacionada com as forças inerciais) passa a ser da mesma ordem de grandeza da parcela relativa às forças

7 116 viscosas. É fácil verificar qe, conforme a freqência de oscilação da fresta de revestimento amenta, mais importante são as forças inerciais. Portanto, no limite para altas freqências de oscilação, as forças de pressão devem balancear as forças inerciais. α σ ~ ρ ( 1/ ω) (117) α ~ ρ σ (118) (1/ ω) Sbstitindo-se valores nméricos chega-se ao fator de escala para a variação da pressão para a freqência de 30 z. α 541 Pa (119) Conforme simlação nmérica, a variação de pressão drante m ciclo de oscilação da fresta de revestimento foi 385 Pa, conforme mostra a fig. (71). Pressão sob a fresta de alimentação (30z) 00,00 150,00 100,00 50,00 Pressão, Pa 0,00-50,00-100,00-150,00-00,00-50,00-300,00 Figra 71 Pressão sob a fresta de alimentação para a freqência de oscilação da fresta de revestimento em 30 z, amplitde de 0,010 mm, geometria da fig. (70) e parâmetros de processo da tab. (14)

8 117 Assim, o fator de escala α ~ / ) 1/ /( σ ω ρ é apropriado para adimensionali-zar a variação de pressão para altas freqências de oscilação da fresta de revestimento. Com todos os fatores de escala definidos, a forma adimensional do componente da eqação da conservação da qantidade de movimento para freqências baias até a freqência do pico máimo pode ser desenvolvida da seginte forma: p v t µ ρ (10) As variáveis adimensionais e sas derivadas são definidas como: m v v ω ) (1/ ω t t p p µ σ (11) ) 1/ ( t t ω p p σ µ (1) Sbstitindo-se as variáveis adimensionais na eqação do componente da eqação de conservação da qantidade de movimento e agrpando os coeficientes de maneira conveniente, chega-se a: ( ) ( ) ( ) 1 1/ / 1/ p Ca v t m ω υ υ ω υ 1 (13)

9 118 onde µ υ é a viscosidade cinemática ρ µ Ca é o número de capilaridade σ σ é a tensão sperficial do líqido. Portanto, os 5 parâmetros adimensionais qe regem o problema para freqências de oscilação baias até a freqência do pico máimo são: Λ υ ( 1/ ω) Γ υ ( / ) m Ca (14) Conforme eposto por Romero & Carvalho (008), Λ é a relação entre o tempo característico de difsão de forças viscosas na espessra da fresta de revestimento, ( / υ ) parâmetro, pelo tempo característico do processo, ( /ω) 1. Pela observação da eqação adimensional, concli-se qe qando o Λ tende a zero, o campo de velocidade tende a ficar independente do tempo. A vazão em qalqer seção, e por conseqência a espessra, tendem a m valor constante, fazendo o fator de amplificação tender a zero. Esta conclsão é observável em todas as simlações apresentadas na seção 3.3 qando a freqência de oscilação da fresta de revestimento tende a zero. O parâmetro Γ é a relação entre o tempo característico de difsão de forças viscosas na espessra da fresta de revestimento, ( / υ ), pelo tempo em qe ma faia transversal do sbstrato sofre cisalhamento ao passar pela fresta de revestimento, ( / ). O parâmetro ( m / ) representa a amplitde de oscilação em relação à fresta de revestimento e ( / ) é o parâmetro geométrico característico do problema. A adimensionalização da eqação da continidade e do componente da eqação da conservação da qantidade de movimento linear não dá maiores informações sobre o problema.

10 119 Para altas freqências de oscilação da fresta de revestimento, a adimensionalização do componente da eqação da conservação da qantidade de movimento fornece a seginte epressão: ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ / 1/ p Ca v t m ω υ ω υ υ ω υ (15) Portanto, os mesmos parâmetros definidos anteriormente vão reger o problema a altas freqências. 4.1 Relação entre os parâmetros adimensionais Com a determinação dos parâmetros adimensionais importantes para a solção do problema é possível, após o levantamento de dados eperimentais o de simlação nmérica, estabelecer relações entre os mesmos Relação entre os parâmetros adimensionais na freqência de pico máimo A tab. (15) apresenta os resltados das simlações nmérica referente à freqência do pico máimo e o valor do fator de amplificação correspondente para várias geometrias, parâmetros de processo e propriedades do líqido revestido. O objetivo da análise é criar m modelo para previsão da freqência do pico máimo. Para isto é necessário estabelecer ma correlação entre os parâmetros geométricos, de processo e propriedades do líqido revestido na freqência do pico máimo, o qe pode ser obtido tilizando-se os parâmetros adimensionais qe governam o problema.

11 10 Tabela 15 Diferentes simlações nméricas com o valor da freqência do pico máimo e o fator de amplificação correspondente Geometria Ca Xdcl (mm) d (mm) d (mm) m (mm) µ/ρ (m²/s) ω pico (z) F.A. (pico) Slott1 0,60 0,38 0,066 0,066 0,600 0,003 0, ,465 Slott1 0,67 0,31 0,070 0,070 0,600 0,005 0, ,4690 Slott1 0,80 0,8 0,07 0,07 0,600 0,001 0, ,4665 Slott1 0,67 0,08 0,130 0,130 0,600 0,008 0, ,6747 Slott1 0,80 0,60 0,100 0,100 0,600 0,010 0, ,8175 Slott1 1,60 0,60 0,100 0,100 0,600 0,010 0, ,8165 Slott1 0,0 1,00 0,100 0,100 0,600 0,010 0, ,8434 Slott1 0,40 0,47 0,06 0,06 0,600 0,001 0, ,4705 Slott1 0,40 0,60 0,100 0,100 0,600 0,010 0, ,7783 Slott1 1,07 0,14 0,140 0,140 0,600 0,00 0, ,736 Slott1 1,07 0,1 0,076 0,076 0,600 0,003 0, ,4637 Slott1D1 0,0 0,0 0,100 0,100 0,300 0,010 0, ,7404 Slott1D1 1,07 0,50 0,140 0,140 0,300 0,00 0, ,953 Slott1D3 0,0 0,60 0,100 0,100 1,00 0,010 0, ,5996 Slott1WG 0,05 0,60 0,10 0,10 0,600 0,010 0, ,5948 Slott1WWG 0,05 0,60 0,00 0,00 0,600 0,010 0, ,4904 Slott1WWG 0,0 0,60 0,00 0,00 0,600 0,010 0, ,7040 Slott 0,93 0,45 0,190 0,140 0,600 0,008 0, ,739 Slott 0,60 0,89 0,118 0,068 0,600 0,003 0, ,185 Slott 0,93 0,59 0,14 0,074 0,600 0,001 0, ,580 Slott 0,40 1,18 0,114 0,064 0,600 0,001 0, ,1900 Slott 1,0 0,6 0,00 0,150 0,600 0,00 0, ,6917 Slott 1,0 0,43 0,18 0,078 0,600 0,003 0, ,80 SlottD1 0,93 0,30 0,190 0,140 0,300 0,00 0, ,8138 SlottD1 0,05 0,60 0,150 0,100 0,300 0,010 0, ,5906 SlottD1 0,05 0,0 0,150 0,100 0,300 0,010 0, ,4680 SlottD1 1,0 0,18 0,00 0,150 0,300 0,008 0, ,7843 SlottU 1,33 0,3 0,110 0,160 0,600 0,00 0, ,7305 SlottU 1,33 0,03 0,030 0,080 0,600 0,005 0, ,7717 Para cálclo dos adimensionais Λ, m / e ( ) Γ, ( ) / é necessário definir o comprimento característico na direção () e na direção (). Algmas possibilidades estão na tab. (16). Tabela 16 Opções para os comprimentos característicos e d dxdcl d (d)/ Ma{d, } Min {d, }

12 11 Uma forma de definir os comprimentos característicos apropriados é testar cada opção e verificar em qal destas o ajste do método dos mínimos qadrados aos dados eistentes apresenta o melhor desempenho. Como o parâmetro Λ é o único qe relaciona a freqência de oscilação, ele é o parâmetro dependente e a relação procrada é da forma: Λ a b m ( Γ ) ( Ca) c d e (16) Aplicando o logaritmo natral nos dois lados da igaldade acima, chega-se aos coeficientes qe devem ser ajstados pelo método dos mínimos qadrados. ln Λ ln a bln m ( Γ ) c ln d ln( Ca) e ln (17) Assmindo inicialmente: d d (18) Os parâmetros adimensionais do problema calclados segndo as dimensões características, eq. (18), referente a cada m dos casos da tab. (15), encontram-se na tab. (17). Tabela 17 Parâmetros do pro blema calclados com as dimensões características d e d Geometria Ca Xdcl ω pico (z) F.A. (pico) A² Γ² m/ / Slott1 0,60 0, ,465 0,0076 0,0040 0,045 0,110 Slott1 0,67 0, ,4690 0,0077 0,0041 0,071 0,117 Slott1 0,80 0,8 50 1,4665 0,0068 0,0036 0,014 0,10 Slott1 0,67 0, ,6747 0,065 0,0141 0,06 0,17 Slott1 0,0 1, ,8434 0,0419 0,078 0,100 0,167 Slott1 0,40 0, ,4705 0,0101 0,0053 0,016 0,103 Slott1 1,07 0, ,736 0,0154 0,010 0,143 0,33 Slott1 1,07 0,1 50 1,4637 0,0057 0,0030 0,039 0,17 Slott1D1 0,0 0,0 40 1,7404 0,0419 0,0556 0,100 0,333

13 1 Slott1D1 1,07 0, ,953 0,0115 0,004 0,143 0,467 Slott1D3 0,0 0, ,5996 0,054 0,0139 0,100 0,083 Slott1WG 0,05 0, ,5948 0,0603 0,0400 0,083 0,00 Slott1WWG 0,05 0, ,4904 0,1676 0,1111 0,050 0,333 Slott1WWG 0,0 0, ,7040 0,1676 0,1111 0,050 0,333 Slott 0,93 0, ,739 0,00 0,0117 0,057 0,33 Slott 0,60 0, ,185 0,0097 0,0043 0,044 0,113 Slott 0,93 0, ,580 0,0074 0,0033 0,014 0,13 Slott 0,40 1, ,1900 0,019 0,0057 0,016 0,107 Slott 1,0 0,6 40 1,6917 0,0157 0,0104 0,133 0,50 Slott 1,0 0, ,80 0,0053 0,008 0,038 0,130 SlottD1 0,93 0, ,8138 0,0176 0,033 0,143 0,467 SlottD1 0,05 0, ,5906 0,0419 0,0556 0,100 0,333 SlottD1 0,05 0,0 40 1,4680 0,0419 0,0556 0,100 0,333 SlottD1 1,0 0, ,7843 0,0118 0,008 0,053 0,500 SlottU 1,33 0,3 40 1,7305 0,0161 0,0107 0,15 0,67 SlottU 1,33 0, ,7717 0,0050 0,007 0,063 0,133 (19). A aplicação do método dos mínimos qadrados sobre os dados fornece a eq. Λ 0,5 0,001 0,83 0,0335 m (19) 1,06 ( Γ ) ( Ca) A eq. (19) é válida para a seginte faia de valores dos parâmetros. 0,005 Λ 0,40 0,007 Γ 0, 0,00009 Λ m 0,04 1, 1 14,4 Ca 0,083 0,50 (130) O resmo da análise estatística é apresentado na tab. (18). O valor-p é ma medida da importância do parâmetro na relação com o valor do parâmetro para a determinação da freqência do pico máimo. alores P menores qe 0,050 indicam forte relação entre as variáveis. Λ

14 13 O indicador R² está relacionado à grandeza dos resídos em relação ao modelo linear do método dos mínimos qadrados. alores de R² mais próimos de 1 indicam regressões com menores resídos. Tanto os valores P como R² foram obtidos com o so do software estatístico Minitab. Tabela 18 Resmo da análise estatística para d e d Parâmetro alor P R² Γ 0,000 ( m / ) 0,988 0,969 Ca 0,474 ( / ) 0,000 O resmo da qalidade do ajste para diferentes dimensões características é apresentado na tab. (19). Pelos resltados acima, os fatores de escala para e qe melhoram a qalidade do ajste do modelo aos dados são: d X dcl { } Min d, o d (131) Tabela 19 Resmo da qalidade do ajste para todas as dimensões características testadas Dimensões características R² d d 0,969 d X dcl 0,971 d d X dcl ( )/ d 0,966 d X dcl Ma{ d, } 0,949 d X dcl Min{ d, } 0,971 d X dcl 0,966

15 14 Por ma qestão de escolha, o fator de escala Min{, } d foi adotado para. Neste caso, a epressão mais adeqada para predição da freqência crítica de oscilação da fresta de revestimento é: Λ 0,61 0,148 0,775 0,034 m (13) 1,14 ( Γ ) ( Ca) Λ υ ( 1/ ω) Γ υ ( / ) Com a faia de validade da epressão acima dentro dos segintes limites: 0,0007 Λ 0,4 0,0004 Γ 0,11 0,00009 Λ m 0,04 1,08 1 9,0 Ca 0,036 0,31 (133) A análise estatística com os valores-p e R² estão mostrados na tab. (0). O valor-p de 0,643 para o parâmetro Ca indica qe sa relação com a freqência do pico máimo não é estatisticamente significativa. Por otro lado, os parâmetros Γ e ( ) / estão fortemente relacionados à freqência do pico máimo.

16 15 Tabela 0 Resmo da análise estatística para d X dcl e Min{ d, } Parâmetro alor P R² Γ 0,000 ( m / ) 0,049 0,971 Ca 0,643 ( / ) 0, Relação entre os parâmetros adimensionais e o fator de amplificação no pico máimo Da mesma forma qe foi determinada ma epressão para prever a freqência do pico máimo da oscilação da fresta de revestimento, pode-se tilizar a metodologia e dados para a previsão do fator de amplificação nesta freqência. Inicia-se com a determinação dos fatores de escala apropriados para e. O resmo da qalidade do ajste para todas as sitações apresentadas está mostrado na tab. (1): Tabela 1 Resmo da qalidade do ajste para todas as dimensões características testadas Dimensões Características R² d 0,771 d X dcl 0,77 d d X dcl ( )/ d 0,745 d X dcl Ma{ d, } 0,546 d X dcl Min{ d, } 0,735 d X dcl 0,771

17 16 Pelos resltados acima, os fatores de escala para e qe melhoram a qalidade do ajste do modelo aos dados são: d o d X dcl (134) d. Por ma qestão de escolha, o fator de escala para foi definido como Neste caso, a epressão mais adeqada para predição do fator de amplificação na freqência crítica de oscilação da fresta de revestimento é: h m m,38 0,103 0,11 0,146 m ( Λ ) ( Γ ) ( Ca) 0,0377 0,0643 (135) Com a faia de validade da epressão acima dentro dos segintes limites: 0,0007 Λ 0,4 0,0004 Γ 0,11 0,00009 Λ m 0,04 1, ,0 Ca 0,048 0,4 (136) A tab. () apresenta os valores-p e R². Neste caso, o parâmetro ( / ) não se mostro estatisticamente significativo para a determinação do fator de amplificação no pico máimo.

18 17 Tabela Resmo da análise estatística para d e Parâmetro alor P R² Λ 0,055 Γ 0,09 ( m / ) 0,000 Ca 0,016 ( / ) 0,191 0,771