CÁLCULO I. 1 Teorema do Confronto. Objetivos da Aula

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Ala n o 07: Teorema do Confronto. Limite Fndamental Trigonométrico. Teorema do Valor Intermediário. Objetivos da Ala Eibir o Teorema do Confronto e sa tilidade para vericar a eistência de ma ite; Ennciar o Teorema do Valor Intermediário e sas aplicações; Apresentar o Limite Fndamental Trigonométrico. Teorema do Confronto Teorema (do Confronto o do Sandíche). Se f() g() h() para todo em m intervalo aberto qe contenha p (eceto possivelmente p) e f() = h() = L, p p então g() = L. p A mensagem do Teorema do Confronto é qe, se ma fnção qe está no meio de otras das fnções qe tem o mesmo ite, então obrigatoriamente a fnção qe está no meio terá o mesmo ite das otras das, daí este teorema é também chamado de Teorema do Sandíche. Eemplo. Seja f ma fnção denida em R tal qe para todo, temos: Calcle f() e jstiqe. + 3 f(). Como: ( + 3) = = temos, pelo Teorema do Confronto, qe: Eemplo. Mostre qe. sen = 0. f() =.

2 Como Mltiplicando por a desigaldade, temos: sen. sen Como 0 = 0 = 0, pelo Teorema do Confronto, temos: Gracamente, note qe a fnção f() =. sen e itada inferiormente pela fnção h() =.. sen = 0. é itada speriormente pela fnção g() = Eemplo 3. Sponha f : R R ma fnção real e sponha qe, para todo, f(). (a) Calcle, caso eista, 0 f(). (b) f é contína em 0? Por qê? (a) Pelas propriedades de módlo, temos: f() f(). Como 0 = 0 = 0, sege pelo Teorema do Confronto qe f() = 0. 0 (b) Pela hipótese, f() para todo, logo, f(0) 0 e, portanto, f(0) = 0. Assim, tilizando o resltado de (a), temos qe f() = 0 = f(0), 0 o seja, f é contína em 0. O próimo eemplo nos diz qe, se f tiver ite 0 em p e se g for itada, então o prodto f g terá ite 0 em p. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho

3 Eemplo 4. Sejam f e g das fnções com o mesmo domínio A tais qe p f() = 0 e g() M para todo em A, em qe M > 0 é m número real o. Prove qe: Note qe: para todo em A. Daí, para todo em A f()g() = 0. p f()g() = f(). g() M. f(), M. f() f().g() M. f() Como f() = 0, sege qe (M. f() ) = 0 e ( M. f() ) = 0. Portanto, pelo Teorema p p p do Confronto, temos qe f()g() = 0. p ( π ) Eemplo 5. Calcle. sen. ( π ) Note qe = 0 e sen (a fnção seno é itada!). Pelo resltado obtido no Eemplo 4, temos portanto qe ( π ). sen = 0. Gracamente, temos: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 3

4 Limite Trigonométrico Fndamental Usando as interpretações geométricas das fnções seno, cosseno e tangente no círclo trigonométrico (de raio ) e o Teorema do Confronto, podemos realizar ma demonstração herística (sem todo o necessário formalismo e rigor das demonstrações, propriamente ditas) do importante ite, conhecido como Limite Trigonométrico Fndamental: sen =. Considere m arco, 0 < < π, na gra abaio: Figra : Círclo trigonométrico A argmentação se baseia na comparação das áreas de três regiões: o triânglo ABC, o setor circlar AB'C e o triânglo AB'C'. Observe qe Area(ABC) Area(AB C) Area(AB C ). Utilizando as epressões das áreas Area(ABC) = sen() cos() reescrevemos as ineqações acima na forma qe por sa vez eqivale a o ainda Area(AB C) = Area(AB C ) = tg() sen() cos() cos() cos() sen(), tg() sen() cos(),, cos(). () Observe nalmente qe as três fnções qe aparecem nas desigaldades () são todas pares e portanto as mesmas desigaldades são válidas para, π < < 0. Desta feita, as ineqações () são válidas para todo ( π, 0) (0, π ). Estamos então em condições de tilizar o Teorema do Confronto: como, da continidade da fnção cosseno, temos qe cos() = e 0 cos() =, Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 4

5 conclímos do Teorema do Confronto qe sen =. Após introdzirmos o conceito de derivada, veremos ma demonstração deste resltado mais direta, porém menos intitiva, tilizando a Regra do L'Hospital. sen(5) Eemplo 6. Calcle. Note qe: sen(5) = 5. sen(5) 0 }{{} 5 O seja: cos Eemplo 7. Calcle. Note qe: Assim: sen pois = cos ( sen = cos sen(5) = 5. sen = 5 = cos = sen cos sen = + cos =, + cos. ) = = e 0 + cos =. sen(6) Eemplo 8. Calcle. 0 5 Seja = 6. Qando 0, temos 0 e, como Passando o ite, temos: sen(6) 5 = sen(6).6. = sen(6) = sen. sen(6) 6 = sen = 6 5. tg Eemplo 9. Calcle. Note qe: Sege qe: Eemplo 0. Calcle π sen π. tg = sen cos = cos.sen tg = 0 cos.sen = 0 cos. sen = Fazendo = π, temos: sen π = sen( + π) Qando, π, temos qe 0. Portanto: π = sen cos π + cos sen π sen π = 0 sen =. = sen. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 5

6 3 Teorema do Valor Intermediário Apresentaremos a segir, ma propriedade importante das fnções contínas. Teorema (do Valor Intermediário). Sponha qe f seja contína em m intervalo fechado [a, b] e seja N m número qalqer entre f(a) e f(b), em qe f(a) f(b). Então eiste m número c em (a, b) tal qe f(c) = N. O Teoreoma do Valor Intermediário (TVI) estabelece qe ma fnção contína, denida em m intervalo [a, b], assme todos os valores intermediários entre os valores de f(a) e f(b). Geometricamente, o TVI diz qe se for dada ma reta horizontal qalqer y = N entre y = f(a) e y = f(b), como mostra a gra abaio, então o gráco de f intercepta a reta y = N pelo menos ma vez. Figra : Ilstração geométrica do Teorema do Valor Intermediário Uma das conseqências importantes do TVI é qe a imagem de m intervalo por ma fnção contína será sempre m intervalo. Este teorema tem importante generalização em espaços mais gerais qe R, chamados espaços topológicos, onde o ennciado toma a seginte forma: A imagem de conjntos coneos por fnções contínas é também m conjnto coneo (no nosso caso, do conjnto dos números reais, R, os conjntos coneos são eatamente os intervalos!). Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário se dá na qestão da localização das raízes de eqações. A segir, apresentaremos algns eemplos. Eemplo. Mostre qe eiste ma raiz da eqação = 0 entre e. Seja f() = Qeremos encontrar m c entre e, tal qe f(c) = 0. Tomando a = e b = e N = 0, temos: f() = < 0 f() = > 0. Logo, f() < 0 < f(), isto é, N = 0 é m número entre f() e f(). Como f é contína, por ser m polinômio, o TVI arma qe eiste m número c entre e tal qe f(c) = 0. Em otras palavras, a eqação = 0 tem pelo menos ma raiz c no intervalo (, ). Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 6

7 Gracamente, temos: Este eemplo qe acabamos de apresentar sgere m caso particlar do Teorema do Valor Intermediário, conhecido por Teorema de Bolzano (o do Anlamento): Teorema 3 (de Bolzano o do Anlamento). Se f for contína e f(a) e f(b) assmirem sinais contrários, então eistirá c (a, b) tal qe f(c) = 0. Eemplo. Mostre qe a eqação = 0 admite pelo menos ma solção real. Considerando a fnção f() = , temos f(0) = 8, f( 3) = 7 e f é contína, sege do Teorema do Anlamento qe eiste pelo menos m c em ( 3, 0) tal qe f(c) = 0, isto é, a eqação = 0 admite pelo menos ma raiz real entre -3 e 0. Resmo Faça m resmo dos principais resltados vistos nesta ala. Aprofndando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta ala nas seções.3,.5 e 3.3 do livro teto. Sgestão de eercícios Resolva os eercícios das seções.3,.5 do livro teto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 7