3- Equação Diferencial Ordinária de 1 a Ordem Homogênea

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1 - Eqação Diferencial Ordinária de a Ordem Homogênea Definição de Fnção Homogênea: Se ma fnção f(, y) satisfaz a condição f(t, ty) n f(, y) para algm número real n, então dizemos qe f é ma fnção homogênea de gra n. Eemplos: Determine o gra de homogeneidade das fnções dadas a) f(, y) = y y 2 f(t, t y) = (t ) (t y) (t y) 2 = t 2 y t 2 y 2 2 ( y y 2 ) 2 f(, y) A fnção é Homogênea de gra 2 b) f(, y) = 2 + y 2 f(t, t y) = (t) 2 + (ty) 2 = t 2 ( 2 + y 2 ) A fnção é Homogênea de gra 2/ = t y 2 2 f(, y) c) f(, y, z) = z 2 + z y f(t, ty, tz) = (t z) 2 (t ) + (t ) (t z) (t y) f(, y, z) A fnção é homogênea de gra z 2 + t4 z t y ( z 2 + z y ) Mitas vezes ma fnção homogênea pode ser reconhecida eaminando o gra de cada termo. a) f(, y) = 6 y 2 y 2 homogênea gra 4 b) f(, y) = y + 2 y não é homogênea 0

2 Gra de Homogeneidade das Derivadas Parciais: Se f(, y) é ma fnção homogênea, então, sas derivadas parciais são fnções homogêneas de gra n, isto é Demonstração: n e ty n Pela definição de fnção homogênea tem-se f(t, ty) n f(, y) Derivando ambos os lados da eqação em relação a e considerando t e ty como variáveis dependentes, respectivamente, de e t e de y e t tem-se pela regra da cadeia = (tn f(, y)) (t) n n t n t n Para a derivada parcial em relação a y a demonstração é semelhante. Eemplo: Utilizando as derivadas parciais, determine o gra de homogeneidade da fnção. f(, y) = y y 2 = y e = 2 y f(, y) = (t)(ty) (ty) 2 ty = (ty) ( y) = (t) 2 (ty) ( 2y) As derivadas parciais são fnções homogêneas de gra portanto, a fnção é homogênea de gra 2

3 Teorema de Eler de fnções homogêneas Uma fnção f(, y) é homogênea de gra n se, e somente se, Demonstração + y = n f(, y) Pela definição de fnção homogênea tem-se f(t, ty) n f(, y) Derivando ambos os lados da eqação em relação a t e considerando t e ty como variáveis dependentes, respectivamente, de e t e de y e t tem-se pela regra da cadeia = t t (tn f(, y)) (t) (ty) + t ty t = n t n f(, y) + y ty = n t n f(, y) Mas n e ty n Então (t n n ) + y (t ) = n t n f(, y) t n ( + y ) = n t n f(, y) + y = n f(, y) Eemplo Utilizando o teorema de Eler, determine o gra de homogeneidade da fnção. f(, y) = y 2 + = y e = 2 y (y ) + y (2y) = y y 2 = y 2 + = (y 2 + ) = f(, y) A fnção é homogênea de gra. 2

4 Definição de Eqação Diferencial Homogênea de Primeira ordem: Uma eqação diferencial de primeira ordem escrita nas formas M(, y)d + N(, y)dy = 0 o dy M(, y) = d N(, y) é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são fnções homogêneas do mesmo gra, isto é, M(,y) é homogênea de gra zero. N(,y) Método de Solção Uma eqação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de ma sbstitição algébrica. y = o = v y desde qe e v sejam as novas variáveis independentes. Fazendo a sbstitição y = e, conseqentemente, dy = d + d a eqação homogênea M(, y)d + N(, y)dy = 0 se transforma em ma eqação de variáveis separáveis. Eemplos: ) Resolva a eqação diferencial y = 2 + y 2 2 y com y() = 2 Verificar se a eqação diferencial é homogênea f(, y) = 2 + y 2 2 y ; f(t, t y) = (t)2 + (ty) 2 2 (t)(t y) 2 ( 2 + y 2 ) t 2 ( 2y) 0 f(, y) Portanto, a EDO é homogênea Solção Geral y = 2 + y 2 2 y dy d = 2 + y 2 2 y 2 y dy = ( 2 + y 2 ) d Fazendo as sbstitições: y = e dy = d + d 2 ( ) [ d + d] = ( 2 + ( ) 2 ) d 2 2 ( d) ( d) = 2 d d d + 2 d = 2 d d 2 d = 2 d d d 2 d = 2 d d = ( + 2 ) 2 d

5 + 2 d = 2 2 d + 2 d = 2 d (A) Resolvendo a integral do lado esqerdo a eqação (A) t = + 2 e dt = 2 d + 2 d = t. 2 dt = 2 ln t = 2 ln + 2 Sbstitindo em (A) 2 ln + 2 = 2 ln + C ln + 2 = ln + C 2 (C 2 = 2. C ) e ln +2 = e ln. e C =. C (C = e C 2) + 2 =. C (c = ±C ) 2 = C y2 2 = C y 2 = C 2 y = ± C 2 Solção Particlar- condição inicial y() = 2 y() = C 2 y() = C 2 = 2 C = 4 C = 5 y p () = 5 2 Gráfico da família de fnções da solção geral destacando a solção particlar 4

6 2) Resolva a eqação diferencial (y y ) d 2 dy = 0 com y() = Verificar se a eqação diferencial é homogênea dy d = y2 + 2 y 2 = f(, y) ; f(t, t y) = (ty)2 + 2 (t) (ty) (t) 2 2 (y y) t f(, y) é homogênea Solção Geral Como a eqação diferencial é homogênea devemos fazer as sbstitições: y = e dy = d + d (y y ) d 2 dy = 0 ( ) 2 d + 2 ( )d = 2 ( d + d) 2 d + d = 2 2 d d d = 2 2 d d 2 d d = ( 2 + ) 2 d d ( 2 + ) = 2 d ( 2 + ) d = d ( 2 + ) d = ln + C (A) Resolvendo a integral do lado esqerdo a eqação (A) ( + ) d = (A + B + ) d A + B + = A( + ) + B ( + ) = (A + B) + A ( + ) = ( + ) então A + B = 0 e A = B = ( + ) d = ( + ) d Sbstitindo em (A) ( + ) d = d ln ln + = ln + C ln + = ln + C 5

7 e ln + = e ln. C 2 ( C 2 = e C ) + =. C (C = ±C 2 ) y y + = C y. (y + ) = C y = (y + ) C C y = (y + ) (C = C ) C y y = 2 y (C ) = 2 y = 2 C Solção Particlar- condição inicial y() = y = y p = 2 C 2 2 y p = 2 = C = C = 2 C Gráficos da família de fnções da solção geral destacando a solção particlar 6

8 Lista ) Verifiqe se as fnções dadas abaio são homogêneas e, em caso afirmativo, determine o gra de homogeneidade. Utilize a definição de fnção homogênea e o Teorema de Eler: a) f(, y) = 2 + y 2 + y Resp: homogênea gra 2 b) f(, y) = y y 2 Resp: homogênea gra c) f(, y) = 2 + y Resp: homogênea gra d) f(, y) = 2 + 2y 2 Resp: não homogênea 2) A eqação 2 y d + y 2 dy = 0 é ma eqação de variáveis separáveis e também é ma eqação homogênea. Resolva das das formas e compare os resltados obtidos. Resp: resltados igais y = ± C 2 ) Resolva as eqações diferenciais homogêneas abaio: a) y = y + y Resp: y = ± 2 ln + C b) ( y)d + dy = 0 Resp: y = (C ln ) c) dy d = y2 + y Resp: y = 2 C ln d) (y ) d + ( + y) dy = 0 Resp: y y 2 = C 4) Resolva os problemas de valor inicial indicados abaio: a) y = y ; y() = 2 Resp: y = y2 8 ln y b) ( + y e y ) d = e dy ; y() = 0 Resp: y = ln [ ln ( + ln ) ] 7