MAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : REGIÕES DO ESPAÇO E INTEGRAIS TRIPLAS

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1 MAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : (1) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção.1.4: Exercs 1(b), 4(a), 4(b). () Fazer exercícios 3:(b), (c), (d) da secão pg 99 do livro texto. (3) Fazer exercícios : (b), (c), 3:(b), (c), (d) da secão 4..5 pg 106 do livro texto. (4) Fazer exercícios, :(a),(b), 3:(b), (d) 4:(b) da seção 5..3 pgs 11, 1 do livro texto. (5) Fazer exercícios 1,, 5 da seção pg 14 do livro texto. (6) Fazer exercícios 1:(b), (c), (a), (b), (c), 3, da seção 5.4.3, pg 13 do livro texto. (7) Fazer exercícios 1, da seção pg 137 do livro texto. (8) Fazer exercícios, 3, 5,6,7,8 da seção 5.6 pg 138 do livro texto. (9) Considere as superfícies dadas abaixo. Determine: Interseção com os planos coordenados, xy, xz, yz. Estude as interseções com os planos z = c, c R, quando tais interseções forem círculos. Identifique as superfícies de revolução (e seus eixos). Explicite também os planos de simetria π das superfícies: Isto é, reflexão em π, deixa a superfície invariante, levando uma metade desta na outra metade. Lembrando de Clculo II, escreva a equao do plano tangente ao grfico quando pedido. Esboce um desenho de cada superfície com apuro. (a) x + y + z = 1. (b) x + y /4 + z /9 = 1. (c) x +y z = 1 (hiperbolide com folhas. Veja Figura 1 ). Escreva a equao do plano tangente ao hiperbolide no ponto (, 0, 5). 1

2 Figura 1: Hiperbolide de folhas Figura : Hiperbolide de 1 folha Figura 3: Sela Figura 4: Catenide Figura 5 Figura 6: Superfcie de Scherk

3 3 (d) x + z y = 1. (e) x + y z = 1 (hiperbolide com 1 folha. Veja Figura ). (f) (x 1) + (y + 1) (z 3) = 1. (g) x + y + z /4 = 1. (h) x + y = 9z. (i) x + z = 9y. (j) x y = z. (k) y = z Escreva a equao do plano tangente ao grfico no ponto (1, 1, 1). (l) z = xy (Sela. Veja Figura 3). Escreva a equao do plano tangente ao grfico no ponto (1, 1, 1). (m) cosh z = x + y (catenide. Veja Figura 4). Escreva a equao do plano tangente ao grfico no ponto (1, 1, arccosh( )). Lembrete: cosh z = ez + e z. (n) z =. Procure encontrar um cilindro para o 1 x y qual a superfcie converge quando z. Veja Figura 5. ( cos y ) (o) z = log, π/ < x < π/ π/ < y < π/. cos x (Superfcie de Scherk. Veja Figura 6). (10) Considere as superfícies D, D 1 e S 1 definidas a seguir (esboce um desenho) : D = {(x, y, z) R 3 ; x + y 9, z = 0} D 1 = {(x, y, z) R 3 ; z = x + y + 7, x + y 9} S 1 = {(x, y, z) R 3 ; 0 z x + y + 7, x + y = 9} D Considere S := D S 1 D 1 a superfície fechada, que é fronteira de um sólido R 3. (a) Desenhe corretamente S. (b) Escreva o volume de usando coordenadas retangulares. Escreva o volume de usando [ coordenadas polares. (c) Calcule (x + y + 7) (x + y + 1) + 1 ] dxdy. Res- 10 posta: 189π/10. Sugestão: se coordenadas polares (11) Considere a região de R 3 que está contida na interseção das seguintes três regiões. Região entre os planos z = e z =, região no interior do cone {z = x + y } (i.e região contendo o

4 4 eixo de revolução) e região no interior do semi-espaço dado por {y 0}. Seja f(x, y, z) = x + y. (a) Elabore um desenho preciso e bem feito da região. (b) Descreva usando desigualdades. (c) Calcule I := f(x, y, z)dxdydz como soma I = 1 f(x, y, z)dxdydz+ f(x, y, z)dxdydz de duas integrais triplas em duas regiões 1 e de R 3 de mesmo volume, sendo que 1 está contida no semi-espaço superior {z 0}. (d) Deduza que I = 16π. 5 (e) sando a mesma região de integração do item precedente re-escreva a integral tripla (x + y + z )dxdydz, (i) usando integrais iteradas nas coordenadas cartesianas ou retangulares, de duas maneiras distintas. (ii) usando coordenadas cilíndricas. (f) sando a mesma região anterior fazendo um cálculo explícito mostre que para f(x, y, z) = xysen z, a integral tripla f(x, y, z)dxdydz = 0. Idem para f(x, y, z) = x y z. Deduza destes exemplos um argumento geométrico, que seja aplicado a situações mais gerais, exibindo novos exemplos em que f(x, y, z)dxdydz = 0. (g) Seja V = {(x, y, z) R 3, (x a) + (y b) z. Seja f(x, y, z) = (x a) + (y b). Deduza, usando um argumento que a integral tripla f(x, y, z)dxdydz =, independente de a e b. 16π 5 (1) Seja a região do espaço no primeiro octante interior à esfera de raio centrada na origem. Seja f(x, y, z) = z. (a) Elabore um desenho preciso e bem feito da região. (b) Deduza que f(x, y, z)dxdydz = 16π 15. (c) Compare o resultado precedente com a integral da mesma função sobre toda a bola de raio centrada na origem explicando o resultado, por um argumento geométrico. (13) Considere a região do espaço dada por = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z 9, x 0, y 0, z 0} (a) (i) Escreva a fórmula integral que expresse o volume V da região -usando coordenadas cilíndricas.

5 5 (ii) Escreva a fórmula integral que expresse o volume V da região -usando coordenadas esféricas. (b) Calcule o volume V de, usando integral tripla (o sistema de coordenadas é de sua escolha), fazendo todos os cálculos. Resposta: V = 7π 6 = 9π (1). (c) Seja (x, y, z) o centróide da região. Calcule x, escrevendo todos os cálculos. Resposta: x = 9/8. (14) Idem exercício anterior considerando a região dada por = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z 9, x 0, y 0, z 0, z 3/ } (15) Idem exercício anterior considerando a região dada por = {(x, y, z) R 3 ; (x 1) + (y ) + (z 3) 9, x 0, y 0, z 0} (16) Seja I = 4 x 4 x y z x + y dzdydx 4 x 0 (a) Determine o domínio de integração da integral tripla (na forma acima de uma integral iterada (Fubini)), usando desigualdades. (b) Calcule o volume de. Agora, dado λ um número real positivo, seja λ := {(u, v, w) R 3 ; u = λx, v = λy, w = λz, (x, y, z) } (i) Calcule o volume de λ em termo do volume de e justifique sua resposta usando um argumento geométrico. (ii) Seja I λ = w u + v dudvdw λ Calcule I λ, em termo de I, fazendo uma mudança de variáveis conveniente (não precisa usar o cálculo de I). (iii) Generalize, usando suas palavras e um argumento com base no que foi feito acima, no caso geral em que é uma região qualquer fechada do espaço. (c) Calcule I.

6 6 (17) Seja a região no interior da esfera de raio a satisfazendo x 0, y 0, z 0 (primeiro octante). Considere f(x, y, z) = xyz(x + y + z ) 1/ e I = f(x, y, z)dxdydz. (a) Escreva I usando integrais iteradas nas coordenadas cartesianas ou retangulares. (b) Escreva I usando coordenadas esféricas. (c) Calcule I. Resposta: I = a 5 /40. (d) Seja V = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z a, x 0, y 0}. Calcule sem fazer nova conta f(x, y, z)dxdydz. V (e) Seja W = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z a, y 0, z 0}. Calcule sem fazer nova conta, f(x, y, z)dxdydz. W (18) Considere = {(x, y, z) R 3 ; 4 4x + 4y z 3 x y }. (a) Elabore um desenho preciso e bem feito da região. (b) Escreva usando coordenadas cilíndricas. (c) Escreva o volume de usando integrais iteradas usando coordenadas cartesianas ou retangulares. π 0 g (r) g 1 (r) rdzdθdρ. (d) Escreva o volume de na forma r r 1 (e) Escreva o volume de na soma de duas integrais da forma g (z) g 1 (z) rdrdz. π z z 1 (f) Escreva o volume de usando cordenadas esfricas. (g) Calcule o volume de. Resposta: ). vol () = π( 3 (19) Seja região do espaço = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z 4, z 1}. Seja g(x, y, z) uma função real suave. Considere a integral tripla I = g(x, y, z)dv. (a) Escreva a integral tripla I na forma b dxdy dz, onde a R(z) a, b são constantes a determinar e R(z) é uma região plana a determinar. (b) Expresse I usando coordenadas cilíndricas (r, θ, z). (c) Escreva I usando obrigatoriamente coordenadas esféricas. (d) Calcule o volume de I testando ambas fórmulas obtidas em (b) e (c) acima. Resposta: 9π.

7 7 (0) Seja a região delimitada pelos planos x+y+z = 0, x+y z = 0, x y z = 0 e x z = 1. (a) Elabore um desenho preciso e bem feito da região. (b) Calcule a integral I = (x+y +z)(x+y z)(x y z)dxdydz. Resposta: I = (1) Calcule o volume da porção, digamos, da bola fechada x + y + z 4 que está dentro do cilindro x + y = y, desenhando corretamente a região determinada. Resposta: vol () = 3 π () Seja a região delimitada pelo elipsóide x /a +y /b +z /c = 1, a b c > 0. (a) Elabore um desenho preciso e bem feito da região. (b) Seja f(x, y, z) = (1 x /a y /b z /c ) 3/. Calcule f(x, y, z)dxdydz. Resposta: I = 1 8 π abc. (a) Deduza que a altura z do centróide da região delimitada pela esfera de raio a centrada na origem, contida no primeiro octante x 0, y 0, z 0 é z = 3 a. Em seguida 8 usando um argumento geométrico, calcule as outras coordenadas x e y do centróide. (b) Seja dado o número real λ. Seja z a altura do centróide de. Seja λ = {(u, v, w); u = λx + 1, v = λy +, w = λz + 1/, (x, y, z) }. Determine λ em termo de z, e de a de maneira que a terceira coordenada w do centróide de λ seja igual a 1. (3) Considere a região = {(x, y, z) R 3 ; 7 z x 1 + y (x 1) + (y ) + 7, x 1, y, 1 x 1 + y }. Elabore um desenho esquemático da região e calcule o volume V de. Resposta: V = π/.