Trigonometria III. Exercícios de Funções Trigonométricas II. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

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1 Trigonometria III Exercícios de Funções Trigonométricas II ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

2 Trigonometria III Exercícios de Funções Trigonométricas II 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Seja < x <. O valor de x tal que sen x = 1 é: a. b. c. d 5. e 7. Exercício. é: a. b. c. d. e. O valor de sec 150 o + cossec 10 o cotg 0 o Exercício. Se o valor mínimo da função f x = + a sen x é 1, sendo f : R R, então o valor de a é: a 1. b. c. d. e 5. Exercício. Seja x um arco do o quadrante. Se sec x =, determine o valor de cotg x. a 1. b. c. d. e 5. Exercício 5. O valor máximo da função gx = sen x +, definida em R, ocorre para que valores de x? a. b. c. d 8. e 10. Exercício. Quantas soluções no intervalo [0, ], a equação sen x sen x + 1 = 0 possui? a 1. b. c. d. e 5. Exercício 7. Seja a função f x = + cos x +, cujo conjunto domínio é [0, ]. Para que valores de x, f x é positiva? a 1 o. b o. c o. d o. Exercícios de Fixação Exercício 8. Uma pessoa usa um programa de computador que descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por y = a senbx + c, em que os parâmetros a, b e c são positivos. O programa permite ao usuário provocar mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda. Qualis ésão os únicos parâmetros que necessitam ser alterados? Exercício 9. O horário do nascer do e do pôr do sol depende de diversos fatores, especialmente da latitude do observador e do dia do ano posição da Terra ao longo de sua órbita em torno do Sol. No início do verão do Hemisfério Sul, o tempo em horas, T, entre o nascer e o pôr do sol, para latitudes entre zero e 0 graus sul, pode ser calculado aproximadamente, com erro de alguns minutos, pela função T = 1 +, 1 tg θ, em que θ é a latitude local. Tendo em vista essas informações, no dia que marca o início do verão, qual é, aproximadamente, a diferença entre o total de horas de Sol na cidade de Porto Alegre, cuja latitude é de 0 graus sul, e na cidade de Macapá, que está sobre a Linha do Equador? 1 matematica@obmep.org.br

3 a 1 hora e minutos. b 1 hora e 0 minutos. c 1 hora e 5 minutos. d hora e 0 minutos. e hora e 1 minutos. Exercício 10. Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era estimado que no ano x, com x {0, 1,,..., 10}, o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações em certo país, em milhões de dólares, poderia ser obtido pela função f x = cos x. Caso essa previsão se confirme, então, relativamente ao total arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que: a o valor máximo ocorrerá apenas em 01. b atingirá o valor mínimo apenas em duas ocasiões. c poderá superar 00 milhões de dólares. d nunca será inferior a 50 milhões de dólares. Exercício 11. O arco que tem medida x em radianos é tal que < x < e tg x =. O valor do sen x é: a. b. c. d. e. + cos x, o va- Exercício 1. lor de f 7 é: a. b. c. d 1. e. Sendo f x = cos x Exercício 1. Se cos x + sen x =, então senx é: a 1. b 0. c 1. d. e. Exercício 1. Se g : R R é a função definida por gx = x + sen x. Então o valor da soma g + g g11 é: a 18. b 187. c 190. d 19. Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 15. A razão entre o maior e o menor número inteiro que pertencem ao conjunto imagem da função trigonométrica gx = + cos x é: a. b 1. c. d 1. Exercício 1. Cerca de, % da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P em mmhg de certo indivíduo é expressa em função do tempo, em segundos, por 8 Pt = cos t. Analise as afirmativas: I A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto. II A pressão em t = segundos é de 110 mmhg. III A amplitude da função Pt é de 0 mmhg. Estáão corretas: a apenas I. b apenas I e II. c apenas III. d apenas II e III. e I, II e III. matematica@obmep.org.br

4 Exercício 17. A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é t descrita pela expressão pt = 10 cos + 5 em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que: a o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. b a população atinge seu máximo em t =. c o período de seca corresponde a meses do ano. d a população média anual é de 000 animais. e a população atinge seu mínimo em t = com 000 animais. B cosct, em que A, B e C são números reais, constantes, não nulos e que o tempo t é dado em segundos, pode-se afirmar que, se a pressão for de 1 por 7 e o intervalo de tempo de um batimento cardíaco de 0, 8 segundos, ABC será igual a: a 5. b 105. c 75. d 91. e 195. Exercício 18. Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função Th = A + B sen 1 h 1, sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia- noite 0 h, e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse o, a mínima 18 o e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã. Quais devem ser os valores de A e B para que o pedido dos funcionários seja atendido? a A = 18 e B = 8. b A = e B =. c A = e B =. d A = e B = 8. e A = e B = 8. Exercício 19. Considerando-se x o menor valor positivo em que a função gx = 0 + cos x + atinge seu valor máximo y, pode-se afirmar que o valor de xy é a 1. b 8. c 1. d 0. e 19. Exercício 0. Um paciente é monitorado por um aparelho que registra, na tela, uma curva representativa da variação da pressão arterial. Em termos numéricos, a pressão é dada na forma S por D, sendo S o valor máximo atingido quando o coração se contrai e bombeia o sangue e D, o valor mínimo atingido quando o coração está em repouso, sendo que um batimento ocorre no intervalo de tempo entre duas pressões máximas consecutivas. Sabendo-se que a variação da pressão desse paciente foi modelada através da função Pt = A + Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com matematica@obmep.org.br

5 1... Resposta E... Seja k Z, então: Respostas e Soluções. tg 150 o + sen 10 o cos 0 o = tg 0 o + sen 0 o cos 0 o = + = + = + =. x = + k x = 5 + k x = k 5 + k x =. 1 Como 0 x, então k = {0, 1,, }. Resposta D. 5. O maior valor ocorre quando sen x + = 1 e o menor quando sen x + = 1. Portanto, g max g min = =. Resposta B.. Se, 1 é um dos pontos do gráfico, podemos deslocar o gráfico para a esquerda e obter o gráfico da função gx = a + b sen x: Analisando o gráfico de gx, temos a = 1 e b =. Portanto, a b =. Resposta B. 7. B. 8. Extraído do ENEM/Vídeo Aula - Adaptado y = a senbx + c = a senbx + bc. Portanto, o período é P =, sendo que para diminuí-lo é necessário aumentar o b valor de b, ou seja, basta alterar o parâmetro b. 9. Extraído da UFG-GO T P T M = 1 +, 1 tg 0 o 1 +, 1 tg 0 o =, 1tg 0 o tg 0 o =, 1 0 Resposta C. = 1, 91 = 1h5min. 10. Extraído da PUC/SP B. Valor mínimo ocorre com cos x = 1. Seja k Z, temos: x = + k x = 1 + k x = + k. Assim, k = {0, 1}, ou seja, atingirá valor mínimo apenas em duas ocasiões. 11. Extraído da PUC - MG tg x = sen x = cos x sen x = cos x sen x = cos x sen x = 1 sen x sen x = sen x = ±. Como x é um arco do segundo quadrante, então sen x = Resposta D. 1. Extraído da UEPB/Vídeo Aula f 7 = cos = cos + cos = cos = + =. Resposta C. 1. Resposta C. + cos + cos 7 7 cos x + sen x = cos x + sen x = cos x + cos x sen x + sen x = 1 + cos x sen x = senx = Extraído da UECE/Vídeo Aula Analisando os valores de sen x, com x inteiro variando de a 11, temos {0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1}, cuja soma é 1. Como = = 195, então g + g g11 = = 19. Resposta D. matematica@obmep.org.br

6 15. Extraído da UERN/Vídeo Aula Como Im = [, + ] = [, ], então = 1. Resposta B. 1. Extraído do UFSM I P = = 8. Assim, a frequência é 1 P = batimentos por segundo, que equivale a 0 = 80 batimentos por minuto. Item verdadeiro. 1 II P = cos = = 110 mmhg. Item verdadeiro. 0. Extraído da EBMSP - BA - Adaptado Como B é não nulo, então Im = [A B, A + B], ou seja: A B = 7 A + B = 1. Resolvendo o sistema, chegamos a A = 10 e B =. Para t = 0, temos P0 = = 1, que é valor máximo e, consequentemente, 0, 8 segundos depois deve ser outro valor máximo, donde concluímos que o período é = 0, 8, segue C que C = 5. Portanto ABC = 10 5 = 75. Resposta C. III Como Im = [100 0, ] = [80, 10], a amplitude de P é = 0 mmhg. Item falso. Resposta B. 17. Extraído da EsPCEx/Vídeo Aula O período da função é P = = 1, ou seja, no intervalo de 1 meses um ano, a função completa um ciclo, sendo metade deste ciclo crescente e metade decrescente, ou seja, em um ano o período de chuva corresponde a dois trimestres. Resposta A. 18. Extraído do ENEM Como Im = [A B, A+ B ], então temos: A+ B = A B = 18. Resolvendo o sistema, obtemos A = e B =. Os valores de máximo e mínimo de sen 1 h 1 são 1 e 1, sendo que estes valores ocorrem em + k, sendo k Z. Temos então: 1 h 1 = + k h 1 = + 1k h = k. Assim, as temperaturas máxima e mínima ocorrem às h k = 1 e 18h k = 0. Como os funcionários preferem a menor temperatura a tarde, devemos ter temperatura mínima às 18h, sendo que neste horário sen = 1, ou seja, B deve ser negativo B =. Resposta B. 19. Extraído da UESB - BA - 01 A função atinge seu valor máximo quando cos x + = 1, ou seja, y = 1 e, para k Z, x + = k, donde x menor valor é = xy 1. Portanto, = = 8. Resposta B. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 5 matematica@obmep.org.br