Cálculo III-A Módulo 1

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Prezado aluno, álculo III-A Módulo 1 eja bem-vindo à nossa disciplina. Este teto possui - salvo algumas modificações- o mesmo conteúdo do material preparado pela professora Rioco para o curso de álculo IV do ederj. Boa sorte! Rioco K. Barreto e M. Lucia. Menezes oordenadoras de álculo III-A Objetivos Aula 1 Integrais uplas ompreender a noção de integral dupla; Estudar algumas de suas propriedades; Estudar o Teorema de Fubini para retângulos. Em álculo II-A, você aprendeu as integrais definidas. Agora, em álculo III-A, pretendemos que você compreenda as integrais duplas e triplas de funções de duas ou três variáveis. Então consideremos uma função f : R R, onde é u m c o n j u n t o f e c h a d o e l i m i t a d o (também conhecido como conjunto compacto). omo é limitado, então eiste um retângulo R [a, b] [c, d], talque R. d n R j j 1 R ij f ( i, j ) c R a i 1 i b n Vamos dividir o retângulo R em subretângulos R ij da seguinte maneira: dividimos os intervalos [a, b] e [c, d] em n subintervalos de mesmo comprimento b a e d c, respectivamente; n n

2 álculo III-A Módulo 1 traçamos ( ) retas verticais e horizontais pelas etremidades desses subintervalos. i,j Rij,paraformarmosasoma Vamos escolher n n n f ( ) n i,j f ( ) i,j A j1 i1 i,j1 onde f ( i, j ) se ( i, j ) /. Esta soma é dita soma de Riemann de f. e eistir o lim n L, dizemosquef é i n t e g r á v e l e n que o número L é d i t o i n t e g r a l d e f sobre eéindicadopor f(, ) dd ou f(, ) da ou fda.assim, f(, ) dd lim OB.: n i,j1 n f ( ) i, j. 1. Prova-se que se f é c o n t í n u a e m, entãof é i n t e g r á v e l.. e f(, ) é c o n t í n u a e m, entãoográficodef (G f ) está acima do plano. EntãoovolumedosólidoW que está abaio de G f eacimade é d a d o p o r V (W ) f(, ) dd. Logo, para encontrar o volume do sólido W,integramosf(, ) (o teto ) sobre (o piso ). z W G f : z f(, ) ( teto ) ( i, j ) R ij ( piso ) UFF IME - GMA

3 álculo III-A Módulo e f(, ) 1em então 1 dd dd A() á r e a d e. 4. Propriedades (i) (f + g) da fda+ (ii) kf da k fda, k R (iii) 1 fda gda 1 fda+ fda 1 Um Método Prático para alcular Integrais uplas Teorema de Fubini: e f(, ) é c o n t í n u a n o r e t â n g u l o [a, b] [c, d], então ou f(, ) dd b a [ d c b d ] d [ b ] f(, ) d d f(, ) d d c a d b f(, ) dd f(, ) dd f(, ) dd a c c a }{{} integrais iteradas ou repetidas Eemplo 1 alcule olução: dd, sendo [, 1] [ 1, ]. UFF IME - GMA

4 álculo III-A Módulo 1 4 Temos dd 1 1 dd. Primeiro, calculamos a integral interna. Logo, dd 1 [ ] [ ( 1)] d d 1 3 [ ] Aula álculo de Integrais uplas em Regiões mais Gerais Objetivos Estudar uma versão mais geral do Teorema de Fubini; alcular área e volume. uponhamos agora, que seja diferente do retângulo [a, b] [c, d]. Entãovamosdefinirdoistipos de região. efinição 1 izemos que é u m a região do tipo I ou uma região simples vertical se for limitada à e s q u e r d a p e l a r e t a v e r t i c a l a, à direitapelaretavertical b, inferiormente pela curva de equação g 1 () esuperiormentepelacurva g (), ondeg 1 e g são contínuas. As figuras que se seguem ilustram regiões do tipo I. g () g () g () (, ) (, ) (, ) g 1 () g 1 () g 1 () a b a b a b UFF IME - GMA

5 álculo III-A Módulo 1 5 Logo, {(, ) R ; a b e g 1 () g ()}. Prova-seque: f(, ) dd b g () a g 1 () f(, ) dd. efinição izemos que é u m a região do tipo II ou uma região simples horizontal, se for limitada inferiormente e superiormente pelas retas horizontais c e d, respectivamente,à esquerda pela curva h 1 () eàdireitapelacurva h (),ondeh 1 e h são contínuas. As figuras que se seguem ilustram regiões do tipo II: d h 1 () h () d h 1 () h () d h 1 () h () c c c Logo, {(, ) R ; c d e h 1 () h ()}. Prova-seque: f(, ) dd d h () c h 1 () f(, ) dd. Eemplo 1 alcule por meio dos dois métodos a integral de f(, ) sobre a região limitada pelas curvas e. olução: As curvas se interceptam quando ou ( 1). Então ou 1.Assim,ospontos de interseção são (, ) e (1, 1). Logo,oesboçode é : UFF IME - GMA

6 álculo III-A Módulo (, ) 1 Método 1 Enquadrando como tipo I, temos {(, ) R ; 1e }. Então: 1 1 [ ] 1 1 dd dd d 1 ( 4 ) d 1 ( 3 5 ) d Método [ ] ( ) 1 1 Enquadrando como tipo II, temos { (, ) R ; 1 e }.Então, dd 1 dd 1 [ ] d 1 1 ( ) d ( 3 ) d [ ] ( ) UFF IME - GMA

7 álculo III-A Módulo 1 7 Eemplo alcule, por meio de integral dupla, a área da região plana limitada pelas curvas 3 e. olução: Oesboçode é : 1 1/ 3 1/ 3 1 Podemos descrever por Então, : { 1 3 1/ A() dd 1 1/ 3 dd 1 ( 1/ 3) d [ ] 1 3 3/ u.a Eemplo 3 alcule o volume do tetraedo W com faces nos planos coordenados e no plano + + z 3. olução: Oplano + + z 3passa pelos pontos A (3,, ), B (, 3, ) e (,, 3). Assim, o esboço de W é : UFF IME - GMA

8 álculo III-A Módulo 1 8 z teto de W W 3 A (piso) B 3 Observemos que o teto de W é a p o r ç ã o d o p l a n o + + z 3ou z 3 f(, ) eque opisodew é o t r i â n g u l o. Então, V (W ) f(, ) dd (3 ) dd [ [ 3 9 u.v. (3 ) dd 3 ] 3 d 3(3 ) (3 ) (3 ) (9 6 + ) d [ ] 3 ] d Eercício 1: alcule as integrais iteradas: a) 1 1 e dd b) 1 1 dd Eercício : Esboce a região de integração e calcule as integrais: a) 3 dd, {(, ) R ;1, }; UFF IME - GMA

9 álculo III-A Módulo 1 9 b) f(, ) dd, {(, ) R ; π/, cos }, f(, ) sen. Eercício 3: Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: a) b) 1 1 f(, ) dd c) f(, ) dd d) f(, ) dd f(, ) dd Eercício 4: alcule 1 4e dd. Eercício 5: alcule ln dd. Eercício 6: Use a integral dupla para calcular a área da região limitada pelas curvas 4 e. Eercício 7: Encontre o volume do sólido W limitado pelos planos, z 4epelo cilindro parabólico z 4. Eercício 8: Encontre o volume do sólido W limitado pelas superfícies z 1, z,, z e. UFF IME - GMA

10 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP Aula 3 Mudança de Variáveis na Integral upla Objetivo Aprender a fazer mudança de variáveis em integrais duplas. No álculo II, você aprendeu a fórmula da mudança de variável para uma função de uma variável: b a f() d d Para as integrais duplas, temos uma fórmula análoga. c f (g(u)) g (u) du. Uma mudança de variáveis num subconjunto do R é dada por uma transformação ϕ : uv R R (u, v) (, ) ϕ(u, v) ( (u, v), (u, v) ) de classe 1 e injetora no interior de uv. v uv ϕ ϕ( uv) f u uponhamos que o jacobiano de ϕ, Jϕ(u, v), seja diferente de, isto é, (, ) J Jϕ(u, v) (u, v) u v. u v Prova-se que dd J dudv. eja ϕ ( uv ). Então se f(, ) é contínua em, temos: R f(, ) dd f ( (u, v), (u, v) ) J dudv. uv

11 álculo IV EP OB.: Pelo teorema da função inversa, o jacobiano de ϕ 1 é dado por u u Jϕ 1 (, ) v v ( Jϕ(u, v) ) 1 1 J (ϕ(u, v)). Eemplo 1 alcule, utilizando uma mudança de variáveis conveniente, a integral a região limitada pelas retas + 3, + 5, 1e 3. olução: O esboço de é: 5 (+)6 dd, sendo Façamos u +, v, que nos dá Temos: J { u + v u v (, ) (u, v) u u omo dd J dudv, temos dd 1 dudv. A seguir, vamos determinar uv. ou { u v u+v 1 v v omo é limitado por + 3, + 5, 1e 3, então uv é limitado por u 3, u 5, v 1e v 3. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

12 álculo IV EP 3 v 3 1 uv 3 5 u egue da fórmula da mudança de variáveis que: dd (+) 6 uv u6 v 1 dudv ln 3 ln 3 uv u6 v dudv 3 u 6 1 dvdu v [ u 6 [ ln v 3 u 7 7 u 6 du ] 5 ] 3 ( ) ln du Aula 4 Integrais uplas em oordenadas Polares Objetivo Estudar uma mudança de variáveis bastante usada: coordenadas polares. No álculo II, você aprendeu coordenadas polares (r, θ), onde r é a distância de um ponto P (, ) à origem e θ é o ângulo (em radianos) formado pelo eio positivo e o raio polar OP. O r θ P (, ) a figura, vemos que r cos θ, r sen θ donde + r. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

13 álculo IV EP 4 Então consideremos a mudança de variáveis dada por { r cos θ ϕ : r sen θ onde r e θ θ θ +π, para algum θ R. O jacobiano de ϕ é dado por (, ) J Jϕ (r, θ) r r Então θ cos θ sen θ θ r sen θ r cos θ r cos θ + r sen θ r. f(, ) dd f (r cos θ,rsen θ) r drdθ. rθ OB.: 1. O termo dd não é substituído por drdθ, mas por rdrdθ.. A área de em coordenadas polares é dada por A() r drdθ. rθ Eemplo 1 alcule e + dd, onde é a região limitada pela curva 1 e o eio. olução: O esboço de é: 1 (r, θ) r 1 1 θ r 1 Passando para coordenadas polares, temos: r cos θ r sen θ dd rdrdθ + r Fundação EIERJ onsórcio EERJ

14 álculo IV EP 5 Observemos que em o ângulo θ varia de (no eio polar eio positivo) a π (no ponto ( 1, )). Fiado θ, tal que θ π, o raio polar r varia de a 1. Então, rθ é dado por: { θ π rθ : r 1. Logo, e + dd rθ e r r drdθ Temos d(r )r dr, donde r dr 1 d(r ). Então, e + dd π 1 1 π e r d(r ) π e r rdθdr π 1 [ ] 1 e r π (e 1). e r r dr. Eemplo alcule I olução: dd, onde é limitado por +. ompletando quadrado em +, temos +( 1) 1. Logo, temos uma circunferência de centro (, 1) e raio 1. Assim, o esboço de é: 1 alcular I, enquadrando como tipo I ou tipo II, é uma tarefa difícil (verifique), então passemos para coordenadas polares. Temos: r cos θ r sen θ dd rdrdθ + r Passando + para coordenadas polares, temos r rsen θ ou r sen θ. Observemos que como o eio é tangente à circunferência na origem, então θ varia de a π. Fiando θ, tal que θ π, o raio polar r varia de a sen θ. Logo, o conjunto rθ é dado por { θ π rθ : r sen θ Fundação EIERJ onsórcio EERJ

15 álculo IV EP 6 Então, I 8 3 r sen θ r drdθ rθ r sen θ drdθ rθ π π π sen θ sen θ Vale a pena lembrar que sen 4 θ (sen θ) ( 1 cos θ cos u du 1 sen θ [ ] sen θ r 3 3 sen 4 θ dθ. ( ) u + sen u + r drdθ dθ ) 1 4 (1 cos θ + cos θ) Então, Até a próima semana. I 3 π π. π (1 cos θ + cos θ) dθ (1 cos θ + cos θ) d(θ) [ θ sen θ + 1 [ 3θ sen θ + ( ) ] π θ + sen 4θ ] π sen 4θ 4 Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV Eercício 1: alcule + 1e da onde é a região compreendida pelas retas, 1, Eercício : Use a transformação u e v para determinar primeiro quadrante, limitada por, 3, 1e 4. 3 da da região do Eercício 3: alcule a integral dupla + 1. e ( + ) da onde é a região contida na circunferência Fundação EIERJ onsórcio EERJ

16 álculo IV EP 7 Eercício 4: alcule + dd onde é o disco centrado fora da origem, dado pela desigualdade + ou +( 1) 1. Eercício 5: alcule da onde é a região no primeiro quadrante fora da circunferência + r e dentro do cardióide r (1 + cos θ). Eercício 6: alcule as integrais transformando-as em coordenadas polares. a) ( + ) 3/ dd b) 3 18 sen ( + + 1) dd Eercício 7: etermine o volume do sólido W limitado pelo parabolóide z 4 e pelo plano. Eercício 8: etermine o volume do sólido W no interior da esfera + + z 4e do cilindro +( 1) 1e acima do plano z. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

17 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP3 Aula 5 Aplicações da Integrais uplas Objetivo Estudar algumas aplicações físicas como massa, centro de massa e momento de inércia. 1. Massa eja R, uma região compacta, representando uma lâmina plana delgada. uponhamos que a função contínua e positiva δ : R R representa a densidade superficial de massa (massa por unidade de área). R R ij ( i, j ) ( onsiderando-se ) n subretângulos R ij de algum retângulo R que contém e uma escolha i,j Rij, observamos que a soma n n δ ( ) i,j A j1 i1 é uma aproimação da massa M de, onde δ ( ) ( ) i,j se i,j /. Logo, é razoável definir amassam de com M δ(, ) dd. OB.: e δ(, ) for constante e igual a k, então a massa M será igual a ka(). Neste caso, dizemos que a lâmina é homogênea.

18 álculo IV EP3. entro de Massa a) eja um sistema finito de partículas P 1 ( 1, 1 ),P (, ),,P n ( n, n ), com massas m i,i1,,n, respectivamente. Lembrando da Física que os momentos de massa desse sistema, em relação aos eios e, são definidos por: M n m i i e M i1 n m i i. i1 O centro de massa do sistema é o ponto (, ) que se comporta como se a massa total M do sistema estivesse concentrada nesse ponto. Logo, n i1 m i M M e M M ou M M n m i i i1 e n m i i1 M M n m i i i1. n m i i1 b) e considerarmos no lugar de um sistema finito de partículas, uma lâmina plana com densidade superficial de massa dada por uma função contínua e positiva δ(, ), fazemos uma partição de algum retângulo R contendo, obtendo subretângulos R ij. Escolhemos ( i, j ) Rij. Logo, a massa de R ij pode ser aproimada por δ ( i, j ) A, onde δ ( i, j ) se δ ( i, j ) /. Então M n j δ ( ) i,j A e M i,j1 Logo, definimos M e M por M n i δ ( ) i,j A. i,j1 δ (, ) da e M δ (, ) da. O centro de massa (, ) da lâmina é definido por δ (, ) da e M δ (, ) da. M OB.: e δ(, ) k, k constante, o ponto (, ) é dito centróide e temos as seguintes fórmulas dd dd e. dd dd Fundação EIERJ onsórcio EERJ

19 álculo IV EP Momento de Inércia O momento de inércia de uma lâmina em relação a um eio E é dado por I E r (, )δ(, ) dd onde r(, ) é a distância de (, ) ao eio E. Assim, os momentos de inércia de em relação aos eios e, respectivamente, são dados por I δ(, ) dd e I δ(, ) dd. O momento de inércia polar em relação à origem é dado por I ( + ) δ(, ) dd I + I. Eemplo 1 etermine o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eio, da região limitada por e, sendo δ(, ) 3. olução: As curvas se interceptam quando, logo 1,. Assim, o esboço de é: (4, ) 1 (1, 1) 4 + escrevemos como tipo II : {(, ) 1, +}. A massa de é: M δ(, ) da + 3 da 3 1 dd 3 1 ( + ) d [ ] [( ( 4+ 3) )] Fundação EIERJ onsórcio EERJ

20 álculo IV EP3 4 O centro de massa (, ) é dado por δ (, ) da M Logo, álculo de dd + δ(, ) da δ(, ) da álculo de dd , δ(, ) da: δ (, ) da. M [ ] + d 3 ( ) d [ ] 1 [( ) ( )] δ(, ) da: ( + ) ( d 3 + 3) d 1 [ ] , 4 7 Assim, o centro de massa (, ) está localizado em ( 8 5, 1 ) [( ) ( O momento de inércia em relação ao eio é: + I δ(, ) da 3 da 3 dd 3 ( + ) d 1 1 ( ) d 1 [ ] )] 3 [( ) ( )] Fundação EIERJ onsórcio EERJ

21 álculo IV EP3 5 Aula 6 imetria em Integral upla Objetivo Eplorar simetrias em integrais duplas. imetria em Integral upla 1) eja R, simétricaem relação ao eio e f(, ) ímpar na variável, isto é, f(, ) f(, ). Então, f(, ) dd. om efeito, como tem simetria em relação ao eio, observamos que está limitada à direita pela curva () e à esquerda pela curva (). upondo que a projeção de sobre o eio seja o intervalo [c, d], temos o seguinte esboço para : d () c () Então, f(, ) dd d c [ () ] f(, ) d } () {{ } ( ) d d c d. ( ) Aqui, usamos um fato do álculo II: a a g() d se g() é uma função ímpar. ) Analogamente, se tem simetria em relação ao eio e f(, ) é ímpar na variável, então f(, ) dd. Veja o esboço para na figura a seguir. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

22 álculo IV EP3 6 () a b () Eemplo 1 alcule I onde é o disco + a, (a >). olução: Por propriedade, temos que I 6 dd + }{{} I 1 ( 6 +( ) sen +1 ) dd, ( ) sen dd } {{ } I + dd. } {{ } I 3 omo f(, ) 6 é ímpar na variável e tem simetria em relação ao eio, então I 1. omo g(, ) ( ) sen é ímpar na variável e tem simetria em relação ao eio, então I. omo dd A(), então I 3 πa. Logo, I ++πa πa. REOMENAÇÃO Nas integrais duplas, busque as simetrias e as funções ímpares. Não calcule cegamente!!! Fundação EIERJ onsórcio EERJ

23 álculo IV EP3 7 OB.: 1. e a densidade δ(, ) é uma função par na variável (isto é, δ(, ) δ(, )), então δ(, ) é ímpar na variável. e tem simetria em relação ao eio, então δ(, ) dd e portanto,. Analogamente, se δ(, ) é uma função par na variável ese tem simetria em relação ao eio, então.. e é uma lâmina homogênea e tem simetria em relação ao eio, então. Analogamente, se é homogênea e tem simetria em relação ao eio, então. Eemplo Uma lâmina delgada ocupa a região + 1,, de modo que a densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto à origem. etermine a) a massa M de b) o centro de massa olução: O esboço de é: omo a distância de (, ) à origem é + então a densidade é dada por δ(, ) k + onde k é uma constante. a) omo M δ(, ) dd, então M k polares, temos: Além disso, rθ é dado por: r cos θ r sen θ. dd rdrdθ + r rθ : + dd. Passando para coordenadas { r 1 θ π. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

24 álculo IV EP3 8 Então, M k r rdrdθ k r drdθ k rθ rθ 1 π r dθdr kπ 1 r dr kπ 3 u.m. b) omo δ(, ) é uma função par e tem simetria em relação ao eio, então. abemos que δ(, ) dd M, onde δ(, ) dd k + dd Logo, k r sen θ r rdrdθ rθ k r 3 sen θ drdθ rθ k 1 π r 3 sen θ dθdr k [ cos θ ] π k [ r 4 4 k. k kπ 3 ] 1 3 π. Portanto, o centro de massa está localizado em (, 3 π). Até a próima aula. 1 r 3 dr Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV Eercício 1: alcule a massa total M, o centro da massa (, ) de uma lâmina triangular com vértices (, ), (1, ) e (, ) se a função densidade é δ(, ) Eercício : A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo. etermine o centro de massa da lâmina. Eercício 3: etermine os momentos de inércia I, I e I do disco homogêneo com densidade δ(, ) δ, centro na origem e raio a. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

25 álculo IV EP3 9 Eercício 4: Uma lâmina delgada tem a forma da região que é interior à circunferência ( ) + 4e etrior à circunferência + 4. alcule a massa da lâmina se a densidade é dada por δ(,, z) ( + ) 1/. Eercício 5: Uma placa fina é limitada pela circunferência + a e tem densidade ( δ(, ) ) a a + +. Mostre que o seu momento de inércia polar é dado por I Ma 1 ln, onde ln M é a sua massa. Eercício 6: Uma lâmina tem a forma semicircular + a, com. A densidade é diretamente proporcional à distância do eio. Ache o momento de inércia em relação ao eio. Eercício 7: Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles com lados iguais de comprimento a. Ache a massa, se a densidade em um ponto P é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice oposto à hipotenusa. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

26 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP4 Aula 7 Integrais Triplas Objetivo ompreender a noção de integral tripla. Na aula 1, você aprendeu a noção de integral dupla. agora, você verá o conceito de integral tripla. eja f : W R 3 R, onde W é uma região sólida do R 3 (região limitada e fechada de R 3 ). omo W é limitada, então eiste um paralelepípedo (ou caia) R [a, b] [c, d] [p, q], contendo W. ividimos R em n 3 subcaias R ijk, por planos paralelos aos planos coordenados, todas de mesmo volume V z, escolhemos ( i, j,z k) Rijk e formamos a soma n n n n f ( i,j,zk) V i1 j1 k1 onde f ( ( i,j,zk) se i,j,zk) / W, dita soma de Riemann de f. e eistir lim n L, dizemos que f é integrável e o número L é dito integral tripla de f sobre o n sólido W e é indicado por f(,, z) dddz ou W W W f(,, z) dv ou f dv. OB.: 1) e f é contínua em W então f é integrável. ) e f(,, z) 1em W, então dddz V (W ). 3) W (f + g) dv W W f dv + W g dv.

27 álculo IV EP4 4) W kf dv k f dv, k R. W 5) e δ(,, z) é contínua e positiva em W, e representa a densidade volumétrica de massa (massa por unidade de volume), então a massa M de W é dada por M δ(,, z) dddz. 6) O centro de massa (,, z) é dado por δ(,, z) dv W M δ(,, z) dv W M z δ(,, z) dv z W. M W 7) O momento de inércia em relação a um eio E é dado por I E r (,, z) δ(,, z) dv W onde r(,, z) distância de (,, z) ao eio E. e eio E eio z, então I z e eio E eio, então I e eio E eio, então I W W W ( + )δ (,, z) dv. ( + z )δ (,, z) dv. ( + z )δ (,, z) dv. Aula 8 Redução do álculo de uma Integral Tripla a uma Integral upla. Objetivo Reduzir o cálculo de uma integral tripla a uma integral dupla. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

28 álculo IV EP4 3 Observamos que um domínio de integração pode ser descrito como uma reunião de regiões dadas por: W 1 { (,, z) (, ) e z 1 (, ) z z (, ) } onde proj W 1 O onde z proj W Oz (projeção de W 1 sobre o plano ) ez 1 (, ), z (, ) contínuas; W { (,, z) (, z) z e 1 (, z) (, z) } e 1(, z), (, z) contínuas; W 3 { (,, z) (, z) z e 1 (, z) (, z) } onde z proj W 3 Oz Os esboços de W 1, W e W 3 são: z e 1(, z), (, z) contínuas. z z z (, ) 1 (, z) (, z) W 1 (,, z) z (, z) W (,, z) z z 1 (, ) (, ) z z (, z) W 3 (,, z) 1 (, z) (, z) Fundação EIERJ onsórcio EERJ

29 álculo IV EP4 4 Prova-se que f(,, z) dddz W 1 f(,, z) dddz W f(,, z) dddz W 3 z [ ] z (,) f(,, z) dz dd z 1 (,) [ ] (,z) f(,, z) d ddz 1 (,z) [ ] (,z) f(,, z) d ddz. z 1 (,z) Eemplo 1 alcule olução: W efinimos W por: e dddz onde W é o conjunto 1, e z 1. onde z [, 1] [, 1]. Logo: W { (,, z) (, z) z e } W e dddz z [ ] e d ddz e ddz z 1 1 [ ] 1 1 e e 1. e ddz dz Eemplo alcule o volume do sólido limitado pelos parabolóides z + e z 8. olução: Inicialmente, calculemos a interseção das superfícies: { z + z ( + ) Logo, a interseção dos parabolóides é a circunferência + 4, situada no plano z 4. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

30 álculo IV EP4 5 z 8 W z 8 4 (,, z) z + (, ) escrevemos W por: onde é o disco + 4. omo V (W ) dddz, então W { (,, z) (, ) e + z 8 } W V (W ) Passando para coordenadas polares, temos: [ ] 8 [ dz dd 8 ( + ) ] dd. + V (W ) π π π (8 r )rdθdr ( 8r r 3 ) dr [ 4r r4 π(16 8) 16π u.v. ] Fundação EIERJ onsórcio EERJ

31 álculo IV EP4 6 Eemplo 3 alcule a massa do sólido W, no primeiro octante, limitado pelos planos, z, +, + 4e o cilindro + z 4, sendo a densidade igual à distância de (,, z) ao plano z. olução: O esboço de W é: z W z (, z) 4 4 Podemos definir W por: W { (,, z) R 3 (, z) z e 4 } onde z é tal que + z 4, e z. z z omo M δ(,, z) dddz, onde δ(,, z), pois, então: W M dddz W [ 4 z ] d ddz (4 +) ddz z ( ) ddz. z Fundação EIERJ onsórcio EERJ

32 álculo IV EP4 7 Passando para coordenadas polares, temos: z ddz r cos θ r sen θ rdrdθ e rθ é dado por: Então: M rθ : π/ π/ π/ { r θ π/ (r cos θ r cos θ) r drdθ (r cos θ r 3 cos θ) drdθ [ r 3 3 cos θ r4 4 cos θ ] dθ Até a próima semana. π/ ( 16 3 cos θ 4 cos θ ) dθ [ 16 3 sen θ 4 16 π (1 ) π u.m. ( ) ] π/ θ + sen θ Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV Eercício 1: alcule a integral iterada Eercício : alcule W z ze ddzd. e dddz, onde W é o conjunto 1, e z 1. Eercício 3: Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do sólido W limitado pelos planos + z 1,, e z. alcule uma das integrais. Eercício 4: Esboce o sólido W cujo volume é dado pela integral iterada I e reescreva na ordem dddz dzdd Fundação EIERJ onsórcio EERJ

33 álculo IV EP4 8 Eercício 5: Use a integral tripla para encontrar o volume do sólido a) W limitado pelo cilindro e os planos z e + z 1; b) W limitado pelos planos z + 8, z 8,, 4e z. Eercício 6: alcule a massa do sólido W no primeiro octante limitado por, 9, z, e + z 9se a densidade é dada por δ(,, z). Eercício 7: eja W um sólido limitado pelo cilindro + 1, com z e pelos planos z e z com função densidade δ(,, z). alcule: a) A massa de W. b) O momento de inércia em relação ao eio z. Eercício 8: Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto de raio de base a e altura h. etermine o momento de inércia do sólido em relação ao eio de simetria se a densidade no ponto P é proporcional à distância de P até a base do sólido. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

34 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP5 Aula 9 Mudança de Variáveis na Integral Tripla Objetivo Aprender a fazer mudança de variáveis em integrais triplas. Estudar a mudança de variáveis ciĺındricas. Aqui temos um resultado similar à mudança de variáveis em integral dupla: f(,, z) dddz f ( (u, v, w),(u, v, w),z(u, v, w) ) J dudvdw W W uvw onde J é o jacobiano da mudança de variáveis e W uvw ϕ(w ). (,, z) (u, v, w) u u z u v v z v w w z w ϕ(u, v, w) (,, z) ( (u, v, w),(u, v, w),z(u, v, w) ) Um caso particular de mudança de variáveis oordenadas ciĺındricas z As coordenadas ciĺındricas (r, θ, z) são definidas por r cos θ r sen θ + r z z com r, θ θ θ +π, para algum θ e z R. θ r P z

35 álculo IV EP5 As coordenadas r e θ são as mesmas que as coordenadas polares e, portanto, as suas variações são encontradas na projeção de W no plano. A variação de z é encontrada diretamente no sólido. upondo que z 1 (, ) z z (, ), então a variação de z será z 1 (r cos θ,rsen θ) z z (r cos θ,rsen θ). alculando o jacobiano da transformação ciĺındrica, encontramos J (,, z) (r, θ,z) r (Verifique!) Logo: f(,, z) dddz W f (r cos θ,rsen θ,z) r drdθdz W rθz é a fórmula da integral tripla em coordenadas ciĺındricas. Eemplo 1 alcule W (z + z ) dddz, sendo W o sólido limitado pelo cilindro + 1, pelo plano z e pelo parabolóide z 4. olução: e z 4 e + 1, temos z 3. Isto significa que as superfícies apresentam interseção no plano z 3. O esboço de W é: z 4 z 4 3 W P (,, z) 1 1 z Fundação EIERJ onsórcio EERJ

36 álculo IV EP5 3 Passando para coordenadas ciĺındricas, temos r cos θ r sen θ z z dddz r drdθdz + r. eja P (,, z) W. Uma reta por P, paralela ao eio z, intercepta a fronteira de W em z e z 4 4 r. Logo, z 4 r. omo a projeção de W no plano é o disco + 1, então r 1 e θ π. Logo o conjunto W rθz é dado por: r 1 W rθz : θ π. z 4 r Temos, ( z + z ) dddz W z ( + ) dddz W zr r drdθdz W rθz zr 3 drdθdz W rθz π π π π 4. r 3 π r 3 [ z 4 r ] 4 r π z dzdθdr r 3 (4 r ) dr dθdr ( 16r 3 8r 5 + r 7) dr [ 4r 4 4r6 3 + r8 8 ] 1 Fundação EIERJ onsórcio EERJ

37 álculo IV EP5 4 Aula 1 Integral Tripla em oordenadas Esféricas. Objetivo Estudar a mudança de variáveis esféricas. z As coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) são definidas por ρ sen φ cos θ ρ sen φ sen θ + + z ρ z ρ cos φ com ρ, φ π, θ θ θ +π, para algum θ. θ φ ρ P z A coordenada ρ mede a distância do ponto P à origem (portanto ρ ). A coordenada θ é a mesma que a coordenada ciĺındrica e sua variação é encontrada na projeção de W no plano. A coordenada φ é o ângulo entre o eio z positivo (onde φ ) e a semireta OP. A variação máima de φ é φ π. alculando o jacobiano da transformação esférica, temos: J (,, z) (ρ, φ, θ) ρ sen φ (Verifique!) Logo: f(,, z) dv W f (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ) ρ sen φ dρdφdθ W ρφθ é a fórmula da inegral tripla em coordenadas esféricas. Eemplo 1 alcule o volume da esfera W : + + z a,(a>). Fundação EIERJ onsórcio EERJ

38 álculo IV EP5 5 olução: O esboço de W é: z a W a a Passando para coordenadas esféricas, temos ρ sen φ cos θ ρ sen φ sen θ z ρ cos φ dv dddz ρ sen φ dρdφdθ + + z ρ. A equação da esfera + + z a fica ρ a. Logo, o conjunto W ρφθ é dado por: omo V (W ) dddz então: W V (W ) ρ a W ρφθ : φ π θ π a π W ρφθ ρ sen φ dρdφdθ ρ π a π [ cos φ ] π [ 4π π sen φ dθdφdρ π ρ sen φ dφdρ ] a ρ 3 3 4πa3 3 u.v. a. ρ dρ Fundação EIERJ onsórcio EERJ

39 álculo IV EP5 6 Eemplo alcule o volume do elipsóide W : + + z 1, (a, b, c > ). a b c olução: Façamos a mudança de variáveis Temos Logo, J (,, z) (u, v, w) u u z u v v z v au bv z cw w w z w a b c dddz J dudvdw abc dudvdw. abc. O elipsóide W : + + z 1 é transformado na esfera W a b c uvw : u + v + w 1. omo V (W ) dddz, então: W V (W ) J dudvdw abc dudvdw abc V (W uvw )abc 4 W uvw W uvw 3 π πabc. Até a próima semana. Eercício 1: alcule esfera + + z 4. Eercício : alcule z 4. W W Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV ( + ) dv, onde W é a região interior ao cilindro + 1eà + dv, onde W é a região limitada por z + 4 e Eercício 3: Use a integral tripla para calcular o volume do sólido W acima do parabolóide z + e abaio do cone z +. Eercício 4: alcule W ( + + z ) dv, sendo W a região limitada superiormente pela esfera + + z 16 e inferiormente pelo cone z +. Eercício 5: alcule o volume do sólido W que está dentro da esfera + + z 4, acima do plano z e abaio do cone z +. 3 Fundação EIERJ onsórcio EERJ

40 álculo IV EP5 7 Eercício 6: Faça o esboço do sólido W cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral. π/3 π sec φ ρ sen φ dρdθdφ Eercício 7: Verificar que o centro de massa de uma esfera de raio 1 coincide com o seu centro, sabendo-se que a sua distribuição de massa é homogênea. Eercício 8: alcule o momento de inércia em relação ao eio z do sólido limitado por z 4 e z, sabendo que a densidade em um ponto é proporcional à distância de P ao plano. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

41 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 6 Aula 11 urvas Parametrizadas Objetivo Parametrizar curvas planas e espaciais. Parametrização de curvas Parametrizar uma curva R n (n ou 3) consiste em apresentar uma função vetorial σ : I R R n (n ou 3), ondei é u m i n t e r v a l o e σ(i). t σ σ(t) I Eemplo 1 endo A, B R n (n ou 3),parametrizeosegmentodereta de etremidade inicial A efinalb. olução: e P, então OP OB + tab, t 1 ou P B +t(b A), t 1 ou P B + t(b A), t 1. Logo,umaparametrizaçãodosegmento é d a d a p o r σ(t) B + t(b A), t 1.

42 álculo III-A Módulo 6 Eemplo eja plano, ográficodeumafunção f(), I. (, f()) I Então, uma parametrização de é d a d a p o r σ(t) (t, f(t)),t I. Eemplo 3 eja acircunferência + a, a > ; P (, ) e t oânguloemradianosentreoeio positivo easemirretaop. a a t P a Observe que quando t aumenta de a π, opontop (, ) (a cos t, a sen t) se move, uma vez sobre no sentido anti-horário a partir do ponto (a, ). Logo,umaparametrizaçãode é σ 1 (t) (a cos t, a sen t), t π. Observe que σ (t) (a sen t, a cos t), t π é t a m b é m u m a p a r a m e t r i z a ç ã o d e, pois + a. Neste caso, quando t aumenta de a π, opontop se move uma vez ao longo de no sentido horário, a partir do ponto (,a). Observe que σ 3 (t) (a cos(π t), asen(π t)) (a cos t, a sen t), t π é o u t r a parametrização de, e P se move ao longo de no sentido horário a partir do ponto (a, ). UFF IME - GMA

43 álculo III-A Módulo 6 3 Eemplo 4 eja a circunferência :( ) +( ) a,decentro(, ) eraioa. Efetuando uma mudança de variáveis u e v,temos u + v a que é uma circunferência no plano uv, decentro(, ) eraioa. Logo, { u a cos t, t π. v a sen t ubstituindo acima, temos { + a cos t + a sen t Assim, uma parametrização diferenciável de é dada por, t π. σ(t) ( + a cos t, + a sen t), t π. Eemplo 5 eja uma elipse : ( ) + ( ) 1.Fazendou a b e v,mostramosque a b é uma parametrização de. σ(t) ( + a cos t, + b sen t), t π Eemplo 6 eja uma curva do espaço dada pela interseção do cilindro + 1com o plano + z. a) Esboce. b) Apresente uma parametrização diferenciável para. olução: z a) Inicialmente, façamos o esboço do cilindro + 1.esenhemos,noplano, acircunferência + 1.Pelospontos(1,, ), ( 1,, ), (, 1, ) e (, 1, ) tracemos paralelas ao eio z. ( 1,, ) (, 1, ) (1,, ) (, 1, ) UFF IME - GMA

44 álculo III-A Módulo 6 4 Para esboçar o plano + z,traçamosareta + z no plano z. Observequeaequaçãodo plano não contém a variável. Por isso,por pontos da reta traçamos paralelas ao eio. z Agora, juntemos as duas figuras, procurando destacar alguns pontos de interseção. A reta + z intercepta o cilindro nos pontos A 1 e A.Poroutrolado,aretadoplano,paralelaaoeio, passando por (,, ), intercepta o cilindro nos pontos B 1 e B.Acurva passa por A 1, B 1, A e B. z A B 1 B A b) eja (,, z). Logo, e satisfazem + 1.Assim, cost, sent, t π. omo z, entãoz cos t. Logo, é uma parametrização de. σ(t) (cost, sen t, cos t), t π Eemplo 7 eja acurvanoespaçorepresentadapelafunçãovetorialσ(t) (a cos t, a sen t, bt), t 4π, a>, b>. Esboce, ditahélicecircular. UFF IME - GMA

45 álculo III-A Módulo 6 5 olução: e a cos t, a sen t, temos + a. Isso significa que está contida no cilindro + a.omoz bt, quandot vai de a 4π, oponto(,, z) percorre a hélice contida no cilindro. z (a,, 4π) a a Aula 1 Integral de Linha de ampo Escalar Objetivo ompreender e noção de integral de linha de campo escalar; Estudar algumas propriedades. Nesta aula definiremos uma integral similar a uma integral definida. ejam dados um campo escalar em R 3 ou uma função real de três variáveis f : R 3 R eumacurva em R 3,dadapor σ(t) ((t),(t),z(t)), t [a, b], comσ de classe 1. z t t i t i 1 a t σ σ(t i ) σ(t i 1 ) σ(t i ) b t n t i UFF IME - GMA

46 álculo III-A Módulo 6 6 ividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos I i, i 1,,n, de mesmo comprimento t b a.logo,acurvafica dividida em n subarcos de comprimento s n 1, s,, s n,onde s i σ (t i ) t para algum t i I i.formemosasoma n i1 f (σ(t i )) s i efinimos a integral de linha de f sobre por se o limite eistir. fds OB.: n i1 f(,, z) ds lim n b f (σ(t i )) σ (t i ) t, n i1 f (σ(t i )) σ (t i ) t 1) e f é u m a f u n ç ã o c o n t í n u a, e n t ã o o l i m i t e e i s t e e p o r t a n t o b f(,, z) ds f (σ(t)) σ (t) dt a }{{} ds a f ((t),(t),z(t)) ( (t)) +( (t)) +(z (t)) dt. ) e f(, ) é u m a f u n ç ã o c o n t í n u a e m R e uma curva em R, dada por σ(t) ((t),(t)), t [a, b], comσ de classe 1, então definimos b f ds f(, ) ds f (σ(t)) σ (t) dt a }{{} ds b f ((t),(t)) ( (t)) +( (t)) dt. a 3) e f(, ) 1(ou f(,, z) 1), então fds comprimento de. B A UFF IME - GMA

47 álculo III-A Módulo 6 7 4) A integral de linha de um campo escalar f não depende da parametrização de enemdesuaorientação,istoé,denotando por acurva percorrida em outro sentido, então fds fds. 5) e é u m a c u r v a d a d a p o r u m a p a r a m e t r i z a ç ã o σ : [a, b] R n (n ou 3), 1 por partes, isto é, σ é contínua e eiste uma partição a t <t 1 <... < t n b de [a, b] de modo que σ i σ é d e c l a s s e [ti 1,t i ] 1, i 1,,n, então n fds fds onde i σ i ([t i 1, t i ]). i1 i 1 3 Eemplo 1 eja ainterseçãodocilindroparabólico com a parte do plano z, talque 1. alcule ds. olução: Façamos t. Logo, t e z t. omo 1, então t 1. Assim, uma parametrização de é d a d a p o r σ(t) (t,t,t), t 1, logo σ (t) (t, 1, 1). omo, ds σ (t) dt, então ds 4t +1+1dt +4t dt. Logo, 1 ds t 1 ( +4t dt ) +4t 1/ tdt. Observe que d( + 4t )8tdt,portantotdt d(+4t ) 8.Logo, ds ( + 4t ) 1/ d( + 4t ) ( + 4t ) 3/ 1 ( / 3/) ( ) UFF IME - GMA

48 álculo III-A Módulo 6 8 Eemplo alcule ds,onde é f o r m a d o p e l o s e g m e n t o d e r e t a 1 de (, ) a (, 1), seguidodoarco da parábola 1 de (, 1) a (1, ). olução: Oesboçode está representado na figura que se segue omo 1,temos: ds ds+ ds ds+ ds. álculo de ds Uma parametrização de 1 é d a d a p o r σ(t) (,t), 1 t. Logo, σ (t) (, 1), logo σ (t) 1e, portanto, ds σ (t) dt dt. Assim, álculo de ds 1 ds 1 dt. Uma parametrização de é d a d a p o r σ(t) (t, 1 t ), t 1, portantoσ (t) (1, t). Logo ds σ (t) dt 1+4t dt. Então, 1 ds t 1 ( 1+4t dt ) 1+4t 1/ dt. Observe que tdt d(1+4t ) 8.Logo, ds (1 + 4t ) 1/ d(1 + 4t ) (1 + 4t ) 3/ 1 ( ) UFF IME - GMA

49 álculo III-A Módulo 6 9 Portanto, ds 1 ( 5 ) Eemplo 3 eja a curva obtida como interseção da semiesfera + +z 4, com o plano +z. alcule f(,, z) ds, ondef(,, z) é d a d a p o r f(,, z). olução: Oesboçode é : z eja (,, z). Então + + z 4, e + z.logo, + +( ) 4, ou 4 +, ou ( 1) +, ou ( 1) + 1,. Logo,a projeção de sobre o plano é a s e m i - e l i p s e d e c e n t r o (1, ) esemi-eios1 e.então, 1+cost sent. z (1 + cos t) 1 cos t omo, sent, portanto t π. Logo,umaparametrizaçãopara é d a d a p o r ( σ(t) 1+cost, ) sent, 1 cos t, t π. Temos portanto σ (t) ( sen t, ) cost, sen t ds σ (t) dt sen t +cos t +sen tdt dt. UFF IME - GMA

50 álculo III-A Módulo 6 1 Então, f(,, z) ds ds π (1 + cos t) ( sent ) π dt (sen t +sentcos t) dt [ cos t + sen t 4. ] π Eercício 1: Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas: a) é o s e g m e n t o d e (1, ) a (, 8). b) é a p a r t e d a p a r á b o l a 3 de ( 1, 3) a (, 1). c) é o g r á fi c o d e 3 de (, ) a (1, 1). d) é a e l i p s e e) é o g r á fi c o d e /3 + /3 1. f) é o a r c o d e c i r c u n f e r ê n c i a + 4,com. g) é a c u r v a h) é a c u r v a Eercício : Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em R 3,interseçãodas superfícies dadas por a) + 1e + z. b) + 4e + z 4,situadanoprimeirooctante. c) e + z 1. d) + + z 4e + 1. e) + z,z e do ponto (,, ) a ( 1, 1, ). f) z 1,z e +3z 6de (3, 1, ) a (3, 1, ). g) z 3 + e z h) ( 1) + 1e + + z 4,comz. UFF IME - GMA

51 álculo III-A Módulo 6 11 Eercício 3: alcule com t 1. ( + + z) ds ao longo da curva r (t) t i + t j +( t) k, Eercício 4: alcule ( + 4) ds, onde é o t r i â n g u l o d e v é r t i c e s (, ), (1, ) e (, 1). ( Eercício 5: alcule a integral + ) ds, onde é a q u a r t a p a r t e d a c i r c u n f e r ê n c i a + + z 4,, situadanoprimeirooctante. Eercício 6: alcule a integral 3z ds, onde é a c u r v a d e i n t e r s e ç ã o d a s s u p e r f í c i e s + + z 16, + 4,situadanoprimeirooctante. UFF IME - GMA

52 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP7 Aluno Aula 13 Aplicações da Integral de Linha de ampo Escalar Objetivo Apresentar uma interpretação geométrica. Apresentar algumas aplicações à Física. Interpretação geométrica no plano eja f(, ) e contínua. Então o gráfico de f, G f, está acima do plano. z (,, f(, )) G f (, ) s A partir dacurva plano, construa a superfície de base e altura f(, ) em (, ). A integral f(, ) ds representa a área de um lado da superfície. Eemplo 1 A base de uma superfície é dada por +,. e a altura da superfície em (, ) é f(, ),, achar a área de um lado da superfície.

53 álculo IV EP7 Aluno olução: O esboço de é: z z f(, ) (, ) A área de um lado de é dada por f(, ) ds ds, onde é parametrizado por σ(t) ( cos t, sen t, ), π/ t π/ (pois ). e σ (t) ( sen t, cos t ), então σ (t) sen t + cos t donde, ds σ (t) dt dt. Então ds π/ π/ ( cos t ) dt sen t π/ π/ 4u.a. Interpretação Física e δ(, ) representa a densidade (massa por unidade de comprimento) de um arame R, então δ(, ) ds representa a massa total do arame: OB.: M δ(, ) ds. 1. O centro de massa (, ) do arame é dado por M δ(, ) ds M δ(, ) ds. O momento de inércia de R em relação a um eio E é dado por I E r (, )δ(, ) ds onde r(, ) distância de (, ) ao eio E. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

54 álculo IV EP7 Aluno 3 3. eja uma curva R 3, representando um arame de densidade δ δ(,, z) em (,, z). Então, observe as seguintes fórmulas: (i) omprimento do arame: L ds (ii) Massa do arame: M δ(,, z) ds (iii) entro de massa do arame (,, z), onde M δ(,, z) ds M δ(,, z) ds Mz zδ(,, z) ds (iv) Momento de inércia do arame em relação a um eio E: I E r (,, z)δ(,, z) ds onde r(,, z) distância de (,, z) ao eio E. Eemplo 1 Um arame fino tem a forma de uma semicircunferência + 4,. e a densidade linear é uma constante k, determine a massa e o centro de massa do arame. olução: O esboço de está representado ao lado. Temos k ds ds k ds ds ds ds onde ds L 1 πr π, pois r. omo M parametrização de é dado por: σ(t) ( cos t, sen t), t π. kds então M k ds kπ. Uma Fundação EIERJ onsórcio EERJ

55 álculo IV EP7 Aluno 4 e σ (t) ( sen t, cos t, ) então σ (t) 4 sen t + 4 cos t. omo ds σ (t) dt, então ds dt. Temos: π ds ( cos t) dt 4 [ sen t ] π π ds ( sen t) dt 4 [ cos t ] π 8 Logo, Portanto, (, ) (, 4/π). e 8 π 4 π. Eemplo alcule o momento de inércia em relação ao eio z de um arame cuja forma é a interseção das superfícies + + z 4e, sabendo que sua densidade é uma constante. olução: omo a interseção de uma esfera com um plano é uma circunferência, segue que é uma circunferência contida no plano. Para esboçá-la procuremos encontrar pontos de interseção das suas superfícies. Observe que o plano contém o eio z. Logo, os pontos A 1 (,, ) e A (,, ) estão em. Por outro lado, a reta do plano intercepta a esfera em dois pontos: B 1 e B. Ligando os pontos A 1, A, B 1 e B, encontramos a curva. z A 1 (,, ) B B 1 A (,, ) Para parametrizar, resolvemos o sistema { + + z 4. Temos + z 4ou /+z /41, que representa a projeção de no plano z. Portanto, se (,, z), então e z satisfazem a elipse /+z /4. Logo, cos t e z sen t, com t π. omo, então cos t. Portanto, é uma parametrização de. σ(t) ( cos t, cos t, sen t ), t π Fundação EIERJ onsórcio EERJ

56 álculo IV EP7 Aluno 5 e σ (t) ( sen t, sen t, cos t ) então σ (t) sen t + sen t + 4 cos t. Assim, ds σ (t) dt dt. O momento de inércia em relação ao eio z é dado por ( I z + ) ( δ(, ) ds k + ) π ( ds k cos t + cos t ) dt π 8k cos t dt 8k 1 8kπ. [ t + ] π sen t Aula 14 ampos Vetoriais Objetivo Apresentar os campos vetoriais. Estudar alguns operadores diferenciais. efinição de um campo vetorial efinição: ejam P e Q funções reais de e, definidas em R. A função vetorial F : R R definida por F (, ) (P (, ),Q(, )) P (, ) i + Q(, ) j é chamada de campo vetorial definido em R. F (, ) (, ) Outra notação: F (, ) (P, Q). Fundação EIERJ onsórcio EERJ

57 álculo IV EP7 Aluno 6 efinição: ejam P, Q e R funções reais de, e z, definidas em R 3. Temos que a função vetorial F : R 3 R 3 definida por F (,, z) (P (,, z),q(,, z),r(,, z)) P (,, z) i +Q(,, z) j +R(,, z) k é chamada de campo vetorial definido em R 3. z F (,, z) (,, z) Os campos vetoriais são úteis para representar os campos de forças, campos de velocidades e campos elétricos. Geometricamente, visualizamos um campo vetorial origem em (, ). F no plano esboçando vetores F (, ) com Eemplo 1 O campo vetorial F (, ) (, ) i + j, (, ) R, está representado por: Fundação EIERJ onsórcio EERJ

58 álculo IV EP7 Aluno 7 Eemplo Faça a representação geométrica do campo vetorial F (, ) (, ) i + j, (, ) R. olução: Observemos que F (, ) + (, ), isto é, os vetores F (, ) e (, ) têm mesmo comprimento. Além disso, F (, ) (, ) (, ) (, ) +, donde F (, ) (, ). Então o esboço do campo é: efinição: izemos que o campo vetorial F é contínuo, de classe k, k N ou se as funções componentes P e Q (ou P, Q, R) são contínuas, de classe k ou, respectivamente. Operadores diferenciais e F (P, Q, R) é campo vetorial diferenciável em um conjunto aberto do R 3, então o divergente de F é um campo escalar definido por div F P + Q + R z (1) e F (P, Q) é de classe 1 em um aberto do R, então div F P + Q. O rotacional de F é um campo vetorial definido por rot ( R F Q z ) ( i P + z R ) ( j Q + P ) k () Vamos epressar (1) e () usando a notação de operador. Então, consideremos o operador diferencial vetorial ( del ) dado por ( ) i + j + k z,,. z Fundação EIERJ onsórcio EERJ

59 álculo IV EP7 Aluno 8 O operador sobre uma função escalar f (ou um campo escalar) produz o gradiente de f: ( f f, f, f ). z onsideremos o produto vetorial de pelo campo vetorial F (P, Q, R): i j k F / / / z P Q R / / z / / z / / Q R i j + P R P Q ( ) R i ( Q z R ) P ( z j + Q P ( R Q z ) k ) i ( + P ) R ( ) z j + Q k P k Logo, rot F. rot F F. onsideremos o produto interno de pelo campo F : ( ) F,, (P, Q, R) P z + Q + R z div F. Assim, div F F. Eemplo 1 alcule o divergente e o rotacional do campo vetorial F (,, z) i + z j + z k. olução: Temos div F F ()+ (z)+ (z) + z +. z e rot F i j k F / / / z ( ) i +( z) j +( ) k i z j k. z z A seguir, apresentaremos algumas propriedades para o rotacional e o divergente. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

60 álculo IV EP7 Aluno 9 e f e F são de classe, então (i) rot(gradf) ou ( f) (ii) div ( rot F ) ou ( F ) (iii) div (gradf) lap f ou ( f) f onde lap f f f laplaciano de f. ( (iv) f ) F f F + f F. + f + f z é dito As demonstrações de (i) e (ii) seguem das definições e do Teorema de chwartz. A demonstração de (iii) segue das definições. emonstraremos a propriedade (iv). Escrevendo F (P, Q, R), temos f F (fp, fq, fr). Então ( f ) F (fp)+ (fq)+ (fr) z P f + f P + f Q + f Q + f R z + f z R ( P f + Q + R ) ( f + z, f, f ) (P, Q, R) z como queríamos demonstrar. f F + f F. OB.: e F (, ) P (, ) i + Q(, ) j, então: rot ( ) Q k F P. Até a próima aula. Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV Eercício 1: Use a integral de linha para encontrar a área da superfície lateral sobre a curva e abaio da superfície z f(, ), onde a) : + 1, com de (1, ) a (, 1) e f(, ) b) : 1 de (1, ) a (, 1) e f(, ) Eercício : etermine a massa de um fio com a forma da curva ln, com 3 8, se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto. Eercício 3: etermine a massa de uma quarta parte da circunferência + a, situada no primeiro quadrante se a densidade em cada ponto é igual a ordenada desse ponto. Eercício 4: alcule o centro de massa do fio parametrizado por r (t) (t, t, t), com t 1, com densidade linear δ(,, z) z. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

61 álculo IV EP7 Aluno 1 Eercício 5: eja um fio delgado com a forma da interseção da superfície + + z 5, com z com o plano + 1. alcule o momento de inércia de em relação ao eio z, se a densidade em cada ponto é proporcional à sua distância ao plano. Eercício 6: alcule a massa de um arame fino com o formato da hélice 3 cos t, 3 sen t e z 4t, com t π/, se a densidade for δ(,, z) k, com k>. 1+ Eercício 7: alcule div F e rot F sendo: a) F (,, z) (z 3,3 z, ) b) F (,, z) (z + sen ) i (z cos ) j Eercício 8: e r (,, z) e a é um vetor constante, demonstre que rot ( a r ) a e div ( a r ). Fundação EIERJ onsórcio EERJ

62 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP9 Aula 15 Integral de Linha de ampo Vetorial Objetivo efinir integrais de linha. Estudar algumas propriedades. Integral de Linha de ampo Vetorial Motivação onsidere uma partícula que se move ao longo de uma curva : γ(t) ( (t),(t) ), t [a, b], sob a ação de um campo de forças F (, ) P (, ) i + Q(, ) j. Queremos calcular o trabalho realizado pela força F quando a partícula se desloca de A γ(a) até B γ(b). a física, temos que no caso em que F é constante e é um segmento de reta, o trabalho é dado pelo produto escalar W F AB. No caso geral, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [t i 1,t i ], i 1,...,n, de mesmo comprimento t t i t i 1. Temos n subarcos γ ( [t i 1,t i ] ) i e n segmentos [A i 1,A i ], A i γ(t i ) ( (t i ),(t i ) ), com i 1,...,n. a t A i t i 1 γ A i+1 t i b t n upondo F constante ao longo do segmento [A i 1,A i ], o trabalho ao longo de i é aproimadamente igual ao produto escalar W i F ( γ(ti ) ) A i 1 A i F ( γ(t i ) ) (A i A i 1 )P ( (t i ),(t i ) ) + Q ( (t i ),(t i ) ) onde (t i ) (t i 1 ) e (t i ) (t i 1 ).

63 álculo IV EP9 Pelo Teorema do Valor Médio, temos (t i ) t, com t i com t i ]t i 1,t i [. Logo, ]t i 1,t i [ e (t i ) t, donde W W i [P ( (t i ),(t i ) ) ( t i n i1 Assim, definimos W lim t n. Então W ) ( + Q (ti ),(t i ) ) ( ) ] t i t [ P ( (t i ),(t i ) ) ( ) ( t i + Q (ti ),(t i ) ) ( ) ] t i t n. b Esta motivação sugere a definição que se segue. efinição: a [ P ( (t),(t) ) (t)+q ( (t),(t) ) ] (t) dt. eja R 3, uma curva regular, dada por uma parametrização γ :[a, b] R 3 de classe 1, tal que γ (t), para todo t ] a, b [. eja F (P, Q, R) um campo vetorial contínuo sobre. Então a integral de linha do campo F ao longo de, denotado por F d r, é definida por b F d r F (γ(t)) γ (t)dt a b a [ P ( (t),(t),z(t) ) (t)+q ( (t),(t),z(t) ) (t)+r ( (t),(t),z(t) ) ] z (t) dt. OB.: 1. eja uma curva regular por partes: 1... n. Então F d r F d r F d r 1 n. A integral de linha de um campo vetorial F, F d r, não depende da parametrização de, desde que não se inverta sua orientação. Isto é, denotando por a curva percorrida em outro sentido, então F d r F d r 3. e é uma curva fechada (γ(a) γ(b)) e está orientada no sentido anti-horário, denotamos a integral de linha por F d r. + aso contrário, denotamos por F d r. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

64 álculo IV EP9 3 Eemplo 1 eja F (,, z) i + j + z k. Temos que a integral de linha F ao longo de uma hélice : γ(t) (cos t, sen t, t), com t π é dada por b F d r F (γ(t)) (γ (t)) dt a π π π [ ] π t π. (cos t, sen t, t) ( sen t, cos t, 1) dt ( cos t sen t + sen t cos t + t) dt t dt Uma outra notação abemos que d (t) dt, d (t) dt e dz z (t) dt. e usarmos a convenção d r d i + d j + dz k (d, d, dz), temos F d r (P, Q, R) (d, d, dz) b a P d + Q d + R dz Logo, uma outra notação é [ P ( (t),(t),z(t) ) (t)+q ( (t),(t),z(t) ) (t)+r ( (t),(t),z(t) ) ] z (t) dt. P d + Q d + R dz. Eemplo alcule d+( + ) d, onde é formado pelos segmentos que ligam (, ) a (, ) e (, ) a (, ). olução: O esboço de 1 está representado na figura ao lado. (, ) (, ) (, ) 1 Fundação EIERJ onsórcio EERJ

65 álculo IV EP9 4 1 e podem ser parametrizadas por { t 1 :, { : t,, t, donde d dt e d., t, donde d e d dt. Temos d + ( + ) d 1 d +( + ) d dt + ( t + ) t + ( + t ) dt t dt [ ] t Logo, d +( + ) d Aula 16 ampos onservativos Objetivo Estudar uma classe de campos vetoriais que tem a propriedade de que a integral de linha não depende do caminho. álculo de funções potenciais. ampos onservativos izemos que F : R n R n, (n, 3) é um campo conservativo ou um campo gradiente se eistir um campo escalar diferenciável ϕ : R n R, tal que ϕ F em. O campo escalar ϕ : R n R é dito função potencial de F em. Eemplo O campo vetorial F (,, z) ( +3z) i +3z j +3 k é um campo conservativo em R 3, pois eiste ϕ(,, z) +3z diferenciável em R 3, tal que ϕ F em R 3. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

66 álculo IV EP9 5 A seguir apresentaremos alguns resultados dos campos conservativos. Teorema 1: eja F : R n R n, (n, 3) um campo vetorial de classe 1. e F é conservativo, então rot F. emonstração: uponhamos n 3. Então F (P, Q, R). e F é conservativo, então eiste ϕ : R 3 R tal que ϕ F. Logo, rot F F ( ϕ) por propriedade dos operadores diferenciais. Mais adiante veremos um eemplo de um campo vetorial, não conservativo, com rotacional nulo. OB.: O Teorema 1 também pode ser enunciado da seguinte maneira: e rot F em então F não é conservativo em. Eemplo 1 Temos que F (, ) + i + ϕ(, ) ln ( + ) tal que ϕ F em R {(, )}. + j é um campo conservativo em R {(, )} pois eiste Eemplo Temos que F (, ) i + j não é um campo conservativo. Ora, temos que rot F (, ) ( Q P ) k ( ( )) k 4 k. Teorema : eja F : R n R n, (n, 3) de classe. e F é conservativo, isto é, F ϕ em, e se é qualquer curva regular por partes com ponto inicial A e ponto final B, então F d r ϕ d r ϕ(b) ϕ(a). emonstração: A demonstração segue da definição de integral de linha e da regra da cadeia (ver Teorema 6. do livro). Fundação EIERJ onsórcio EERJ

67 álculo IV EP9 6 Este resultado é conhecido como Teorema Fundamental do álculo para Integrais de Linha. É dele que concluímos que a integral de linha de um campo conservativo só depende dos pontos A e B e não depende da trajetória que os une. Teorema 3: e F : R n R n, (n, 3) é conservativo, então F d r qualquer que seja o caminho fechado. emonstração: A demonstração segue do Teorema pois sendo um caminho fechado, tem-se que o ponto final B coincide com o ponto inicial A, donde ϕ(b) ϕ(a) e, portanto a integral de linha é zero. Este Teorema também pode ser enunciado da seguinte maneira: e F d r para alguma curva fechada então F não é conservativo. Eemplo 3 alcule F d r, onde F (, ) i + j e é dada por γ(t) (arctg t, cos t 4 ), t 1. olução: Observemos que F é um campo conservativo em R com função potencial ϕ(, ) 1 ( + ). Assim F d r ϕ (γ(1)) ϕ (γ()) ϕ(arctg 1, cos 1) ϕ(arctg, cos ) ϕ ( π ϕ(, 1) 4 ( ) 1 π 16 cos 1 1 ( +1 ) ( ) 1 π 16 cos 1. A seguir eibiremos um campo vetorial não conservativo com rotacional, o que mostra que a recíproca do Teorema 1 é falsa. Eemplo 4 eja F (, ) + i + + j, (, ) R {(, )}. omo Q P (verifique!) então rot F em. alculemos F d r, onde é a circunferência γ(t) (a cos t, a sen t), t π. Temos Fundação EIERJ onsórcio EERJ

68 álculo IV EP9 7 F d r + d + d + π π [( a sen t a ) ( ( a sen t)+ a cos t ) ] a (a cos t) dt (sen t + cos t) dt π (1) e F fosse conservativo, teríamos encontrado, pelo Teorema 3, que F d r + contradiz (1). Logo, F não é conservativo., o que Na aula 18, veremos para o caso n, que impondo certas condições ao domínio de F, prova-se que a recíproca do Teorema 1 é verdadeira. álculo de Funções Potenciais Eemplo 5 abe-se que F (, ) ( 3, 3 + ) é um campo gradiente. etermine uma função potencial. olução: Para determinar uma função potencial ϕ(, ) devemos ter Integrando () em relação a, temos Integrando (3) em relação a, temos ϕ 3 () ϕ 3 + (3) ϕ(, ) 3 + f() (4) ϕ(, ) g() (5) e (4) e (5), vemos que tomando f() e g(), segue que uma função potencial é ϕ(, ) 3 +. Eemplo 6 abe-se que F (,, z) i +( + z cos(z)) j + cos(z) k é um campo conservativo. etermine uma função potencial. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

69 álculo IV EP9 8 olução: evemos ter: ϕ (6) ϕ + z cos(z) (7) ϕ cos(z) (8) z Integrando (6), (7) e (8) em relação a, e z respectivamente, temos ϕ(,, z) + f(, z) (9) ϕ(,, z) + sen(z)+g(, z) (1) ϕ(,, z) sen(z)+h(, ) (11) e (9), (1) e (11), devemos ter f(, z) sen(z), g(, z) e h(, ). Logo, é uma função potencial de F. Até a próima semana, ϕ(,, z) + sen(z) Eercício 1: alcule d + d de ( 1, ) a (1, ) a) ao longo do eio b) ao longo de : r (t) ( cos t, sen t), com t π. c) ao longo da poligonal de vértices ( 1, ), (, 1), (1, 1) e (1, ). Eercício : alcule os valores de d +( + ) d ao longo do caminho a) parte superior da circunferência + a de (a, ) a ( a, ) b) parte superior da elipse +4, orientada no sentido anti-horário. Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV Eercício 3: alcule o trabalho realizado pela força F (, ) (, ) para deslocar uma partícula ao longo da curva fechada 1 3, onde 1 : segmento de reta de O (, ) a A (1, 1); : parte da curva , com 1, do ponto A (1, 1) a B (, 1); 3 : segmento de reta BO. Eercício 4: alcule (, 1, π/). d 3 d + z dz, onde é o segmento de reta unindo (1,, ) a Fundação EIERJ onsórcio EERJ

70 álculo IV EP9 9 Eercício 5: etermine o trabalho realizado pela força F (,, z) (3 + z) i +( 3) j + +(e z + ) k para deslocar uma partícula ao longo da curva interseção do cilindro + 1 com o plano z 5, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Eercício 6: alcule z d + d dz, onde é a interseção das superfícies + z 8e + + z 8z, com, no sentido anti-horário quando vista de cima. Eercício 7: abe-se que o campo F (e + + 1) i + e + j é um campo conservativo em R. a) Encontre uma função potencial para F. b) alcule F d r onde é o arco de circunferência ( 1) + que vai de (1, ) a (1, 1). ( 1 ) 1 4, com 1 Eercício 8: etermine uma função potencial para cada campo conservativo. a) F (, ) ( + ) i + j. b) F (, ) (cos() sen()) i ( sen()) j. c) F (, ) (6 3 +z, 9, 4z + 1). Fundação EIERJ onsórcio EERJ

71 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP1 Aula 17 Teorema de Green Objetivo Estudar um teorema que estabelece uma ligação importante entre integrais de linha e integrais duplas. O Teorema de Green Teorema: eja uma região fechada e limitada de R, cuja fronteira é formada por um número finito de curvas simples, fechadas e 1 por partes, duas a duas disjuntas, orientadas no sentido que deia à esquerda das curvas, (isto é, está orientada positivamente). eja F P (, ) i + Q(, ) j um campo vetorial de classe 1 em um conjunto aberto U com U. Então F d r P d + Q d + + ( ) Q P dd No caso, e F d r F d r F d r + 3 F d r + 4 F d r. OB.: Geralmente, usamos o Teorema de Green, quando é difícil de ser calculada diretamente. + F d r

72 álculo IV EP1 Eemplo 1 eja F (, ) (+) i +(3+4) j. Vamos calcular as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, para a região triangular de vértices (, ), (1, ) e (, 1). B (, 1) + 1 O A (1, ) Temos OA AB BO. álculo de OA F d r Temos OA :, 1, donde d. Então OA F d r OA P (, ) d 1 d [ ] 1 1. álculo de AB F d r Temos AB : 1, 1, donde d d. Então F d r P (1, )( d)+q(1, ) d AB AB [. [ (1 )+ ] d + [ 3 + 4(1 ) ] d ( ) d d ] 1 Fundação EIERJ onsórcio EERJ

73 álculo IV EP1 3 álculo de F d r F d r BO OB Temos OB :, 1, donde d. Então BO omando, temos Por outro lado, F d r ( ) Q P OB Q(,) d 1 + F d r dd [ ] 1 3 (3 + ) d 3. (4 1) dd 3A() Eemplo eja F (, ) i + j e o disco de centro (, ) e raio 1. alculemos para orientada no sentido anti-horário. + F d r, olução: o Teorema de Green, temos F d r + ( ) Q P dd ( + ) dd. 1 1 Passando para coordenadas polares, temos r cos θ r sen θ dd rdrdθ + r Fundação EIERJ onsórcio EERJ

74 álculo IV EP1 4 e rθ é dado por Então rθ : { r 1 θ π F d r r r drdθ r 3 drdθ + rθ rθ 1 r 3 π dθdr π 1 [ ] 1 r 3 r dr π 4 π. 4 Eemplo 3 eja F (, ) + i + + j definido em R {(, )}. alculemos: a) b) F d r, sendo 1 : + a, a>; F d r, sendo uma curva fechada, 1 por partes, que envolve a origem. olução: a) Observemos que a região limitada por 1 não está contida em, pois (, ) /. Então não podemos aplicar o Teorema de Green. endo assim, usaremos a definição. Parametrizando 1, temos a cos t e a sen t, com t π donde d a sen t dt e d a cos t dt. Então b) + 1 F d r + 1 d + d + + π π π π. [ a sen t a ( a sen t)+ a cos t (a cos t) ] dt a (sen t + cos t) dt dt Fundação EIERJ onsórcio EERJ

75 álculo IV EP1 5 Aqui também não podemos aplicar o Teorema de Green, pois (, ) está na região limitada por e (, ) /. Usar a definição é impossível pois nem conhecemos uma equação de. Então o que fazer? R a 1 a A idéia é de isolar (, ) por uma circunferência 1 : + a com o raio a adequado de modo que 1 esteja no interior da região limitada por, orientada no sentido horário. eja R a região limitada por 1 e. Logo, R 1. omo R não contém (, ), então podemos aplicar o Teorema de Green em R. Temos omo donde ( ) F d r Q P dd. R + R ) (Verifique!) então F d r. Logo, F d r + R + + F d r F d r ou F d r F d r π por (a). ( Q P F d r Eemplo 4 a) e é uma região plana qualquer à qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área de é dada por A() d ou A() d ou A() 1 d + d. + + b) Aplique uma das fórmulas acima para mostrar que a área limitada pela elipse a é πab. olução: a) + b 1 Pelo Teorema de Green, tem-se d d +d + + ( ) ( ) dd A(). ( + 1) dd dd Fundação EIERJ onsórcio EERJ

76 álculo IV EP1 6 Logo, A() d. Analogamente, prova-se as outras fórmulas. + b) O esboço de é: b a A área de é dada por A() d onde é parametrizada por { + γ(t) (a cos t, b sen t), t π. γ (t) ( a sen t, b cos t) Então A() π ( b sen t)( a sen t) dt π ab 1 ab sen t dt [ t ab 1 π πab u.a. ] π sen t Aula 18 Teorema das Quatro Equivalências Objetivo Estudar condições sobre o domínio de F para que valha a recíproca do Teorema 1, da aula 16, isto é, em que domínios, campos de rotacional nulo são conservativos? ondições sobre (i) é aberto. (ii) é coneo (isto é, dois pontos quaisquer de podem ser ligados por uma curva contida em ). (iii) é sem buracos (isto é, qualquer curva fechada de delimita uma região inteiramente contida em ). Fundação EIERJ onsórcio EERJ

77 álculo IV EP1 7 Um conjunto satisfazendo as condições (i), (ii) e (iii) é dito um conjunto simplesmente coneo. A seguir daremos eemplos de conjuntos simplesmente coneos. R Agora, daremos eemplos de conjuntos não simplesmente coneos. R {(, )} R eio OB.: eja R 3. izemos que é um conjunto simplesmente coneo se é aberto, coneo e sem buracos (no sentido de que qualquer curva fechada de delimita uma superfície inteiramente contida em ). Eemplo O R 3, uma bola aberta em R 3,oR 3 {(,, )} são conjuntos simplesmente coneos. O R 3 sem uma reta não é simplesmente coneo. Teorema 1: eja F um campo de classe 1 em um domínio de R, simplesmente coneo. e rot F então F é conservativo. emonstração O fato de que é um conjunto simplesmente coneo e rot F segue do Teorema de Green que F d r. para todo caminho fechado de. aí mostramos que F d r não depende do caminho. Em seguida, mostra-se que F é conservativo. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

78 álculo IV EP1 8 o Teorema 1 e de teoremas da aula 16, enunciamos um teorema contendo quatro equivalências. Teorema das quatro equivalências: eja F (P, Q) : R R um campo de classe 1 em. e R é um conjunto simplesmente coneo, então as seguintes afirmações são equivalentes: a) Q P b) c) em F d r qualquer que seja a curva fechada de. F d r não depende do caminho de. d) F é conservativo. Eemplo 1 onsidere a curva dada por σ(t) ( cos π,et 1), 1 t. t F (, ) ( sen, cos ). alcule F d r, onde olução: omo F é de classe 1 em R (que é um conjunto simplesmente coneo) e Q P sen, então pelo teorema das quatro equivalências, segue que F d r não depende do caminho que liga σ(1) (1, 1) e σ() (,e). Então considere 1, onde 1 d e :, 1 e, donde d. (,e) : 1, 1, donde (1, 1) 1 Temos F d r 1 Logo, 1 F d r 1 F d r Q(,) d P (, 1) d e 1 1 cos d ( sen ) d e F d r 1 cos 1 + e 1e cos d e e 1. sen d cos 1 cos 1. 1 Fundação EIERJ onsórcio EERJ

79 álculo IV EP1 9 Uma solução alternativa Pelo teorema das quatro equivalências segue que F é conservativo. Logo, eiste ϕ(, ) definido em R, tal que ϕ sen (1) ϕ Integrando (1) e () em relação a e respectivamente, temos cos () ϕ(, ) cos + f() ϕ(, ) cos + g() Tomando f() e g(), temos que ϕ(, ) cos é uma função potencial de F. Logo, F d r ϕ (σ()) ϕ (σ(1)) ϕ(,e) ϕ(1, 1) e cos 1 cos 1 e cos 1. Eemplo onsidere a integral de linha (ke + ) d +( e + k) d. a) etermine a constante k para que esta integral seja independente do caminho. b) alcule o valor da integral de A (, ) a B (1, 1) para o valor de k encontrado em (a). olução: a) O campo F é definido em R que é um conjunto simplesmente coneo. Pelo teorema das quatro equivalências é necessário que rot F para que a integral independa do caminho. Então rot F Q P em R e +1ke +1 e ke k pois e para todo R k. Portanto, para k segue que rot F, donde pelo teorema das equivalências temos que a integral independe do caminho. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

80 álculo IV EP1 1 b) Temos que k F (, ) (e + ) i + ( e + ) j. 1 B (1, 1) A (, ) 1 1 omo a integral independe do caminho, tomemos 1, onde 1 :, com 1 donde d e : 1, com 1, donde d. Temos 1 1 [ ] F d 1 r P (, ) d e d d [ ] F d 1 r Q(1,) d (e +1 ) d e + e 1. omando temos, F d r 1+e 1e. Uma solução alternativa Também do teorema das equivalências resulta que F é conservativo, isto é, eiste ϕ(, ) definido em R, tal que ϕ e + (3) Integrando (3) e (4) em relação a e respectivamente, temos ϕ e + (4) ϕ(, ) e + + f() ϕ(, ) e + + g(). evemos tomar f() e g(). Assim ϕ(, ) e + é uma função potencial de F. Logo, F d r ϕ(b) ϕ(a) ϕ(1, 1) ϕ(, ) e e. Até a próima aula. Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV Fundação EIERJ onsórcio EERJ

81 álculo IV EP1 11 Eercício 1: alcule a integral de linha diretamente e, também, pelo teorema de Green: d + d onde é o caminho fechado formado por e, no sentido anti-horário. Eercício : Utilize o teorema de Green para calcular: a) I d + arctg d onde é o caminho fechado formado por, 1, 1+ 1e, no sentido anti-horário; b) I e sen d +( + e cos ) d, onde é a elipse , no sentido anti- -horário; c) I arctg d + ( ln ( + ) + ) d onde é parametrizada por 4 + cos t e 4 + sen t, com t π. Eercício 3: O teorema de Green pode ser utilizado para calcular a integral de linha + d + + d a) onde é a circunferência + 1, orientada no sentido anti-horário? b) onde é o triângulo com vértices (1, ), (1, ) e (, ), orientado no sentido anti-horário? c) Qual é o valor da integral de linha onde é o triângulo da parte (b)? Eercício 4: Use uma integral de linha para calcular a área da região plana limitada pelas curvas e. Eercício 5: Uma partícula move-se ao longo da circunferência 4 do ponto (, ) até (, ). etermine o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força a seguir: ( F (, ) + e, e ). Eercício 6: Mostre que I (,3) (,1) é independente do caminho e calcule-a. ( + 3 ) d + ( 3 +4 ) d Fundação EIERJ onsórcio EERJ

82 álculo IV EP1 1 Eercício 7: a) Mostre que I caminho. ( ) d + ( ln ( 1+ )) d é independente do b) alcule a integral I para :( 1) + 4 1, com, no sentido horário. Eercício 8: Mostre que I (1 + + ln ) d + d é independente do caminho e calcule o valor de I onde é dada por γ(t) (1 + cos t, sen t), com π/ t π/. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

83 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP11 Aula 19 uperfícies Parametrizadas Objetivo Estudar as superfícies parametrizadas visando as integrais de superfície. uperfícies parametrizadas efinição: izemos que R 3 é uma superfície parametrizada se eistir uma função vetorial contínua tal que ϕ(). ϕ : R R 3 (u, v) ϕ(u, v) ( (u, v),(u, v),z(u, v) ) v z ϕ() (u, v) ϕ ϕ(u, v) u As funções (u, v), (u, v), z z(u, v) são chamadas equações paramétricas de. e ϕ for diferenciável em (u,v ), fiando v v, obtemos uma curva diferenciável 1 : γ(u) ϕ(u, v ) ( (u, v ),(u, v ),z(u, v ) ) (Veja a figura a seguir).

84 álculo IV EP11 v z ϕ v (u,v ) ϕ u (u,v ) ϕ() (u,v ) ϕ ϕ(u,v ) 1 u e γ (u ) ϕ ( u (u,v )ϕ u (u,v ) u (u,v ), u (u,v ), z ) u (u,v ) segue que ϕ u (u,v ) é um vetor tangente a 1 em ϕ(u,v ). Analogamente, se ϕ v (u,v )ϕ v (u,v ) então este vetor é um vetor tangente a em ϕ(u,v ). ( v (u,v ), v (u,v ), z ) v (u,v ) e o vetor N N (u,v ) ϕ u (u,v ) ϕ v (u,v )ϕ u (u,v ) ϕ v (u,v ) então N é um vetor normal a em ϕ(u,v ). O vetor n em ϕ(u,v ). N N é um vetor normal unitário a izemos que é regular em ϕ(u,v ) se N (u,v ). O plano tangente a em ϕ(u,v ) é dado por [ (,, z) ϕ(u,v ) ] N (u,v ). Apresentaremos agora, parametrizações das principais superfícies: 1) Plano ejam P, a e b não paralelos contido no plano. eja P. Então, eistem escalares u e v, tais que: P P u a + v b P P + u a + v b. Então, uma parametrização de é dada por: ϕ(u, v) P + u a + v b com (u, v) R. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

85 álculo IV EP11 3 a Geometria Anaĺıtica, vê-se que um vetor normal a em P é: N a b. N P a b ) gráfico de z f(, ), com (, ) e f(, ) de classe 1 z N : z f(, ) Uma parametrização natural (ou canônica) de G f (gráfico de f) é dada por Um vetor normal é dado por: ϕ(, ) (,, f(, ) ), com (, ). ϕ ϕ N (, ) (, ) ϕ (, ) ϕ (, ) ( f (, ), f (, ), 1 ) Verifique! omo N (, ), para todo (, ), segue que G f é uma superfície regular. 3) ilindro + a, a> Utilizamos as coordenadas ciĺındricas para parametrizar um cilindro de raio a. Tem-se: a cos θ a sen θ z z Fundação EIERJ onsórcio EERJ

86 álculo IV EP11 4 Então: ϕ(θ,z)(a cos θ,asen θ,z) com (θ,z) : θ π,z R é uma parametrização de. Verifique que N ϕ θ (θ,z) ϕ z (θ,z)(a cos θ,asen θ, ). Logo, N (,, ) é um vetor normal eterior a em cada (,, z), donde n (,,) a é o vetor unitário normal eterior a. 4) Esfera + + z a, a> Utilizamos as coordenadas esféricas para parametrizar a esfera. Tem-se: a sen φ cos θ a sen φ sen θ z a cos φ com φ π e θ π. Então: com Verifique que: ϕ(φ, θ) (a sen φ cos θ,asen φ sen θ,acos φ) (φ, θ) : { φ π θ π. ϕ N φ ϕ θ ( a sen φ cos θ,a sen φ sen θ,a sen φ cos φ ) N a sen φ. Logo: n N N ϕ(φ, θ) a (,, z) a, isto é, n (,,z) a é o vetor unitário normal eterior à esfera. 5) uperfície de revolução a) eja uma curva no plano z dada por : (t) z z(t) com a t b e (t) em [a, b]. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

87 álculo IV EP11 5 Ao girar o ponto (,(t),z(t) ) ao redor do eio z, na altura z(t), obtemos uma circunferência de raio (t), parametrizada por ( (t) cos θ,(t) sen θ,z(t) ), z com θ π. Fazendo t variar de a até b, a circunferência começa a de deslocar segundo a altura z z(t), gerando a superfície de revolução da figura ao lado. Tem-se: : ϕ(t, θ) ( (t) cos θ,(t) sen θ,z(t) ) (,, z) z `,(t),z(t) onde (t, θ) : { a t b θ π. θ Observe que na superfície tem-se: (t) raio de uma circunferência transversal z(t) altura desta circunferência. b) e é uma curva no plano z dada por (t) : z z(t) com a t b, então: (t) raio de uma circunferência transversal z(t) altura dessa circunferência. Logo, uma parametrização da superfície de revolução obtida girando ao redor do eio z é : ϕ(t, θ) ( (t) cos θ,(t) sen θ,z(t) ) com (t, θ) : { a t b θ π. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

88 álculo IV EP11 6 Aula Área de uperfície Objetivo Estudar as áreas de superfícies parametrizadas. Área de superfície eja uma superfície parametrizada por ϕ(u, v) ((u, v),(u, v),z(u, v)), (u, v) onde é um conjunto compacto que tem área e com ϕ de classe em um conjunto aberto contendo. É necessário também que ϕ seja uma função injetora eceto possivelmente na fronteira de e que seja regular eceto em um número finito de pontos. aqui por diante, até o final do curso, trabalharemos somente com superfícies descritas acima. efinimos a área de por A() ϕ u (u, v) ϕ v (u, v) dudv. v z ϕ() ϕ u OB.: e for o gráfico de uma função de classe 1, z f(, ), (, ), onde é um conjunto compacto que tem área, então: A() 1+(f ) +(f ) dd. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

89 álculo IV EP11 7 z G f (gráfico de ) Eemplo 1 Mostre que a área da esfera : + + z a, a> é dada por A() 4πa. olução: Usando as coordenadas esféricas com ρ a, para parametrizar a esfera, tem-se ϕ(φ, θ) (a sen φ cos θ,asen φ sen θ,acos φ) com (φ, θ) : φ π e θ π. alculemos ϕ φ ϕ θ (φ, θ) ϕ módulo. ϕ φ θ (φ, θ) e seu Tem-se ϕ φ (a cos φ cos θ,acos φ sen θ, a sen φ) e ϕ θ ( a sen φ sen θ,asen φ cos θ, ) donde ϕ φ ϕ θ i j k a cos φ cos θ a cos φ sen θ a sen φ a sen φ sen θ a sen φ cos θ ( ) a sen φ cos θ,a sen φ sen θ,a sen φ cos φ cos θ + a sen φ cos φ sen θ }{{} a sen φ cos φ a sen φ (a sen φ cos θ,asen φ sen θ,acos φ) (a sen φ) ϕ(φ, θ). Esta última epressão mostra que o vetor normal em cada ponto da esfera é radial, isto é, é um múltiplo do vetor posição ϕ (φ, θ). Tem-se ϕ φ ϕ θ (φ, θ) a sen φ ϕ (φ, θ) a sen φ a sen φ pois φ π, isto é, ϕ φ ϕ θ a sen φ (memorize este resultado). omo A() ϕ φ ϕ θ dφdθ então A() a sen φ dφdθ a π π sen φ dθdφ πa π sen φ dφ πa [ cos φ ] π 4πa u.a. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

90 álculo IV EP11 8 Eemplo alcule a área da superfície z +, z 1. olução: O esboço da superfície é: z Temos que : z + }{{} f(,) e f +. Logo,, (, ) : + 1. Também temos f + 1+(f ) +(f ) omo então A() A() dd 1+(f ) +(f ) dd dd A() π 1 π u.a. Até a próima aula. Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV Fundação EIERJ onsórcio EERJ

91 álculo IV EP11 9 Eercício 1: eja a superfície parametrizada por ϕ(u, v) (u, v, 1 v ), com u, v e u + v 1. a) esenhe. b) etermine o plano tangente a no ponto ϕ (1/, 1/4). c) etermine a área de. Eercício : Esboce e parametrize as superfícies abaio, indicando o domínio dos parâmetros: a) {(,, z) R z 4,z 1}. { b) (,, z) R 3 z } 3( + ), + + z 1. c) {(,, z) R z, + 1}. { d) (,, z) R 3 + 4, z + 4 }. e) {(,, z) R 3 +, z + }. Eercício 3: eja { (,,z) R 3 z +( ) 1 }. Ache a área da superfície gerada pela rotação do conjunto em torno do eio z. Eercício 4: eja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de (, 1, 3) a (, 3, 1) em torno do eio z. a) ê uma parametrização de. b) alcule a área de. Eercício 5: etermine a área do parabolóide z ( + ), abaio do plano z 8. Eercício 6: alcule a área da superfície parte do plano + + z a, interior ao cilindro + a. Eercício 7: alcule a área da superfície z +, ( ) Eercício 8: etermine a área da porção da esfera + + z 4, cortada pela parte superior do cone + z. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

92 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP1 Aula 1 Integral de uperfície de um ampo Escalar Objetivo Estudar as integrais de superfície de um campo escalar. Integral de superfície de um campo escalar efinimos a integral de superfície de um campo escalar contínuo f(,, z) sobre uma superfície, parametrizada por ϕ(u, v), com (u, v), da seguinte maneira: f d f(,, z) d f ( ϕ(u, v) ) ϕ ϕ dudv u v }{{} onde d ϕ ϕ u v dudv é o elemento de área. OB.: a) Temos que, se é o gráfico da função z z(, ), com (, ) então: f d f(,, z) d onde d f (,, z(, )) 1+(z ) +(z ) dd }{{} d 1+(z ) +(z ) dd é o elemento de área. b) e 1 n então f d c) e f(,, z) 1em então 1 d d n i1 i f d. d A().

93 álculo IV EP1 Eemplo 1 alcule d, onde é parametrizada por ϕ(u, v) (u v, u + v, u + v + 1) com (u, v) : u 1 e v u. olução: Temos ϕ ϕ (1, 1, ) e ( 1, 1, 1) donde u v ϕ u ϕ v i j k ( 1, 3, ) e ϕ u ϕ v Logo, d 14 dudv. d (u v)(u + v) 14 dudv ( 14 u v ) dudv u [ [ [ ] 1 14 u (u v ) dvdu u v v3 3 u 3 u3 3 u 3 du ] u ] du du Eemplo alcule d, onde é a parte da superfície z 1 +4 que se encontra dentro do cilindro +. olução: O esboço de é dado na figura que se segue: Fundação EIERJ onsórcio EERJ

94 álculo IV EP1 3 z Temos : z 1 }{{}, com (, ) : +. omo d f(,) então d dd. Logo 1+(f ) +(f ) dd 1 d dd +4 dd A() π 1 π. Aula Aplicações à Física Objetivo Estudar aplicações como cálculo de massa, centro de massa e momento de inércia. Aplicações à Física eja uma chapa delgada formando uma superfície no espaço e seja δ(,, z) sua densidade superficial que supomos contínua. Então, a massa M de é dada por M δ(,, z) d. O momento de inércia de em relação a um eio E é dado por I E r (,, z)δ(,, z) d onde r(,, z) distância de (,, z) ao eio E. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

95 álculo IV EP1 4 e o eio E eio z então r(,, z) + e ( I z + ) δ(,, z) d. e o eio E eio então r(,, z) + z, donde ( I + z ) δ(,, z) d. e o eio E eio então r(,, z) + z, donde ( I + z ) δ(,, z) d. O centro de massa (,, z) é dado por z δ(,, z) d M δ(,, z) d M zδ(,, z) d. M Eemplo 1 alcule a massa da chapa fina dada por ϕ(u, v) (u, v, u + v), com (u, v) : u 1 e v u, sendo δ(,, z) + + z a densidade superficial. olução: Temos onde e M ( + + z) d ϕ u ϕ v i j k (3u +v) ϕ u ϕ v dudv, (, 1, 1) ϕ u ϕ v ( ) +( 1) Fundação EIERJ onsórcio EERJ

96 álculo IV EP1 5 Logo, M 6 (3u +v) dudv 6 1 u (3u +v) dvdu [ ] u 3uv + v du ] [3u + u du 4u du u.m. Eemplo alcule o momento de inércia da superfície homogênea de equação z +, com (, ) : + 1, em torno do eio z. olução: O esboço de é: z A superfície é descrita por Temos Então: : z f(, ) +, (, ) : + 1. d I z pois é homogênea. Logo: I z k 1+(f ) +(f ) dd dd. ( + ) ( δ(,, z) d k + ) d. ( + ) dd. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

97 álculo IV EP1 6 Usando coordenadas polares, temos I z k r 1+4r r drdθ kπ rθ 1 r ( 1+4r ) 1/ r dr Fazendo u 1+4r, temos r (u 1)/4 e r dr du/8. Para r temos u 1e para r 1 temos u 5. Então I z kπ 5 1 u 1 4 u1/ du kπ kπ [ 16 kπ 16 ( u 3/ u 1/) du ] 5 5 u5/ 3 u3/ 1 ( 5 55/ 3 53/ ). Até a próima aula. Eercício 1: alcule com u 1 e v. (z + 1) d, onde é a superfície ϕ(u, v) u i + v j +(u + 1) k Rioco K. Barreto oordenadora de álculo IV Eercício : alcule f(,, z) d, onde f(,, z) + e : + + z 4, com z 1. Eercício 3: alcule z d, onde é o cilindro + a, com z 1. Eercício 4: alcule d, onde é o triângulo com vértices (1,, ), (, 1, ) e (,, 1). Eercício 5: eja a porção do cone z + limitado pelos planos z 1e z 4. a) Parametrize usando as coordenadas cartesianas. b) Parametrize usando as coordenadas polares. c) alcule z d. Eercício 6: alcule a massa da superfície parte do plano z dentro do cilindro + 1, sendo a densidade dada por δ(,, z). Fundação EIERJ onsórcio EERJ

98 álculo IV EP1 7 Eercício 7: etermine o momento de inércia em relação ao eio da superfície parte do cone z + entre os planos z 1e z, sendo a densidade constante. Eercício 8: Uma lâmina superficial tem a forma de um cone dado por z 4 + e limitado pelo plano. Em cada ponto de a densidade é proporcional à distância entre o ponto e o eio z. Mostre que o momento de inércia em relação ao eio z é igual a 1 M, onde M é a 5 massa de. Fundação EIERJ onsórcio EERJ

99 Fundação entro de iências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP13 Aula 3 Integral de uperfície de um ampo Vetorial Objetivo ompreender a noção de superfície orientável, Estudar as integrais de superfície de campos vetoriais. Integral de superfície de um campo vetorial Hoje vamos integrar campos vetoriais sobre superfícies. Quando estudamos as integrais de linha de campos vetoriais, vimos que a definição dependia da orientação da curva, isto é, F d r F d r. Aqui em integral de superfície de um campo vetorial ou fluo de um campo vetorial, a definição também depende do conceito de superfície orientada, que passaremos a definir. izemos que é uma superfície orientável quando for possível escolher sobre um campo de vetores unitários normais a que varie continuamente sobre. Intuitivamente falando, significa que tem dois lados. Há superfícies que tem um lado só como, por eemplo, a fita de Möbius que pode ser facilmente construída. Peguem uma tira de papel retangular AB. Pintem um lado de vermelho e o outro de azul. Fiem o lado AB e façam uma meia volta com o lado e colem A com e B com. B A B A A fita de Möbius tem apenas um lado, pois as duas cores se encontram.

100 álculo IV EP13 OB.: uperfícies fechadas orientáveis terão duas orientações naturais, determinadas pela normal eterior e pela normal interior. n ou n aqui para frente só consideraremos superfícies orientáveis (com dois lados). efinição: eja uma superfície regular orientável. eja n uma orientação de. eja F um campo vetorial contínuo definido em um aberto contendo. A integral de superfície de F através de ou o fluo φ de F através de é a integral de superfície do campo escalar F n : Φ F n d. OB.: 1) e F representa o campo de velocidades de um fluido, essa integral fornece o volume do fluido que atravessa em uma unidade de tempo, na direção de n. n ) e é parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) então Φ F n d se n ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v e ϕ F (ϕ(u, v)) u ϕ v ϕ u ϕ ϕ u ϕ v dudv F (ϕ(u, v)) (ϕu ϕ v ) dudv v Fundação EIERJ onsórcio EERJ

101 álculo IV EP13 3 se n ϕu ϕv ϕ u ϕ v. Φ F n d 3) e é o gráfico da função z f(, ), (, ), então se n ( f, f,1) 1+(f ) +(f ) se n Φ F n d (f,f, 1) 1+(f ) +(f ). e Φ F n d F (ϕ(u, v)) (ϕu ϕ v ) dudv F (,, f(, )) ( f, f, 1) dd F (,, f(, )) (f,f, 1) dd 4) Queremos definir F n d, onde 1 m. 1 1 efinição 1: eja uma superfície orientada por um campo de vetores normais unitários n. izemos que o bordo de,, está orientado positivamente se ao caminhar ao longo de com a cabeça no sentido de n, tivermos à nossa esquerda. n ou n Fundação EIERJ onsórcio EERJ

102 álculo IV EP13 4 OB.: Uma regra prática para orientar é a conhecida regra da mão direita com polegar no sentido de n. efinição : izemos que 1 m está orientada se for possível orientar cada i de forma que nos bordos comuns a duas superfícies, as orientações resultem opostas. n n1 1 ou 1 n n1 Então: F n d F n1 d + + F nm d. 1 m Eemplo 1 alcule o fluo de F (,, z) i + ( + ) j k através da superfície : ϕ(u, v) ( u, v, 1 u v ), com (u, v) : u 1 e v 1 com normal ϕ n u ϕ v ϕ u ϕ v. olução: Temos ϕ u (1,, u) e ϕ v (, 1, v) donde ϕ u ϕ v i j k 1 u 1 v (u, v, 1). Fundação EIERJ onsórcio EERJ