Cálculo III-A Módulo 14

Transcrição

1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 4 Aula 25 Teorema de tokes Objetivo Estudar um teorema famoso que generalia o teorema de Green para o espaço. O Teorema de tokes eja U um aberto coneo de R 3 e F (P,Q,R) um campo vetorial de classe em U. eja U, uma superfície regular por partes, orientada pelo campo normal unitário. eja o bordo de, com a orientação induida pela de. Então, rot F n d F d r } {{ } fluo do rotacional }{{} circulação de F OB.: eja uma superfície plana contida no plano, orientada com k. Então : 0, (,). Logo, d dd. eja F (,) (P(,),Q(,)), então: rot ( Q k F rot(p,q,0) P ).

2 álculo III-A Módulo 4 2 Logo, pelo Teorema de tokes, temos: r P d+q d rot F d 0,0, Q P (0,0,) dd Q P. Isto prova que o Teorema de tokes generalia o Teorema de Green. omo consequência do Teorema de tokes, temos: e U dom F é um conjunto simplesmente coneo, isto é, U é o R 3 ou U é o R 3, eceto um número finito de pontos, e se rot F 0 então F é conservativo. O teorema das quatro equivalências é dado por: eja F (P,Q,R) um campo vetorial de classe em um conjunto simplesmente coneo do R 3. Então as seguintes afirmações são equivalentes: () r 0 para toda curva fechada ; (2) r é independente do caminho; (3) F é um campo gradiente, isto é, F ϕ para algum campo escalar ϕ; (4) rot F 0. Eemplo Verifique o teorema de tokes, calculando as duas integrais do enunciado, para F (,,) i + j +k e o paraboloide 2 2 com 0 e a normal unitária eterior a. olução: O esboço de é:

3 álculo III-A Módulo 4 3 Pela regra da mão direita, com o polegar no de sentido e movimentando os dedos, vemos que a curva bordo de,, fica orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima. Então uma parametriação de é, : cost, sent e 0, com 0 t 2π, portanto d sent dt, d cost dt e d 0. Então, r d+ d + d Por outro lado, 2π 0 2π 0 2π. [ ( sent)( sent)+(cost)(cost) ] dt ( sen 2 t+cos 2 t ) dt rot i j k F (0,0,+) (0,0,2). Temos, : 2 2 f(,), com (,) : Um vetor normal a é dado por N ( f, f,) (2,2,) que é eterior a. Logo, (2,2,) e d dd. Então rot F n d (0,0,2) (2,2,) d d 2 d d 2A() 2π 2 2π. Assim, o teorema de tokes está verificado para este caso.

4 álculo III-A Módulo 4 4 Eemplo 2 Use o teorema de tokes para calcular F dr, onde F (,,) ( +sen, +cos, +e ) e é a interseção do cilindro a 2 com o plano a + b, sendo a > 0, b > 0, orientada no sentido anti-horário quando vista da parte superior do eio. olução: O esboço de está representado na figura a seguir. b a a Para aplicar o teorema de tokes, precisamos de uma superfície cujo bordo seja a curva. Então consideremos a porção do plano a +, limitada por. b b a a Pela regra da mão direita, vemos que aponta para cima. Logo, podemos descrever por : b b a f(,), com (,) : a 2. Um vetor normal a é : N ( f, f,) b a,0,

5 álculo III-A Módulo 4 5 que aponta para cima. Então, (b a,0, ) N e d N dd. Temos: rot i j k F (,0, ) ( 2,, 2). +sen +cos +e o teorema de tokes, temos r rot F d ( 2,, 2) b a,0, d d 2 ( 2b a 2 ) b+a a πab 2πb(b+a). d d Eemplo 3 eja F (,,) ( ,3 2 +e, 3 +e ). a) F é conservativo? Por quê? b) eja a curva obtida como interseção da superfície , com o plano. alcule F d r, especificando a orientação escolhida. olução: a) Temos rot F (e e, , ) 0 e dom F R 3 que é um conjunto simplesmente coneo. Então, pelo teorema das equivalências em R 3, segue que F é um campo conservativo. b) Logo, eiste uma função potencial ϕ(,, ), tal que: ϕ () ϕ 32 +e (2) ϕ 3 +e (3)

6 álculo III-A Módulo 4 6 Integrando (), (2) e (3) em relação a, e, respectivamente, temos: ϕ(,,) f(,) (4) ϕ(,,) 3 +e +g(,) (5) ϕ(,,) 3 +e +h(,) (6) omparando (4), (5) e (6), vemos que f(,) e, g(,) 3 e h(,) 3. Logo, ϕ(,,) e, (,,) R 3 é uma função potencial de F. O esboço de está representado na figura a seguir. B A 4 Escolhamos a orientação de A (2,,) para B ( 2,,). Então r ϕ(b) ϕ(a) ϕ( 2,,) ϕ(2,,) ( 8+2 e) (8 2 e) 2. Eercício : Verifique o teorema de tokes, calculando a integral de linha e a integral de superfície para o campo F e a superfície. a) F(,,) 2 i j+3 k, é a parte do paraboloide interior ao cilindro 2 + 2, sendo n tal que n k > 0. b) F(,,) (2,,3), e a porção do plano 0, contida no cilindro , sendo n tal que n k > 0. Eercício 2: Use o teorema de tokes para calcular F d r, onde: a) F(,,) i + j + k e é o quadrado de vértices (0,0,2), (,0,2), (,,2) e (0,, 2), orientado no sentido anti-horário quando visto de cima;

7 álculo III-A Módulo 4 7 b) F(,,) i+ j+ k e éafronteira do triângulo de vértices (,0,0), (0,,0)e(0,0,), percorrido nesta ordem; c) F(,,) (,, ) e é a curva interseção do cilindro 2 + 2, com o plano +, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima; d) F(,,) ( + 2,e 2 +,ln( 2 +)+ ) e é parametriada por γ(t) (2cost,2sent, 4 2sent), com t [0,2π]. Eercício 3: Use o teorema de tokes para calcular rot F nd a) F(,,) 2 e i+ 2 e 2 j+ 2 e k, é o hemisfério , com 0 e com orientação para cima; b) F(,,) ( 2,, 3 )e qualquersuperfíciecujobordosejaacurvaγ(t) (2cost,3sent,), com 0 t 2π, com a normal apontando para cima. Eercício 4: eja F(,,) ( , 3,2 3). a) F é um campo conservativo em R 3? Porquê? b) e é o segmento de reta que liga (0,0,0) a (2,,3), calcule F d r. Eercício 5: A integral 2e 2 d+2 ( 2 e 2 +cos ) d 2 send é independente do caminho? alcule o valor da integral para a curva obtida como interseção da superfície 9 2 2, com 5 com o plano, orientada no sentido de crescimento de.