Cálculo III-A Módulo 9

Transcrição

1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 9 Aula 17 Teorema de Green Objetivo Estudar um teorema que estabelece uma ligação importante entre integrais de linha e integrais duplas. O Teorema de Green Teorema: Seja uma região fechada e limitada de R 2, cuja fronteira é formada por um número finito de curvas simples, fechadas e 1 por partes, duas a duas disjuntas, orientadas no sentido que deia à esquerda das curvas, (isto é, está orientada positivamente). Seja F P(,) i +Q(,) j um campo vetorial de classe 1 em um conjunto aberto U com U. Então + r P d+q d + ( ) Q P dd No caso, e r F d r + r + r + r

2 álculo III-A Módulo 9 2 OBS.: Geralmente, usamos o Teorema de Green, quando F d r é + difícil de ser calculada diretamente. Eemplo 1 Seja F (,) (2+) i +(3+4) j. Vamos calcular as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, para a região triangular de vértices (,), (1,) e (,1). B (,1) + 1 O A (1,) Temos OA AB BO. álculo de F d r OA Temos OA :, 1, portanto d. Então r P(,)d álculo de AB r OA OA 1 2 d [ 2] 1 1. Temos AB : 1, 1, portanto d d. Então r P(1,)( d)+q(1,)d AB AB [ 2(1 )+ ] d + [ 3 +4(1 ) ] d ( )d 2d [ ]

3 álculo III-A Módulo 9 3 álculo de BO r OB r Temos OB :, 1, portanto d. Então BO r OB Q(,) d 1 [ ] 1 3 (3 +) d Somando, temos + r Por outro lado, ( ) Q P dd (4 1) dd 3A() Eemplo 2 Seja F (,) 2 i + 2 j e o disco de centro (,) e raio 1. alculemos F d r, para + orientada no sentido anti-horário. Solução: o Teorema de Green, temos r + ( ) Q P 1 dd ( ) dd. 1 Passando para coordenadas polares, temos rcosθ rsenθ dd rdrdθ r 2

4 álculo III-A Módulo 9 4 e rθ é dado por Então rθ : { r 1 θ 2π r r 2 r drdθ r 3 drdθ rθ rθ + 1 r 3 2π dθdr 2π 1 [ r 3 dr 2π ] 1 r 4 4 π 2. Eemplo 3 Seja F (,) i j definido em R 2 {(,)}. alculemos: a) r, sendo 1 : a 2, a > ; b) + 1 r, sendo 2 uma curva fechada, 1 por partes, que envolve a origem. + 2 Solução: a) Observemos que a região limitada por 1 não está contida em, pois (,) /. Então não podemosaplicar o Teorema de Green. Sendo assim, usaremos a definição. Parametrizando 1, temos acost e asent, com t 2π portanto d asent dt e d acost dt. Então + 1 r d d 2π 2π 2π 2π. [ asent ( asent)+ acost (acost) ] dt a 2 a 2 (sen 2 t+cos 2 t) dt dt

5 álculo III-A Módulo 9 5 b) 2 Aqui também não podemos aplicar o Teorema de Green, pois (,) está na região limitada por 2 e (,) /. Usar a definição é impossível pois nem conhecemos uma equação de 2. Então o que fazer? R a 1 a 2 A ideia é de isolar (,) por uma circunferência 1 : a 2 com o raio a adequado de modo que 1 esteja no interior da região limitada por 2, orientada no sentido horário. Seja R a região limitada por 1 e 2. Logo, R 2 1. omo R não contém (,), então podemos aplicar o Teorema de Green em R. Temos omo ( ) Q P portanto F d r R + r (Verifique!) então r ou R R + ( ) Q P dd. F d r. Logo, r + 2 F d r + r 2π por (a). 1 F d r Eemplo 4 a) Se é uma região plana qualquer à qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área de é dada por A() d ou A() d ou A() 1 d+ d b) Aplique uma das fórmulas acima para mostrar que a área limitada pela elipse 2 é πab. a b 2 1

6 álculo III-A Módulo 9 6 Solução: a) Pelo Teorema de Green, tem-se d d+d + + ( ) ( ) dd (+1)dd dd A(). Logo, A() d. Analogamente, prova-se as outras fórmulas. + b) O esboço de é: b a A área de é dada por A() Então A() d onde é parametrizada por { + γ(t) (acost,bsent), t 2π. γ (t) ( asent,bcost) 2π ( bsent)( asent) dt 2π ab 1 2 absen 2 tdt [ ab 1 2 2π πab u.a. t sen2t 2 ] 2π

7 álculo III-A Módulo 9 7 O Teorema da ivergência Teorema: Seja uma região fechada e limitada de R 2, cuja fronteira é formada por um número finito de curvas simples, fechadas e 1 por partes, duas a duas disjuntas, orientadas no sentido que deia à esquerda das curvas, (isto é, está orientada positivamente). Seja F P(,) i +Q(,) j um campo vetorial de classe 1 em um conjunto aberto U com U e n o vetor normal unitário que aponta para o eterior de. Então + F n ds div F dd Observação: O teorema acima é uma forma vetorial do Teorema de Green. Para obtê-lo, basta aplicar o teorema de Green ao campo G Q(,) i +P(,) j. Eemplo 5 alcule F n ds onde F (,) (+2 +e 2, ) e 1 2, com 1 o semicírculo de raio 2 centrado na origem e contido no semiplano percorrida no sentido trigonométrico, 2 o segmento de reta que une os pontos ( 2,) a (,) e n o vetor normal à curva que aponta sempre para o eterior do semidisco ,. Solução: Vamos usar o teorema da divergência no semi-disco {(,) , } com bordo 3 onde 3 é o segmento de reta que une a origem ao ponto (2,). Assim, div F dd F n ds F n ds+ F n ds 3 Mas div F ) (+2 +e 2 + ( ) Além disso, o vetor normal unitário eterior a na curva 3 é (, 1). Portanto em 3, F n F (,) (, 1) e

8 álculo III-A Módulo 9 8 logo, F n ds π 2 [ 2r 3 3 2dd d 3 ] r 2 senθdrdθ+ [ ] π cosθ + [ ] 2 d Aula 18 Teorema das Quatro Equivalências Objetivo Estudar condições sobre o domínio de F para que valha a recíproca do Teorema 1, da aula 16, isto é, em que domínios, campos de rotacional nulo são conservativos? ondições sobre (i) é aberto. (ii) é coneo (isto é, dois pontos quaisquer de podem ser ligados por uma curva contida em ). (iii) é sem buracos (isto é, qualquer curva fechada de delimita uma região inteiramente contida em ). Um conjunto satisfazendo as condições (i), (ii) e (iii) é dito um conjunto simplesmente coneo. A seguir daremos eemplos de conjuntos simplesmente coneos. R Agora, daremos eemplos de conjuntos não simplesmente coneos.

9 álculo III-A Módulo 9 9 R 2 {(,)} R 2 eio OBS.: Seja R 3. izemos que é um conjunto simplesmente coneoseéaberto, coneoe semburacos (nosentido dequequalquer curva fechada de delimita uma superfície inteiramente contida em ). Eemplo 1 O R 3, uma bola aberta em R 3, o R 3 {(,,)} são conjuntos simplesmente coneos. O R 3 sem uma reta não é simplesmente coneo. Teorema 1: Seja F um campo de classe 1 em um domínio de R 2, simplesmente coneo. Se rot F então F é conservativo. emonstração O fato de que é um conjunto simplesmente coneo e rot F segue do Teorema de Green que r. para todo caminho fechado de. aí mostramos que F d r não depende do caminho. Em seguida, mostra-se que F é conservativo. o Teorema 1 e de teoremas da aula 16, enunciamos um teorema contendo quatro equivalências. Teorema das quatro equivalências: Seja F (P,Q) : R 2 R 2 um campo de classe 1 em. Se R 2 é um conjunto simplesmente coneo, então as seguintes afirmações são equivalentes: a) Q P b) c) em r qualquer que seja a curva fechada de. r não depende do caminho de.

10 álculo III-A Módulo 9 1 d) F é conservativo. Eemplo 2 onsidere a curva dada por σ(t) ( cos π,et 1), 1 t 2. alcule t F (,) ( 2 sen,2cos). F d r, onde Solução: omo F é de classe 1 em R 2 (que é um conjunto simplesmente coneo) e Q P 2sen, então pelo teorema das quatro equivalências, segue que F d r não depende do caminho que liga σ(1) (1,1) e σ(2) (,e). Então considere 1 2, onde 1 : 1, 1, portanto d e 2 :, 1 e, portanto d. (,e) 2 (1,1) 1 Temos r 1 Logo, 1 r 1 r Q(,) d 2 2 Uma solução alternativa P(,1)d e 1 1 2cos d ( sen)d e r 1 cos1+e 2 1 e 2 cos d 2 e e 2 1. sen d cos 1 1 cos1. Pelo teorema das quatro equivalências segue que F é conservativo. Logo, eiste ϕ(,) definido em R 2, tal que ϕ 2 sen (1) ϕ 2cos (2) 1

11 álculo III-A Módulo 9 11 Integrando (1) e (2) em relação a e respectivamente, temos ϕ(,) 2 cos+f() ϕ(,) 2 cos+g() Tomando f() e g(), temos que ϕ(,) 2 cos é uma função potencial de F. Logo, r ϕ(σ(2)) ϕ(σ(1)) ϕ(,e) ϕ(1,1) e 2 cos 1 2 cos1 e 2 cos1. Eemplo 3 onsidere a integral de linha (ke +) d+( 2 e + k) d. a) etermine a constante k para que esta integral seja independente do caminho. b) alcule o valor da integral de A (,) a B (1,1) para o valor de k encontrado em (a). Solução: a) O campo F é definido em R 2 que é um conjunto simplesmente coneo. Pelo teorema das quatro equivalências é necessário que rot F para que a integral independa do caminho. Então rot F Q P em R 2 2e +1 ke +1 2e ke 2 k pois e para todo R k 2. Portanto, para k 2 segue que rot F, portanto pelo teorema das equivalências temos que a integral independe do caminho. b) Temos que k 2 F (,) (2e +) i + ( 2 e + 2 ) j.

12 álculo III-A Módulo B (1,1) 2 A (,) 1 1 omo a integral independe do caminho, tomemos 1 2, onde 1 :, com 1 portanto d e 2 : 1, com 1, portanto d. Temos 1 1 [ ] F d 1 r P(,)d 2e d 2d [ ] F d 1 r Q(1,)d (e +1 2) d e + 2 e Somando temos, Uma solução alternativa r 1+e 1 e. Também do teorema das equivalências resulta que F é conservativo, isto é, eiste ϕ(,) definido em R 2, tal que ϕ 2e + (3) ϕ 2 e + 2 (4) Integrando (3) e (4) em relação a e respectivamente, temos ϕ(,) 2 e + +f() ϕ(,) 2 e + 2 +g(). evemos tomar f() 2 e g(). Assim ϕ(,) 2 e + 2 é uma função potencial de F. Logo, r ϕ(b) ϕ(a) ϕ(1,1) ϕ(,) e e. Eercício 1: alcule a integral de linha diretamente e, também, pelo teorema de Green: d+ 2 d onde é o caminho fechado formado por 2 e, no sentido anti-horário. Eercício 2: Utilize o teorema de Green para calcular:

13 álculo III-A Módulo 9 13 a) I 2 d+arctg d onde é o caminho fechado formado por, 1, e, no sentido anti-horário; b) I e sen d + (+e cos)d, onde é a elipse , no sentido anti- -horário; c) I 2arctg d + ( ln ( 2 + 2) + ) d onde é parametrizada por 4 + 2cost e 4+sent, com t 2π. Eercício 3: O teorema de Green pode ser utilizado para calcular a integral de linha 2 + d d 2 a) onde é a circunferência , orientada no sentido anti-horário? b) onde é o triângulo com vértices (1,), (1,2) e (2,2), orientado no sentido anti-horário? c) Qual é o valor da integral de linha onde é o triângulo da parte (b)? Eercício 4: Use uma integral de linha para calcular a área da região plana limitada pelas curvas 2 e 2. Eercício 5: Uma partícula move-se ao longo da circunferência 4 2 do ponto (2,) até ( 2, ). etermine o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força a seguir: ( F(,) +e 2, e 2). Eercício 6: Mostre que I (2,3) (,1) é independente do caminho e calcule-a. ( 2+ 3 ) d+ ( ) d Eercício 7: a) Mostre que I caminho. ( ) d + ( ln ( 1+ 2)) d é independente do

14 álculo III-A Módulo 9 14 b) alcule a integral I para : ( 1) , com, no sentido horário. Eercício 8: Mostre que I (1+2 +ln) d+ 2 d é independente do caminho e calcule o valor de I onde é dada por γ(t) (1 + cost,sent), com π/2 t π/2.